登录
5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AC = BC $，点 $ O $ 是 $ AC $ 上一动点。以 $ O $ 为圆心，$ OA $ 的长为半径的圆与 $ AB $ 交于点 $ D $，作 $ DE ⊥ BC $，垂足为点 $ E $。试判断 $ DE $ 与 $ \odot O $ 的位置关系，并说明理由。
答案
5. DE与$\odot O$相切. 理由如下：连结OD，易证$∠ ODA=∠ A=∠ B$，则$OD// BC$. 由$DE⊥ BC$，可得$DE⊥ OD$，从而知DE与$\odot O$相切
解析
证明：DE与$\odot O$相切。
连结OD。
因为$AC=BC$，所以$∠A=∠B$。
因为$OA=OD$，所以$∠ODA=∠A$。
所以$∠ODA=∠B$，故$OD// BC$。
因为$DE⊥BC$，所以$DE⊥OD$。
又因为OD是$\odot O$的半径，所以DE与$\odot O$相切。
连结OD。
因为$AC=BC$，所以$∠A=∠B$。
因为$OA=OD$，所以$∠ODA=∠A$。
所以$∠ODA=∠B$，故$OD// BC$。
因为$DE⊥BC$，所以$DE⊥OD$。
又因为OD是$\odot O$的半径，所以DE与$\odot O$相切。
6. 如图，$ △ ABC $ 是直角三角形，$ ∠ ABC = 90^{\circ} $。以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 交 $ AC $ 于点 $ E $，$ D $ 是 $ BC $ 边的中点，连结 $ DE $。$ DE $ 是 $ \odot O $ 的切线吗？请说明理由。
答案
6. DE是$\odot O$的切线. 理由如下：连结OE，BE. 由AB为$\odot O$的直径，可知$∠ AEB$为直角，得$∠ BEC$为直角. 由$BD = CD$，知$DE=\frac{1}{2}BC = BD$，得$∠ EBD=∠ BED$. 由$OE = OB$，得$∠ OEB=∠ OBE$，从而得$∠ OED=∠ ABC = 90^{\circ}$，所以DE是$\odot O$的切线
解析
解：DE是$\odot O$的切线。理由如下：
连结OE，BE。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ BEC=180°-∠ AEB=90°$。
∵D是BC边的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=BD$，
∴$∠ EBD=∠ BED$。
∵$OE=OB$，
∴$∠ OEB=∠ OBE$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ OED=∠ OEB+∠ BED=∠ OBE+∠ EBD=∠ ABC=90°$，
∴$OE⊥ DE$。
∵OE是$\odot O$的半径，
∴DE是$\odot O$的切线。
连结OE，BE。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ BEC=180°-∠ AEB=90°$。
∵D是BC边的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=BD$，
∴$∠ EBD=∠ BED$。
∵$OE=OB$，
∴$∠ OEB=∠ OBE$。
∵$∠ ABC=90°$，
∴$∠ OED=∠ OEB+∠ BED=∠ OBE+∠ EBD=∠ ABC=90°$，
∴$OE⊥ DE$。
∵OE是$\odot O$的半径，
∴DE是$\odot O$的切线。
