1. 下列条件,不能判定$△ ABC$与$△ DEF$相似的是()

A.$∠ C=∠ F=90°,∠ A=55°,∠ D=35°$
B.$∠ C=∠ F=90°,AB=10,BC=6,DE=15,EF=9$
C.$∠ C=∠ F=90°,\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
D.$∠ B=∠ E=90°,\frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$

1. D

【分析】
本题考查直角三角形相似的判定，解题时需结合相似三角形的通用判定定理（AA、SAS、SSS）及直角三角形特有的判定规则，逐一验证每个选项的条件是否满足相似判定要求，注意要严格对应边、角的对应关系，避免对应错误。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知$∠C=∠F=90°$，$∠A=55°$，则$△ABC$中$∠B=90°-55°=35°$，可得$∠B=∠D=35°$，两组角对应相等，符合AA相似判定，可证明两三角形相似，不符合题意。
选项B：已知$∠C=∠F=90°$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$DF=\sqrt{DE^2-EF^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$，则$\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，三边对应成比例，符合SSS相似判定，可证明两三角形相似，不符合题意。
选项C：已知$∠C=∠F=90°$，且$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，即两组直角边对应成比例，夹角均为直角相等，符合SAS相似判定，可证明两三角形相似，不符合题意。
选项D：已知$∠B=∠E=90°$，给出的比例$\frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$中，边不满足对应成比例的要求（正确对应应为直角边比对应直角边，斜边比对应斜边，即$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$等形式），无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题核心是考查相似三角形判定规则的应用，解题的关键是准确识别边、角的对应关系，不要混淆不同三角形的边的对应位置，避免因对应错误做出误判。
【难度系数】
0.7

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$AC=12$，$AB=15$，$A'C'=8$，则当$A'B'=$时，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.

2. 10

【分析】
已知两个直角三角形相似，且相似的对应顶点顺序已由相似符号明确给出，直角顶点C与C'为对应顶点，因此斜边AB与A'B'是对应边，直角边AC与A'C'是对应边。解题时先根据已知边求出相似比，再利用相似三角形对应边成比例的性质即可计算出A'B'的长度。
【解析】
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∠C=∠C'=90°
∴ 两组对应边成比例：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$
将AC=12，AB=15，A'C'=8代入比例式得：
$\frac{15}{A'B'}=\frac{12}{8}$
化简得$\frac{15}{A'B'}=\frac{3}{2}$
交叉相乘得：$3A'B'=30$
解得：$A'B'=10$
【答案】
10
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 直角三角形相似的判定
【点评】
本题属于基础题，核心是利用相似三角形对应边成比例求解未知边，解题关键是认准相似符号对应的顶点对应关系，避免因对应边匹配错误失分。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ABC=90°$，以$△ ABC$的一条直角边AB为斜边，向外作$Rt△ ABD$，延长AD交CB的延长线于点E，已知$AB^2=AC· AD$。
求证：$△ ABC∽△ ADB$。

3. 证明:
∵△ABC与△ADB都是直角三角形，
∴∠ABC=∠ADB=90°.
∵$AB^2=AC· AD,∴\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,
∴$△ABC∽△ADB$.

【分析】
要证明△ABC∽△ADB，先观察到△ABC和△ADB都是直角三角形，已经具备一组直角相等的条件。接下来结合已知的等积式$AB^2=AC·AD$，利用比例的基本性质可将其转化为对应边的比例式，满足直角三角形相似的判定条件，即可完成证明。
【解析】
第一步：确定两个三角形的直角相等
已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°；△ADB是以AB为斜边的直角三角形，因此∠ADB=90°，可得∠ABC=∠ADB。
第二步：将等积式转化为比例式
对$AB^2=AC·AD$利用比例的基本性质变形，可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即两个直角三角形的对应边成比例。
第三步：判定相似
在两个直角三角形中，有一组直角相等，且两组对应边成比例，因此可判定△ABC∽△ADB。
【答案】
证明:
∵△ABC与△ADB都是直角三角形，
∴∠ABC=∠ADB=90°.
∵$AB^2=AC· AD,∴\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,
∴$△ABC∽△ADB$.
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题属于相似证明的基础题，重点考查对直角三角形相似判定定理的掌握，解题关键是熟练进行等积式和比例式的互化，结合已知的等角条件即可快速求证。
【难度系数】
0.8

4.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$是$BC$上一点，已知$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}$。求证：$\mathrm{Rt}△ ADC ∽ \mathrm{Rt}△ BAC$。

4. 证明:
∵$∠ C=90°,CD=1,AD=\sqrt{5},∴AC=2$.
∵$∠ C=90°,AB=2\sqrt{5}$,
∴$BC=4,∴\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CB}=\frac{1}{2}$.
又
∵$∠DCA=∠ACB=90°,∴\mathrm{Rt}△ADC∽\mathrm{Rt}△BAC$.

