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2.已知二次函数$y=(k+2)x^2 +k^2 -3$的图象经过点$(1,5)$，且该抛物线有最高点，则$k$的值为()
A.$2$
B.$-3$
C.$-3$或$2$
D.$-2$或$3$
A.$2$
B.$-3$
C.$-3$或$2$
D.$-2$或$3$
答案
B
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，已知二次函数图象过点(1,5)，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将x=1、y=5代入解析式，即可得到关于k的一元二次方程，求解得到k的候选值；第二步，抛物线有最高点，说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0，结合该条件对候选值进行筛选，排除不符合要求的取值，即可得到最终k的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=(k+2)x^2 +k^2 -3$的图象经过点$(1,5)$
∴ 将$x=1$，$y=5$代入解析式得：
$5=(k+2)×1^2 +k^2 -3$
整理得：$k^2 +k -6=0$
因式分解得：$(k+3)(k-2)=0$
解得：$k_1=-3$，$k_2=2$
又
∵ 该抛物线有最高点，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0
∴ $k+2＜0$，即$k＜-2$
当$k=-3$时，$k+2=-1＜0$，符合要求；
当$k=2$时，$k+2=4＞0$，抛物线开口向上，有最低点，不符合要求，舍去。
故$k=-3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题容易忽略抛物线有最高点对应开口向下的限定条件，直接选两个解而误选C，做题时要注意结合所有给定条件对结果进行筛选，同时要注意二次函数的二次项系数不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，已知二次函数图象过点(1,5)，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将x=1、y=5代入解析式，即可得到关于k的一元二次方程，求解得到k的候选值；第二步，抛物线有最高点，说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0，结合该条件对候选值进行筛选，排除不符合要求的取值，即可得到最终k的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=(k+2)x^2 +k^2 -3$的图象经过点$(1,5)$
∴ 将$x=1$，$y=5$代入解析式得：
$5=(k+2)×1^2 +k^2 -3$
整理得：$k^2 +k -6=0$
因式分解得：$(k+3)(k-2)=0$
解得：$k_1=-3$，$k_2=2$
又
∵ 该抛物线有最高点，说明抛物线开口向下，二次项系数小于0
∴ $k+2＜0$，即$k＜-2$
当$k=-3$时，$k+2=-1＜0$，符合要求；
当$k=2$时，$k+2=4＞0$，抛物线开口向上，有最低点，不符合要求，舍去。
故$k=-3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题容易忽略抛物线有最高点对应开口向下的限定条件，直接选两个解而误选C，做题时要注意结合所有给定条件对结果进行筛选，同时要注意二次函数的二次项系数不能为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
1. 抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+1$ 的开口向，其顶点坐标为，对称轴是，当x时，y随x的增大而减小。
答案
解：
$\because$ 抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2+1$，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上。
根据二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：
该抛物线的顶点坐标为$(0,1)$，对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
$\because$ 抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案依次为：上；$(0,1)$；直线$x=0$（或y轴）；$＜0$。
$\because$ 抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2+1$，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上。
根据二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：
该抛物线的顶点坐标为$(0,1)$，对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
$\because$ 抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案依次为：上；$(0,1)$；直线$x=0$（或y轴）；$＜0$。
解析
【分析】
本题考查$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质，解题思路如下：首先确定二次项系数$a$的符号，根据$a$的正负判断抛物线开口方向；再结合$y=ax^2+k$的图象特征，直接写出顶点坐标和对称轴；最后根据开口方向与对称轴的位置，判断函数的增减性，找到y随x增大而减小的x的取值范围。
