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例1 如图,作线段AB关于原点O的位似图形A'B',使A'B'= $\frac{1}{2}$AB,且A'B',AB分别在原点O的两旁,则点B'的坐标为(点B'与点B关于原点O位似对称).
【思路导析】P(x,y)在原点的异侧的对应点P'坐标为(-kx,-ky),其中k为相似比.
【请你解答】.
知识点二 位似与中心对称的联系
【思路导析】P(x,y)在原点的异侧的对应点P'坐标为(-kx,-ky),其中k为相似比.
【请你解答】.
知识点二 位似与中心对称的联系
答案
解：由图可得点B的坐标为$(1,2)$。
已知位似中心为原点$O$，相似比$k=\frac{1}{2}$，且$A'B'$与$AB$分别在原点$O$的两旁，
根据原点异侧位似的坐标变换规则，点$P(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$，
将$B(1,2)$代入得：
$x_{B'}=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$，
$y_{B'}=-\frac{1}{2}×2=-1$，
即点$B'$的坐标为$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{2},-1)}$。
已知位似中心为原点$O$，相似比$k=\frac{1}{2}$，且$A'B'$与$AB$分别在原点$O$的两旁，
根据原点异侧位似的坐标变换规则，点$P(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$，
将$B(1,2)$代入得：
$x_{B'}=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$，
$y_{B'}=-\frac{1}{2}×2=-1$，
即点$B'$的坐标为$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{2},-1)}$。
解析
【分析】
要确定点B'的坐标，首先从平面直角坐标系中读取点B的坐标；再明确位似条件：位似中心为原点O，相似比为$\frac{1}{2}$，且A'B'与AB在原点两侧，因此原点异侧的位似对应点坐标为原坐标乘负的相似比；最后代入点B的坐标计算即可得到结果。
【解析】
由图可得点B的坐标为$(1,2)$。
已知位似中心为原点$O$，相似比$k=\frac{1}{2}$，且$A'B'$与$AB$分别在原点$O$的两旁，根据原点异侧位似的坐标变换规则：点$P(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$，
将$B(1,2)$代入计算：
$x_{B'}=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$，
$y_{B'}=-\frac{1}{2}×2=-1$，
即点$B'$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{2},-1)}$
【知识点】
位似的坐标变换；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是基础类题型，重点考查以原点为位似中心的位似图形坐标变换规律，解题的易错点是容易忽略位似图形在原点异侧时坐标需要变号，掌握坐标变换规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要确定点B'的坐标，首先从平面直角坐标系中读取点B的坐标；再明确位似条件：位似中心为原点O，相似比为$\frac{1}{2}$，且A'B'与AB在原点两侧，因此原点异侧的位似对应点坐标为原坐标乘负的相似比；最后代入点B的坐标计算即可得到结果。
【解析】
由图可得点B的坐标为$(1,2)$。
已知位似中心为原点$O$，相似比$k=\frac{1}{2}$，且$A'B'$与$AB$分别在原点$O$的两旁，根据原点异侧位似的坐标变换规则：点$P(x,y)$的对应点坐标为$(-kx,-ky)$，
将$B(1,2)$代入计算：
$x_{B'}=-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$，
$y_{B'}=-\frac{1}{2}×2=-1$，
即点$B'$的坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{2},-1)}$
【知识点】
位似的坐标变换；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是基础类题型，重点考查以原点为位似中心的位似图形坐标变换规律，解题的易错点是容易忽略位似图形在原点异侧时坐标需要变号，掌握坐标变换规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
例2 把$△ ABC$绕原点$O$旋转$180°$，再缩小，使其相似比为$\frac{1}{3}$，相当于$△ ABC$ .
