某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱销售价在40～70元之间.市场调查发现,若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱；价格每降低1元,平均每天多销售3箱；价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1) 写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数解析式(注明范围)；
(2) 求出商场平均每天销售这种牛奶的利润w(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数解析式(每箱利润= 售价-进价)；
(3) 求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求出当x= 40和70时w的值,在平面直角坐标系中画出函数图象的草图；
(4) 由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大? 最大利润是多少?

（1）若$40\leqslant x\leqslant50$时,$y=90+3(50-x)=-3x+240$;若$50＜x\leqslant70$时,$y=90-3(x-50)=-3x+240$,即$y=-3x+240(40\leqslant x\leqslant70)$.（2）当每箱售价为$x$元时,每箱利润为$(x-40)$元,平均每天的利润为$w=(240-3x)(x-40)=-3x^{2}+360x-9600$.（3）$w=-3x^{2}+360x-9600=-3(x^{2}-120x+3600-3600)-9600=-3(x-60)^{2}+1200$.所以此二次函数图象的顶点坐标为$(60,1200)$.当$x=40$时,$w=0$;当$x=70$时,$w=900$.图略.（4）当$x=60$(元)时,$w_{最大}=1200$(元).

（1）当$40\leqslant x\leqslant50$时，$y = 90 + 3(50 - x)=-3x + 240$；当$50 ＜ x\leqslant70$时，$y=90 - 3(x - 50)=-3x + 240$，综上，$y=-3x + 240(40\leqslant x\leqslant70)$。
（2）$w=(x - 40)y=(x - 40)(-3x + 240)=-3x^{2}+360x - 9600$。
（3）$w=-3x^{2}+360x - 9600=-3(x - 60)^{2}+1200$，顶点坐标为$(60,1200)$。当$x = 40$时，$w=0$；当$x = 70$时，$w=900$。
（4）当$x = 60$元时，$w_{最大}=1200$元。

1. 如图所示的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y= -$\frac{1}{9}$(x-6)^2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是____.

$y=-\frac{1}{9}(x+6)^{2}+4$.

当选取点B为坐标原点时，原坐标系中点的坐标发生平移。原坐标系中，点A为(0,0)，点B为(12,0)，抛物线顶点坐标为(6,4)。
以点B为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立新坐标系。此时，新坐标系下点B的坐标为(0,0)，原坐标系中的点(x,y)在新坐标系中的坐标为(x' , y')，其中x' = x - 12，y' = y。
原抛物线解析式为$y = -\frac{1}{9}(x - 6)^2 + 4$，将x = x' + 12代入得：
$y' = -\frac{1}{9}((x' + 12) - 6)^2 + 4 = -\frac{1}{9}(x' + 6)^2 + 4$
故选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是$y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$。
$y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4$

2. 如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为$y= ax^2+bx.$小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10s时和26s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_________s.

36.

解：因为当小强骑自行车行驶10s时和26s时拱梁的高度相同，所以抛物线$y = ax^2 + bx$上对应的两点$(10, y_1)$和$(26, y_2)$关于对称轴对称。
抛物线对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，两点中点的横坐标即为对称轴，所以$-\frac{b}{2a} = \frac{10 + 26}{2} = 18$。
当$y = 0$时，$ax^2 + bx = 0$，解得$x = 0$或$x = -\frac{b}{a}$，所以点$C$的横坐标为$-\frac{b}{a}$。
由对称轴$-\frac{b}{2a} = 18$，可得$-\frac{b}{a} = 36$，即小强通过桥面OC共需36s。
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