【解析】
$\because$ 抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2+1$，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上。
根据二次函数$y=ax^2+k$的图象性质可得：
该抛物线的顶点坐标为$(0,1)$，对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
$\because$ 抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
上；$(0,1)$；直线$x=0$（或y轴）；$＜0$
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查形如$y=ax^2+k$的二次函数的基本性质，牢记相关图象与性质即可快速得出结果，是二次函数基础部分的典型练习题。
【难度系数】
0.9
本题考查$y=ax^2+k$型二次函数的基本性质，解题思路如下：首先确定二次项系数$a$的符号，根据$a$的正负判断抛物线开口方向；再结合$y=ax^2+k$的图象特征，直接写出顶点坐标和对称轴；最后根据开口方向与对称轴的位置，判断函数的增减性，找到y随x增大而减小的x的取值范围。
【解析】
$\because$ 抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2+1$，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上。
根据二次函数$y=ax^2+k$的图象性质可得：
该抛物线的顶点坐标为$(0,1)$，对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
$\because$ 抛物线开口向上，
$\therefore$ 在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
上；$(0,1)$；直线$x=0$（或y轴）；$＜0$
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查形如$y=ax^2+k$的二次函数的基本性质，牢记相关图象与性质即可快速得出结果，是二次函数基础部分的典型练习题。
【难度系数】
0.9
2. 函数$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + 2$有最值(填“大”或“小”)，即当$x=$时，$y$取得最大值，其最大值为。
答案
解：
在二次函数$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + 2$中，二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，
因此抛物线开口向下，函数有最大值。
对于二次函数$y=ax^2+k$，其顶点坐标为$(0,k)$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值，代入$x=0$计算得函数最大值为$2$。
答案依次为：大；$0$；$2$。
在二次函数$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + 2$中，二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，
因此抛物线开口向下，函数有最大值。
对于二次函数$y=ax^2+k$，其顶点坐标为$(0,k)$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值，代入$x=0$计算得函数最大值为$2$。
答案依次为：大；$0$；$2$。
解析
【分析】
解决本题需结合二次函数$y=ax^2+k$的性质逐步推导：第一步先判断二次项系数$a$的符号，$a$的正负决定抛物线的开口方向，进而确定函数有最大值还是最小值；第二步回忆$y=ax^2+k$形式的二次函数的顶点坐标特征，这类函数的对称轴为$x=0$，顶点坐标为$(0,k)$，最值就在顶点处取得，代入即可得到最值的大小。
【解析】
在二次函数$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + 2$中，二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数有最大值。
该函数属于$y=ax^2+k$的类型，其顶点坐标为$(0,k)$，对应本题中$k=2$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值，将$x=0$代入函数计算可得最大值为$2$。
【答案】
大；$0$；$2$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数最值判断
3.二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察$y=ax^2+k$形式的二次函数的核心性质，只要理清二次项系数与开口方向、最值的对应关系，牢记该类函数的顶点特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合二次函数$y=ax^2+k$的性质逐步推导：第一步先判断二次项系数$a$的符号，$a$的正负决定抛物线的开口方向，进而确定函数有最大值还是最小值；第二步回忆$y=ax^2+k$形式的二次函数的顶点坐标特征，这类函数的对称轴为$x=0$，顶点坐标为$(0,k)$，最值就在顶点处取得，代入即可得到最值的大小。
【解析】
在二次函数$y=-\dfrac{3}{2}x^2 + 2$中，二次项系数$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，函数有最大值。
该函数属于$y=ax^2+k$的类型，其顶点坐标为$(0,k)$，对应本题中$k=2$，因此当$x=0$时，$y$取得最大值，将$x=0$代入函数计算可得最大值为$2$。
