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3. 大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼,它能以极快的速度从口中射出抛物线形水柱击落昆虫来捕食.如图,已知水柱的解析式为$y= -2(x-h)^2+k(0≤x≤h),$水柱的最大高度为8dm.
(1) 当射水鱼在原点O处时,求水柱的解析式；
(2) 如图,昆虫在A(2,6)处停留,水柱形成的时间忽略不计,射水鱼从原点O出发.
① 射水鱼需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫?
② 昆虫发现原点处的射水鱼后立即以2dm/s的速度水平向右逃离,同时射水鱼以2.5dm/s的速度水平向右追赶,经过多少时间,射水鱼恰好能击中昆虫?
(1) 当射水鱼在原点O处时,求水柱的解析式；
(2) 如图,昆虫在A(2,6)处停留,水柱形成的时间忽略不计,射水鱼从原点O出发.
① 射水鱼需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫?
② 昆虫发现原点处的射水鱼后立即以2dm/s的速度水平向右逃离,同时射水鱼以2.5dm/s的速度水平向右追赶,经过多少时间,射水鱼恰好能击中昆虫?
答案
（1）$y=-2(x-2)^{2}+8(0\leqslant x\leqslant2)$；（2）①射水鱼需要向右游动1dm才能击中昆虫;②经过2s射水鱼恰好能击中昆虫.
解析
（1）解：因为水柱的最大高度为8dm，抛物线顶点式为$y=-2(x-h)^2+k$，所以$k=8$。又因为射水鱼在原点O处，抛物线过原点$(0,0)$，代入得$0=-2(0-h)^2+8$，即$-2h^2 + 8 = 0$，$h^2=4$，解得$h=2$（$h=-2$舍去，因为$0\leqslant x\leqslant h$），所以水柱解析式为$y=-2(x - 2)^2 + 8(0\leqslant x\leqslant2)$。
（2）①解：设射水鱼向右游动$m$dm，此时射水鱼位置为$(m,0)$，水柱解析式为$y=-2(x - (m + h'))^2 + 8$，因为最大高度仍为8dm，所以顶点纵坐标为8，且抛物线过$(m,0)$，即$0=-2(m - (m + h'))^2 + 8$，得$h'=2$，所以解析式为$y=-2(x - (m + 2))^2 + 8$。昆虫在$A(2,6)$，代入得$6=-2(2 - (m + 2))^2 + 8$，$6=-2(-m)^2 + 8$，$2m^2=2$，$m^2=1$，解得$m=1$（$m=-1$舍去），即需要向右游动1dm。
②解：设经过$t$s，射水鱼位置为$2.5t$dm，昆虫位置为$(2 + 2t,6)$。此时水柱解析式为$y=-2(x - (2.5t + 2))^2 + 8$（由①知$h'=2$），代入昆虫坐标得$6=-2((2 + 2t) - (2.5t + 2))^2 + 8$，$6=-2(-0.5t)^2 + 8$，$6=-2×0.25t^2 + 8$，$0.5t^2=2$，$t^2=4$，解得$t=2$（$t=-2$舍去），即经过2s。
（2）①解：设射水鱼向右游动$m$dm，此时射水鱼位置为$(m,0)$，水柱解析式为$y=-2(x - (m + h'))^2 + 8$，因为最大高度仍为8dm，所以顶点纵坐标为8，且抛物线过$(m,0)$，即$0=-2(m - (m + h'))^2 + 8$，得$h'=2$，所以解析式为$y=-2(x - (m + 2))^2 + 8$。昆虫在$A(2,6)$，代入得$6=-2(2 - (m + 2))^2 + 8$，$6=-2(-m)^2 + 8$，$2m^2=2$，$m^2=1$，解得$m=1$（$m=-1$舍去），即需要向右游动1dm。
②解：设经过$t$s，射水鱼位置为$2.5t$dm，昆虫位置为$(2 + 2t,6)$。此时水柱解析式为$y=-2(x - (2.5t + 2))^2 + 8$（由①知$h'=2$），代入昆虫坐标得$6=-2((2 + 2t) - (2.5t + 2))^2 + 8$，$6=-2(-0.5t)^2 + 8$，$6=-2×0.25t^2 + 8$，$0.5t^2=2$，$t^2=4$，解得$t=2$（$t=-2$舍去），即经过2s。
问题 如何确定隧道中警示灯带的安装方案?