【思路导析】画草图作分析.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】画草图作分析.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：设$△ ABC$上任意一点的坐标为$(x,y)$，
将点$(x,y)$绕原点$O$旋转$180°$，得到的对应点坐标为$(-x,-y)$，
再以原点为位似中心，按相似比$\frac{1}{3}$缩小，得到的对应点坐标为$(-\frac{1}{3}x,-\frac{1}{3}y)$，
该变换符合以原点为位似中心的位似变换坐标规律，对应点横、纵坐标均为原坐标的$-\frac{1}{3}$倍，
因此相当于$△ ABC$以原点$O$为位似中心，作相似比为$-\frac{1}{3}$的位似变换。
将点$(x,y)$绕原点$O$旋转$180°$，得到的对应点坐标为$(-x,-y)$，
再以原点为位似中心，按相似比$\frac{1}{3}$缩小，得到的对应点坐标为$(-\frac{1}{3}x,-\frac{1}{3}y)$，
该变换符合以原点为位似中心的位似变换坐标规律，对应点横、纵坐标均为原坐标的$-\frac{1}{3}$倍，
因此相当于$△ ABC$以原点$O$为位似中心，作相似比为$-\frac{1}{3}$的位似变换。
解析
【分析】
解决这类连续图形变换的问题，可采用“由点带面”的思路：先设原图形上任意一点的坐标，分别计算每次变换后该点的对应坐标，再对比最终坐标与原坐标的变化规律，即可推导出整个图形的总变换类型。首先回忆绕原点旋转180°的坐标变化规则，再回忆以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规则，将两次变换的坐标变化结合即可得到结论。
【解析】
设$△ ABC$上任意一点的坐标为$(x,y)$：
1. 将点$(x,y)$绕原点$O$旋转$180°$，根据旋转180°的坐标变化规律，得到的对应点坐标为$(-x,-y)$；
2. 再以原点为位似中心，按相似比$\frac{1}{3}$缩小，根据位似变换的坐标规律，得到的对应点坐标为$(-\frac{1}{3}x,-\frac{1}{3}y)$。
观察最终坐标可知，对应点横、纵坐标均为原坐标的$-\frac{1}{3}$倍，符合以原点为位似中心的位似变换坐标规律，因此两次变换的总效果等价于一次位似变换。
【答案】
以原点$O$为位似中心，作相似比为$-\frac{1}{3}$的位似变换
【知识点】
旋转变换的坐标特征、位似变换的坐标规律
【点评】
本题综合考查了旋转变换和位似变换的坐标规律，通过分析单个点的坐标变化推导整个图形的变换类型，是解决图形变换类问题的常用方法，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
解决这类连续图形变换的问题，可采用“由点带面”的思路：先设原图形上任意一点的坐标，分别计算每次变换后该点的对应坐标，再对比最终坐标与原坐标的变化规律，即可推导出整个图形的总变换类型。首先回忆绕原点旋转180°的坐标变化规则，再回忆以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规则，将两次变换的坐标变化结合即可得到结论。
【解析】
设$△ ABC$上任意一点的坐标为$(x,y)$：
1. 将点$(x,y)$绕原点$O$旋转$180°$，根据旋转180°的坐标变化规律，得到的对应点坐标为$(-x,-y)$；
2. 再以原点为位似中心，按相似比$\frac{1}{3}$缩小，根据位似变换的坐标规律，得到的对应点坐标为$(-\frac{1}{3}x,-\frac{1}{3}y)$。
观察最终坐标可知，对应点横、纵坐标均为原坐标的$-\frac{1}{3}$倍，符合以原点为位似中心的位似变换坐标规律，因此两次变换的总效果等价于一次位似变换。
【答案】
以原点$O$为位似中心，作相似比为$-\frac{1}{3}$的位似变换
【知识点】
旋转变换的坐标特征、位似变换的坐标规律
【点评】
本题综合考查了旋转变换和位似变换的坐标规律，通过分析单个点的坐标变化推导整个图形的变换类型，是解决图形变换类问题的常用方法，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.7
例3 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”，图中的$△ ABC$是格点三角形。在建立平面直角坐标系后，点$B$的坐标为$(-1,-1)$。
（1）把$△ ABC$向左平移8格后得到$△ A_1B_1C_1$，画出$△ A_1B_1C_1$的图形并写出点$B_1$的坐标；
（2）把$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$90°$后得到$△ A_2B_2C$，画出$△ A_2B_2C$的图形并写出点$B_2$的坐标；
（3）在所给方格范围内把$△ ABC$以点$A$为位似中心放大，使放大前后对应边的比为$1:2$，画出$△ AB_3C_3$的图形。
【探究点拨】按各自的变换规律画图。
【规范解答】（1）画出的$△ A_1B_1C_1$的图形如图所示，点$B_1$的坐标为$(-9,-1)$；