【答案】
大；$0$；$2$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数最值判断
3.二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察$y=ax^2+k$形式的二次函数的核心性质，只要理清二次项系数与开口方向、最值的对应关系，牢记该类函数的顶点特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.已知二次函数$y=-2x^2 +4$，当$-2＜ x≤1$时，y的取值范围是。
答案
解：
对于二次函数$y=-2x^2+4$，
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,4)$。
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
当$-2＜ x ≤ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，将$x=-2$代入函数得$y=-2×(-2)^2 +4=-4$，
$\therefore$此时$-4＜ y ≤ 4$。
当$0＜x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，将$x=1$代入函数得$y=-2×1^2 +4=2$，
$\therefore$此时$2≤ y ＜4$。
综合两部分取值，可得$y$的取值范围是$\boldsymbol{-4＜ y ≤ 4}$。
对于二次函数$y=-2x^2+4$，
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,4)$。
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
当$-2＜ x ≤ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，将$x=-2$代入函数得$y=-2×(-2)^2 +4=-4$，
$\therefore$此时$-4＜ y ≤ 4$。
当$0＜x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，将$x=1$代入函数得$y=-2×1^2 +4=2$，
$\therefore$此时$2≤ y ＜4$。
综合两部分取值，可得$y$的取值范围是$\boldsymbol{-4＜ y ≤ 4}$。
解析
【分析】
要解决给定自变量范围求二次函数y的取值范围的问题，可按以下思路分析：首先先确定二次函数的基本性质，由二次项系数a的符号判断开口方向，再找到对称轴和顶点坐标，确定函数的最值点；接着判断给定的x范围是否跨越对称轴，本题中-2＜x≤1跨越了对称轴x=0，因此需要分-2＜x≤0和0＜x≤1两段，结合函数的增减性分别分析y的取值；最后计算两段区间端点对应的函数值，结合自变量端点的开闭情况，合并得到整体的y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+4$，
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,4)$。
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
当$-2＜ x ≤ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，将$x=-2$代入函数得$y=-2×(-2)^2 +4=-4$，
$\therefore$此时$-4＜ y ≤ 4$。
当$0＜x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，将$x=1$代入函数得$y=-2×1^2 +4=2$，
$\therefore$此时$2≤ y ＜4$。
综合两部分取值，可得$y$的取值范围是$-4＜ y ≤ 4$。
【答案】
$-4＜ y ≤ 4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 区间函数取值范围求解
【点评】
本题是二次函数取值范围的常规题型，解题的核心是先明确二次函数的开口方向、对称轴等基本性质，再结合自变量的取值范围利用增减性分析，尤其要注意自变量端点的开闭情况，避免因忽略端点取值条件出错。
【难度系数】
0.7
要解决给定自变量范围求二次函数y的取值范围的问题，可按以下思路分析：首先先确定二次函数的基本性质，由二次项系数a的符号判断开口方向，再找到对称轴和顶点坐标，确定函数的最值点；接着判断给定的x范围是否跨越对称轴，本题中-2＜x≤1跨越了对称轴x=0，因此需要分-2＜x≤0和0＜x≤1两段，结合函数的增减性分别分析y的取值；最后计算两段区间端点对应的函数值，结合自变量端点的开闭情况，合并得到整体的y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-2x^2+4$，
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,4)$。
$\therefore$当$x=0$时，$y$取得最大值$4$。
当$-2＜ x ≤ 0$时，$y$随$x$的增大而增大，将$x=-2$代入函数得$y=-2×(-2)^2 +4=-4$，
$\therefore$此时$-4＜ y ≤ 4$。
当$0＜x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，将$x=1$代入函数得$y=-2×1^2 +4=2$，
$\therefore$此时$2≤ y ＜4$。
综合两部分取值，可得$y$的取值范围是$-4＜ y ≤ 4$。
【答案】
$-4＜ y ≤ 4$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数的增减性
3. 区间函数取值范围求解
【点评】