素材1 2022年10月,温州市府东路过江通道工程正式开工,建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道.隧道顶部横截面可视为抛物线,如图(1),隧道底部宽AB为10m,高OC为5m.
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶,为了安全,拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带,沿抛物线安装,如图(2).为了实效,相邻两条灯带的水平间距均为0.8m(灯带宽度可忽略)；普通货车的高度大约为2.5m(载货后高度),货车顶部与警示灯带底部的安全距离应不少于50cm.灯带安装好后成轴对称分布.
问题解决
(1) 任务1——确定隧道形状：在图(1)中建立合适的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式.
(2) 任务2——探究安装范围：在你建立的坐标系中,在安全的前提下,确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围.
(3) 任务3——拟定设计方案：求出同一个横截面下,最多能安装几条警示灯带,并根据你所建立的平面直角坐标系,求出最右边一条警示灯带安装点的横坐标.
名师指导
(1) 任务1：以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系,利用待定系数法可得抛物线的函数解析式；
(2) 任务2：根据普通货车的高度大约为2.5m,警示灯带的长度为20cm,货车顶部与警示灯带底部的安全距离应不少于50cm,计算悬挂点的纵坐标的最小值；
(3) 任务3：画出数轴,利用数形结合解答.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
素材1 2022年10月,温州市府东路过江通道工程正式开工,建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道.隧道顶部横截面可视为抛物线,如图(1),隧道底部宽AB为10m,高OC为5m.
素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶,为了安全,拟在隧道顶部安装上下长度为20cm的警示灯带,沿抛物线安装,如图(2).为了实效,相邻两条灯带的水平间距均为0.8m(灯带宽度可忽略)；普通货车的高度大约为2.5m(载货后高度),货车顶部与警示灯带底部的安全距离应不少于50cm.灯带安装好后成轴对称分布.
问题解决
(1) 任务1——确定隧道形状：在图(1)中建立合适的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式.
(2) 任务2——探究安装范围：在你建立的坐标系中,在安全的前提下,确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围.
(3) 任务3——拟定设计方案：求出同一个横截面下,最多能安装几条警示灯带,并根据你所建立的平面直角坐标系,求出最右边一条警示灯带安装点的横坐标.
名师指导
(1) 任务1：以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系,利用待定系数法可得抛物线的函数解析式；
(2) 任务2：根据普通货车的高度大约为2.5m,警示灯带的长度为20cm,货车顶部与警示灯带底部的安全距离应不少于50cm,计算悬挂点的纵坐标的最小值；
(3) 任务3：画出数轴,利用数形结合解答.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案
(1) y=-1/5 x² +5；(2) 横坐标-3≤x≤3，纵坐标3.2≤y≤5；(3) 7条，2.4m。
解析
(1) 以AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系。则A(-5,0)，B(5,0)，C(0,5)。设抛物线解析式为y=ax²+5，将B(5,0)代入得：0=25a+5，解得a=-1/5。故抛物线解析式为y=-1/5 x² +5。
(2) 货车顶部高度2.5m，安全距离0.5m，灯带底部高度至少2.5+0.5=3.0m，灯带长0.2m，故灯带顶部纵坐标y≥3.0+0.2=3.2m。由y=-1/5 x² +5≥3.2，得x²≤9，即-3≤x≤3。纵坐标范围：3.2≤y≤5。综上，横坐标-3≤x≤3，纵坐标3.2≤y≤5。
(3) 灯带水平间距0.8m，轴对称分布。x≥0时，安装点横坐标为0,0.8,1.6,2.4（均≤3）；x＜0时，对称点为-0.8,-1.6,-2.4。共7个点。最右边灯带横坐标为2.4m。
(2) 货车顶部高度2.5m，安全距离0.5m，灯带底部高度至少2.5+0.5=3.0m，灯带长0.2m，故灯带顶部纵坐标y≥3.0+0.2=3.2m。由y=-1/5 x² +5≥3.2，得x²≤9，即-3≤x≤3。纵坐标范围：3.2≤y≤5。综上，横坐标-3≤x≤3，纵坐标3.2≤y≤5。
(3) 灯带水平间距0.8m，轴对称分布。x≥0时，安装点横坐标为0,0.8,1.6,2.4（均≤3）；x＜0时，对称点为-0.8,-1.6,-2.4。共7个点。最右边灯带横坐标为2.4m。