（2）画出的$△ A_2B_2C$的图形如图所示，点$B_2$的坐标为$(5,5)$；
（3）画出的$△ AB_3C_3$的图形如图所示。
变式探究
1.线段$AB$的端点坐标为$A(4,2),B(6,4)$，以原点为位似中心，将线段$AB$放大2倍得$A_1B_1$，则$A_1$的坐标可能是$(8,4)$或，$B_1$的坐标可能是$(-12,-8)$或。
（1）把$△ ABC$向左平移8格后得到$△ A_1B_1C_1$，画出$△ A_1B_1C_1$的图形并写出点$B_1$的坐标；
（2）把$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$90°$后得到$△ A_2B_2C$，画出$△ A_2B_2C$的图形并写出点$B_2$的坐标；
（3）在所给方格范围内把$△ ABC$以点$A$为位似中心放大，使放大前后对应边的比为$1:2$，画出$△ AB_3C_3$的图形。
【探究点拨】按各自的变换规律画图。
【规范解答】（1）画出的$△ A_1B_1C_1$的图形如图所示，点$B_1$的坐标为$(-9,-1)$；
（2）画出的$△ A_2B_2C$的图形如图所示，点$B_2$的坐标为$(5,5)$；
（3）画出的$△ AB_3C_3$的图形如图所示。
变式探究
1.线段$AB$的端点坐标为$A(4,2),B(6,4)$，以原点为位似中心，将线段$AB$放大2倍得$A_1B_1$，则$A_1$的坐标可能是$(8,4)$或，$B_1$的坐标可能是$(-12,-8)$或。
答案
$\boldsymbol{(-8,-4)}$；$\boldsymbol{(12,8)}$
解析
【分析】
解决本题需掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：当位似图形与原图形在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘相似比k；当位似图形与原图形在位似中心异侧时，对应点坐标为原坐标乘-k。本题是将线段放大2倍，即相似比k=2，分别对A、B两点的坐标计算两种变换结果，结合题目给出的已知坐标即可得到空缺答案。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将图形放大k倍时，对应点的坐标为原坐标乘以k或乘以-k。
本题放大倍数k=2：
1. 对于点A(4,2)，变换后A₁的坐标有两种情况：
同侧时：$(4×2, 2×2)=(8,4)$，异侧时：$(4×(-2), 2×(-2))=(-8,-4)$，已知A₁的坐标可能是(8,4)，因此另一坐标为$(-8,-4)$。
2. 对于点B(6,4)，变换后B₁的坐标有两种情况：
同侧时：$(6×2, 4×2)=(12,8)$，异侧时：$(6×(-2), 4×(-2))=(-12,-8)$，已知B₁的坐标可能是(-12,-8)，因此另一坐标为$(12,8)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-8,-4)}$；$\boldsymbol{(12,8)}$
【知识点】
位似的坐标变换规律；平面直角坐标系；位似图形性质
【点评】
本题重点考查以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，解题时容易忽略位似图形在位似中心两侧的两种情况，需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题需掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：当位似图形与原图形在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘相似比k；当位似图形与原图形在位似中心异侧时，对应点坐标为原坐标乘-k。本题是将线段放大2倍，即相似比k=2，分别对A、B两点的坐标计算两种变换结果，结合题目给出的已知坐标即可得到空缺答案。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将图形放大k倍时，对应点的坐标为原坐标乘以k或乘以-k。
本题放大倍数k=2：
1. 对于点A(4,2)，变换后A₁的坐标有两种情况：
同侧时：$(4×2, 2×2)=(8,4)$，异侧时：$(4×(-2), 2×(-2))=(-8,-4)$，已知A₁的坐标可能是(8,4)，因此另一坐标为$(-8,-4)$。
2. 对于点B(6,4)，变换后B₁的坐标有两种情况：
同侧时：$(6×2, 4×2)=(12,8)$，异侧时：$(6×(-2), 4×(-2))=(-12,-8)$，已知B₁的坐标可能是(-12,-8)，因此另一坐标为$(12,8)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-8,-4)}$；$\boldsymbol{(12,8)}$
【知识点】
位似的坐标变换规律；平面直角坐标系；位似图形性质
【点评】
本题重点考查以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，解题时容易忽略位似图形在位似中心两侧的两种情况，需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