本题是二次函数取值范围的常规题型，解题的核心是先明确二次函数的开口方向、对称轴等基本性质，再结合自变量的取值范围利用增减性分析，尤其要注意自变量端点的开闭情况，避免因忽略端点取值条件出错。
【难度系数】
0.7
4.将二次函数$y=x^2$的图象向下平移1个单位长度后得到的二次函数的解析式为()
A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2$
A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查二次函数图象的平移变换，解题时首先明确平移的方向和距离，再回忆二次函数平移的规律：上下平移是对函数的常数项进行调整，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就在解析式末尾加几；向下平移几个单位，就在解析式末尾减几。本题是向下平移1个单位，只需在原解析式的基础上减去1即可得到新的解析式。
【解析】
解：二次函数图象上下平移的规律为“上加下减”，即上下平移时仅调整解析式的常数项，向上平移加对应单位，向下平移减对应单位。
已知原二次函数解析式为$y=x^2$，将其图象向下平移1个单位长度，即在原解析式基础上减去1，可得平移后的解析式为$y=x^2 -1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数平移规律的应用，熟记“上加下减、左加右减”的平移口诀，注意区分上下平移（改变常数项）和左右平移（改变自变量）的运算位置，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数图象的平移变换，解题时首先明确平移的方向和距离，再回忆二次函数平移的规律：上下平移是对函数的常数项进行调整，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移几个单位，就在解析式末尾加几；向下平移几个单位，就在解析式末尾减几。本题是向下平移1个单位，只需在原解析式的基础上减去1即可得到新的解析式。
【解析】
解：二次函数图象上下平移的规律为“上加下减”，即上下平移时仅调整解析式的常数项，向上平移加对应单位，向下平移减对应单位。
已知原二次函数解析式为$y=x^2$，将其图象向下平移1个单位长度，即在原解析式基础上减去1，可得平移后的解析式为$y=x^2 -1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数平移规律的应用，熟记“上加下减、左加右减”的平移口诀，注意区分上下平移（改变常数项）和左右平移（改变自变量）的运算位置，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
5. 抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标是$(0,2)$，且形状及开口方向与抛物线$y=2x^2$相同，则$a$，$c$的值分别为()
A.$2,2$
B.$-2,-2$
C.$\frac{1}{2},2$
D.$\frac{1}{2},-2$
A.$2,2$
B.$-2,-2$
C.$\frac{1}{2},2$
D.$\frac{1}{2},-2$
答案
A
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步先明确抛物线的形状及开口方向由二次项系数a决定，若两个抛物线形状、开口方向均相同，则二者的二次项系数相等，由此可先求出a的值；第二步回忆二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，结合题目给出的顶点坐标即可求出c的值，最终确定正确选项。
【解析】
1. 求a的值：
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的形状及开口方向与$y=2x^2$相同，二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴ $a=2$。
2. 求c的值：
∵ 二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，已知该抛物线顶点坐标是$(0,2)$，
∴ $c=2$。
综上，$a=2$，$c=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次项系数的意义，二次函数顶点坐标，二次函数图像性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数$y=ax^2+c$的基本性质，熟练掌握二次项系数的作用、顶点坐标公式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步推导：第一步先明确抛物线的形状及开口方向由二次项系数a决定，若两个抛物线形状、开口方向均相同，则二者的二次项系数相等，由此可先求出a的值；第二步回忆二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，结合题目给出的顶点坐标即可求出c的值，最终确定正确选项。
【解析】
1. 求a的值：
∵ 抛物线$y=ax^2+c$的形状及开口方向与$y=2x^2$相同，二次项系数决定抛物线的开口方向和形状，
∴ $a=2$。
2. 求c的值：
∵ 二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，已知该抛物线顶点坐标是$(0,2)$，
∴ $c=2$。
综上，$a=2$，$c=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次项系数的意义，二次函数顶点坐标，二次函数图像性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数$y=ax^2+c$的基本性质，熟练掌握二次项系数的作用、顶点坐标公式是解题的关键。
【难度系数】
0.9
