1. 如图，$\odot O$的半径为5，$PA$切$\odot O$于点$A$.若$∠APO = 30^{\circ}$，则切线长$PA =$(结果保留根号).

1. $5\sqrt{3}$

解：
∵PA切$\odot O$于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
在Rt△OAP中，OA=5，∠APO=30°，
∵tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$，
∴tan30°=$\frac{5}{PA}$，
∴PA=$\frac{5}{tan30°}$=$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$5\sqrt{3}$。

2. 如图，$∠ACB = 60^{\circ}$，半径为3的$\odot O$切$BC$于点$C$.若将$\odot O$在$CB$上向右滚动，则当滚动到$\odot O$与$CA$也相切时，圆心$O$移动的水平距离为.

2. $3\sqrt{3}$

解：设滚动后圆心为$O'$，过$O$作$OD ⊥ BC$于$D$，过$O'$作$O'E ⊥ BC$于$E$，$O'F ⊥ AC$于$F$。
因为$\odot O$切$BC$于$C$，所以$OC ⊥ BC$，$OC = 3$，即$OD = 3$。
滚动后$\odot O'$与$BC$、$CA$相切，所以$O'E = O'F = 3$，$O'$在$∠ ACB$的平分线上。
$∠ ACB = 60°$，则$∠ O'CE = 30°$。
在$Rt△ O'CE$中，$\cos 30° = \frac{CE}{O'C}$，$O'C = \frac{O'E}{\sin 30°} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$，所以$CE = O'C · \cos 30° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
圆心$O$移动的水平距离为$CE = 3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$

3. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的两条切线，$A$，$B$为切点，直线$OP$交$\odot O$于点$D$，$E$，交$AB$于点$C$.有下列结论：
①$PA = PB$；②$AC = BC$；
③$OC = CD$；④$PA· AC = PC· AO$.
其中正确的有()

A.①③④.
B.②③④.
C.①②③.
D.①②④.

3. D

证明：
①
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB（切线长定理），①正确；
②
∵PA=PB，OA=OB，
∴OP垂直平分AB（等腰三角形三线合一），
∴AC=BC，②正确；
④
∵PA是切线，
∴OA⊥PA，∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴∠ACP=90°，∠OAP=∠ACP，又∠APC=∠OPA，
∴△ACP∽△OAP，
∴$\frac{PA}{AO}=\frac{PC}{AC}$，即PA·AC=PC·AO，④正确；
③OC与CD不一定相等，③错误。
综上，正确的有①②④，答案选D。

4. 如图，$PA$，$PB$切$\odot O$于点$A$，$B$，$PA⊥PB$于点$P$.若$PA = 4$，求图中阴影部分的面积.

4. $4π - 8$

解：连接 $OA$，$OB$，$OP$。
因为 $PA$，$PB$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，$B$，所以 $OA ⊥ PA$，$OB ⊥ PB$，$PA = PB = 4$。
又因为 $PA ⊥ PB$，所以四边形 $OAPB$ 是矩形，且 $OA = OB$，故四边形 $OAPB$ 是正方形，因此 $OA = PA = 4$，$∠ AOB = 90°$。
阴影部分面积 = 扇形 $AOB$ 面积 - $△ AOB$ 面积，即：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=\frac{90°}{360°}×π× OA^2 - \frac{1}{2}× OA × OB\\&=\frac{1}{4}π× 4^2 - \frac{1}{2}× 4 × 4\\&=4π - 8\end{aligned}$
答案：$4π - 8$