【分析】
要证明两个直角三角形相似，已知二者有公共的直角∠C，根据相似三角形的判定定理，只需证明夹∠C的两组边对应成比例即可。首先在Rt△ADC中，已知斜边AD和直角边CD，可先用勾股定理求出AC的长度；再在Rt△BAC中，已知斜边AB和已求出的AC，用勾股定理求出BC的长度；最后验证两组直角边的比值是否相等，若相等即可证明两三角形相似。
【解析】
证明：
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理可得$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$。
在$\mathrm{Rt}△BAC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=2\sqrt{5}$，
由勾股定理可得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4$。
由此可得$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}$，$\frac{CA}{CB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CB}$。
又因为$∠ DCA=∠ ACB=90°$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证$\mathrm{Rt}△ADC ∽ \mathrm{Rt}△BAC$。
【答案】
证明:
∵$∠ C=90°,CD=1,AD=\sqrt{5},∴AC=2$.
∵$∠ C=90°,AB=2\sqrt{5}$,
∴$BC=4,∴\frac{CD}{CA}=\frac{CA}{CB}=\frac{1}{2}$.
又
∵$∠DCA=∠ACB=90°,∴\mathrm{Rt}△ADC∽\mathrm{Rt}△BAC$.
【知识点】
1.勾股定理 2.相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考察勾股定理和相似三角形的判定，解题关键是先通过勾股定理计算出未知边的长度，再验证对应边成比例，结合公共直角即可完成证明，解题逻辑清晰，易掌握。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知在△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是 ()

A.∠CAB=∠D
B.AD//BC
C.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$

5. D

【分析】
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC和△DAE均为直角三角形，已有一组对应直角∠C=∠AED=90°相等，要判定两三角形相似，只需再满足一组对应角相等，或夹直角的两组边对应成比例，或直角三角形斜边与直角边对应成比例即可。我们只需逐一分析各选项是否满足上述判定条件，即可选出正确答案。
【解析】
已知∠C=∠AED=90°，即两三角形已有一组对应角相等：
A选项：若∠CAB=∠D，结合∠C=∠AED=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
B选项：若AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠CAB=∠D，与A选项等价，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
C选项：若$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，AB、AC分别是Rt△ABC的斜边和直角边，AD、DE分别是Rt△DAE的斜边和直角边，根据“斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
D选项：若$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\frac{BC}{AC}$是Rt△ABC两条直角边的比，$\frac{AD}{AE}$是Rt△DAE的斜边与直角边的比，两组边不是对应边，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC与△DAE相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础应用型题目，解题时需先明确已知的相等角，再结合判定定理逐一验证选项，注意要准确区分两个三角形的对应边、对应角，避免因对应关系混淆判断失误。
【难度系数】
0.7

6如图，$∠ ABC=∠ CDB=90°$，$CB=a$，$AC=b$.问当$BD$与$a$、$b$之间满足怎样的函数关系时，以点$A$、$B$、$C$为顶点的三角形与以点$C$、$D$、$B$为顶点的三角形相似？

6. 解:已知$∠ABC=∠CDB=90°$,
当$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$时,$△ABC∽△CDB$,
$∴\frac{b}{a}=\frac{a}{BD},∴BD=\frac{a^2}{b}$;
当$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}$时,$△ABC∽△BDC$.
∵$CB=a,AC=b$,
$∴AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{b^2-a^2}$,
$∴\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{BD}=\frac{b}{a},∴BD=\frac{a\sqrt{b^2-a^2}}{b}$,
∴当$BD=\frac{a^2}{b}$或$BD=\frac{a\sqrt{b^2-a^2}}{b}$时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.

【分析】
本题是直角三角形相似的判定问题，已知两个三角形均为直角三角形，直角∠ABC和∠CDB为对应相等的角，由于题目未明确两个三角形的对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论：①△ABC∽△CDB；②△ABC∽△BDC。每种情况根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长和勾股定理即可求出BD的表达式。
【解析】
已知∠ABC=∠CDB=90°，分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC ∽ △ CDB$时，对应边成比例，即$\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{BD}$，
将$AC=b$，$CB=a$代入得：$\frac{b}{a}=\frac{a}{BD}$，解得$BD=\frac{a^2}{b}$；
2. 当$△ ABC ∽ △ BDC$时，对应边成比例，即$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BC}$，
先由勾股定理计算AB的长度：$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{b^2-a^2}$，
代入比例式得：$\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{BD}=\frac{b}{a}$，解得$BD=\frac{a\sqrt{b^2-a^2}}{b}$。
综上，两种情况均满足两个三角形相似的条件。
【答案】
当$BD=\frac{a^2}{b}$或$BD=\frac{a\sqrt{b^2-a^2}}{b}$时，以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似。
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应顶点的不确定性，漏写其中一种相似情况，解题时遇到未明确对应关系的相似问题，要先分类梳理所有可能的对应情况，再结合相似的性质计算求解。
【难度系数】
0.6