6.关于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2 - 2$的图象，下列结论不正确的是()
A.开口方向相同
B.形状相同
C.顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
A.开口方向相同
B.形状相同
C.顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$与$y=ax^2+k$的图象性质对比，解题思路如下：首先明确两个函数的二次项系数$a$均为$\frac{1}{2}$，根据$a$的作用判断开口方向、形状是否相同；再根据函数平移规律判断顶点坐标是否变化；最后结合开口方向和对称轴，分析$x＜0$时的增减性，逐一排除正确选项，选出错误结论即可。
【解析】
先分别分析两个二次函数的性质，再逐一判断选项：
1. 二次项系数均为$a=\frac{1}{2}＞0$：
开口方向由$a$的符号决定，两个函数都开口向上，故A选项结论正确，不符合题意；
二次函数的形状由$|a|$决定，两个函数$|a|$相等，所以图象形状相同，故B选项结论正确，不符合题意；
2. 顶点坐标分析：
$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；$y=\frac{1}{2}x^2-2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$，二者顶点坐标不同，故C选项结论错误，符合题意；
3. 增减性分析：
两个函数的对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），且开口向上，因此在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$均随$x$的增大而减小，故D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握二次项系数$a$对二次函数图象的决定作用，以及上下平移类二次函数的变化规律：上下平移仅改变顶点的纵坐标，开口方向、形状、对称轴、增减性均不发生变化。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$与$y=ax^2+k$的图象性质对比，解题思路如下：首先明确两个函数的二次项系数$a$均为$\frac{1}{2}$，根据$a$的作用判断开口方向、形状是否相同；再根据函数平移规律判断顶点坐标是否变化；最后结合开口方向和对称轴，分析$x＜0$时的增减性，逐一排除正确选项，选出错误结论即可。
【解析】
先分别分析两个二次函数的性质，再逐一判断选项：
1. 二次项系数均为$a=\frac{1}{2}＞0$：
开口方向由$a$的符号决定，两个函数都开口向上，故A选项结论正确，不符合题意；
二次函数的形状由$|a|$决定，两个函数$|a|$相等，所以图象形状相同，故B选项结论正确，不符合题意；
2. 顶点坐标分析：
$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；$y=\frac{1}{2}x^2-2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$，二者顶点坐标不同，故C选项结论错误，符合题意；
3. 增减性分析：
两个函数的对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），且开口向上，因此在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$均随$x$的增大而减小，故D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论不正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握二次项系数$a$对二次函数图象的决定作用，以及上下平移类二次函数的变化规律：上下平移仅改变顶点的纵坐标，开口方向、形状、对称轴、增减性均不发生变化。
【难度系数】
0.8
7.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在二次函数$y=ax^2+1(a＞0)$的图象上.若$x_1＞x_2＞0$,则$y_1$与$y_2$的大小关系是()
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1≥ y_2$
D.$y_1≤ y_2$
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1≥ y_2$
D.$y_1≤ y_2$
答案
A
解析
【分析】
要比较两个点的函数值大小，需先明确二次函数的图象性质：首先由a＞0判断抛物线开口方向，再确定对称轴，进而得出x＞0时函数的增减性，最后结合x₁、x₂的大小关系即可判断y₁与y₂的大小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+1(a＞0)$：
1. 因为$a＞0$，所以抛物线开口向上；
2. 该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1＞x_2＞0$，两点均在对称轴右侧，根据上述增减性可得$y_1＞y_2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，只需结合自变量所在区间的增减规律即可快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.9
要比较两个点的函数值大小，需先明确二次函数的图象性质：首先由a＞0判断抛物线开口方向，再确定对称轴，进而得出x＞0时函数的增减性，最后结合x₁、x₂的大小关系即可判断y₁与y₂的大小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+1(a＞0)$：
1. 因为$a＞0$，所以抛物线开口向上；
2. 该函数无一次项，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1＞x_2＞0$，两点均在对称轴右侧，根据上述增减性可得$y_1＞y_2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，只需结合自变量所在区间的增减规律即可快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.9
8.在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=-mx+n^2$与二次函数$y=x^2+m$的图象可能是（）
答案
解：
1. 对于二次函数$y=x^2+m$，二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 由平方的非负性可知$n^2≥0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$与$y$轴的交点纵坐标非负，即交点在$y$轴正半轴或原点，排除一次函数与$y$轴交于负半轴的选项A。
3. 剩余选项C、D中的二次函数顶点均在$y$轴负半轴，将$x=0$代入二次函数解析式得$y=m＜0$。
由$m＜0$可得$-m＞0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$的斜率为正，图象从左到右呈上升趋势。
选项C中一次函数从左到右下降，斜率为负，与推导结果矛盾，排除C。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
1. 对于二次函数$y=x^2+m$，二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 由平方的非负性可知$n^2≥0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$与$y$轴的交点纵坐标非负，即交点在$y$轴正半轴或原点，排除一次函数与$y$轴交于负半轴的选项A。
3. 剩余选项C、D中的二次函数顶点均在$y$轴负半轴，将$x=0$代入二次函数解析式得$y=m＜0$。
由$m＜0$可得$-m＞0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$的斜率为正，图象从左到右呈上升趋势。
选项C中一次函数从左到右下降，斜率为负，与推导结果矛盾，排除C。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
这是同一坐标系下一次函数与二次函数图象的判断问题，解题时我们可以从特征更明确的函数入手逐步排除错误选项：第一步先看二次函数，它的二次项系数是确定的正数，可直接判断开口方向，排除开口不符的选项；第二步看一次函数与y轴的交点，利用平方的非负性判断交点位置，排除不符的选项；第三步结合剩余选项中二次函数顶点的位置推导参数m的符号，进而判断一次函数的斜率，排除最后一个错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 对于二次函数$y=x^2+m$，二次项系数$1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 根据平方的非负性可知$n^2≥0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$与$y$轴的交点纵坐标非负，即交点在$y$轴正半轴或原点，排除一次函数与$y$轴交于负半轴的选项A。
3. 剩余选项C、D中的二次函数顶点均在$y$轴负半轴，将$x=0$代入二次函数解析式得$y=m＜0$。
由$m＜0$可得$-m＞0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$的斜率为正，图象从左到右呈上升趋势。
选项C中一次函数从左到右下降，斜率为负，与推导结果矛盾，排除C。
综上，正确选项为D。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；平方的非负性
【点评】
本题是两类函数图象的综合判断题，解题核心是结合函数性质推导参数的符号，通过逐一排除错误选项得到结果，能很好地考查数形结合的分析能力，帮助巩固函数图象的基础性质。
【难度系数】
0.7
这是同一坐标系下一次函数与二次函数图象的判断问题，解题时我们可以从特征更明确的函数入手逐步排除错误选项：第一步先看二次函数，它的二次项系数是确定的正数，可直接判断开口方向，排除开口不符的选项；第二步看一次函数与y轴的交点，利用平方的非负性判断交点位置，排除不符的选项；第三步结合剩余选项中二次函数顶点的位置推导参数m的符号，进而判断一次函数的斜率，排除最后一个错误选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 对于二次函数$y=x^2+m$，二次项系数$1＞0$，因此抛物线开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 根据平方的非负性可知$n^2≥0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$与$y$轴的交点纵坐标非负，即交点在$y$轴正半轴或原点，排除一次函数与$y$轴交于负半轴的选项A。
3. 剩余选项C、D中的二次函数顶点均在$y$轴负半轴，将$x=0$代入二次函数解析式得$y=m＜0$。
由$m＜0$可得$-m＞0$，因此一次函数$y=-mx+n^2$的斜率为正，图象从左到右呈上升趋势。
选项C中一次函数从左到右下降，斜率为负，与推导结果矛盾，排除C。
综上，正确选项为D。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；平方的非负性
【点评】
本题是两类函数图象的综合判断题，解题核心是结合函数性质推导参数的符号，通过逐一排除错误选项得到结果，能很好地考查数形结合的分析能力，帮助巩固函数图象的基础性质。
【难度系数】
0.7
