11.如图,在△ABC与△ADE中,BC=BA,DE=DA,D是BC边上一点,∠EDC=∠BAD,AC与DE交于点O.F、G分别是DE、BC边上的中点.求证:
(1)$AF · AC = AG · AE$;
(2)$2DF · OE = OA · CE$.

11. 证明:(1)$\because ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$,
$\therefore ∠ EDC+∠ ADE=∠ B+∠ BAD$.
$\because ∠ EDC=∠ BAD,\therefore ∠ ADE=∠ B$.
$\because BC=BA,DE=DA,\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$,
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$.
$\because F、G$ 分别是 $DE$、$BC$ 边上的中点，
$\therefore \dfrac{AF}{AG}=\dfrac{AE}{AC},\therefore AF · AC=AG · AE$.
(2)$\because △ ADE ∽ △ ABC,\therefore ∠ DAE=∠ BAC$,
$\therefore ∠ EAO=∠ BAD,\therefore ∠ EAO=∠ CDE$.
$\because ∠ AOE=∠ DOC,\therefore △ AOE ∽ △ DOC$,
$\therefore \dfrac{AO}{DO}=\dfrac{OE}{OC},\therefore \dfrac{AO}{OE}=\dfrac{OD}{OC}$.
$\because ∠ AOD=∠ COE,\therefore △ AOD ∽ △ EOC$,
$\therefore \dfrac{AD}{EC}=\dfrac{OA}{OE},\therefore AD · OE=OA · CE$.
$\because F$ 是 $DE$ 的中点, $\therefore AD=DE=2DF$,
$\therefore 2DF · OE=OA · CE$.

【分析】
(1) 要证明等积式$AF · AC = AG · AE$，可先将其转化为比例式$\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{AE}{AC}$，需要借助相似三角形的性质推导。首先利用三角形外角的性质，结合已知$∠ EDC=∠ BAD$，推出$△ ADE$和$△ ABC$的夹角$∠ ADE=∠ B$，再结合两个等腰三角形的边的比例关系证明两三角形相似；最后根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可得到所需比例式，交叉相乘得证。
(2) 要证明$2DF · OE = OA · CE$，结合$F$是$DE$中点、$DE=DA$，可知$2DF=AD$，因此只需先证明$AD · OE = OA · CE$，转化为比例式$\dfrac{OA}{OE}=\dfrac{AD}{CE}$即可。先由(1)的相似推导角的等量关系，结合对顶角相等先证$△ AOE∽△ DOC$，得到比例式后再推导$△ AOD∽△ EOC$，即可得到对应边的比例关系，代入线段等量关系即可得证。
【解析】
(1) 证明：
根据三角形外角的性质，$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，同时$∠ ADC=∠ EDC+∠ ADE$。
$\because ∠ EDC=∠ BAD$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$。
$\because BC=BA$，$DE=DA$，$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
$\because F、G$分别是$DE$、$BC$边上的中点，$AF、AG$是两个相似三角形的对应中线，
$\therefore \dfrac{AF}{AG}=\dfrac{AE}{AC}$，交叉相乘得$AF · AC = AG · AE$。
(2) 证明：
$\because △ ADE ∽ △ ABC$，$\therefore ∠ DAE=∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE-∠ DAC=∠ BAC-∠ DAC$，即$∠ EAO=∠ BAD$，
又$\because ∠ EDC=∠ BAD$，$\therefore ∠ EAO=∠ CDE$。
在$△ AOE$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ EAO=∠ CDO\\∠ AOE=∠ DOC（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ AOE ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \dfrac{AO}{DO}=\dfrac{OE}{OC}$，变形得$\dfrac{AO}{OE}=\dfrac{OD}{OC}$。
在$△ AOD$和$△ EOC$中：
$\begin{cases}\dfrac{AO}{OE}=\dfrac{OD}{OC}\\∠ AOD=∠ EOC（对顶角相等）\end{cases}$
$\therefore △ AOD ∽ △ EOC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \dfrac{AD}{EC}=\dfrac{OA}{OE}$，即$AD · OE=OA · CE$。
$\because F$是$DE$的中点，$DE=DA$，$\therefore AD=DE=2DF$，
代入得$2DF · OE = OA · CE$。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$AF · AC = AG · AE$成立；
(2) 证明见上述解析，$2DF · OE = OA · CE$成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题型，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，学会将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，同时要结合已知的角相等、中点等条件挖掘线段和角的等量关系，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12 如图，在$△ ABC$中，$AB=4$，$BC=5$，$AC=6$，把线段$AB$沿射线$BC$方向平移至$PQ$，直线$PQ$与直线$AC$交于点$E$，连接$BQ$与直线$AC$交于点$D$。
(1)若$BP=3$，求$AD$的长；
(2)设$BP=x$，$DE=y$，试求$y$关于$x$的函数表达式；
(3)当$BP$为多少时，以$Q$、$D$、$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。

12. 解:(1)如图 1,连接 $AQ$,$\because AB// PQ,AB=PQ$,
$\therefore$ 四边形 $ABPQ$ 是平行四边形，
$\therefore AQ// BP,AQ=BP=3,\therefore △ ADQ ∽ △ CDB$,
$\therefore \dfrac{AQ}{BC}=\dfrac{AD}{CD},\therefore \dfrac{3}{5}=\dfrac{AD}{6-AD},\therefore AD=\dfrac{9}{4}$.

(2)$\because AB// PQ,AQ// BC$,
$\therefore \dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CP}{CB},\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AQ}{BC}$.
$\because AB=4,BC=5,AC=6,BP=x,DE=y$.
如图 1,当点 $P$ 在边 $BC$ 上时，
$\therefore \dfrac{CE}{6}=\dfrac{5-x}{5}$, 解得 $CE=6-\dfrac{6x}{5}$,
$\dfrac{AD}{6-AD}=\dfrac{x}{5}$, 解得 $AD=\dfrac{6x}{x+5}$,
$\therefore y=DE=6-AD-CE=\dfrac{6x^2}{5x+25}$.
如图 2,当点 $P$ 在边 $BC$ 的延长线上时，
$\therefore \dfrac{CE}{6}=\dfrac{x-5}{5}$, 解得 $CE=\dfrac{6x}{5}-6$,
$\dfrac{AD}{6-AD}=\dfrac{x}{5}$, 解得 $AD=\dfrac{6x}{x+5}$,
$\therefore y=DE=6-AD+CE=\dfrac{6x^2}{5x+25}$.
综上所述,$y=\dfrac{6x^2}{5x+25}(x＞0)$.
(3)$\because AB// PQ,\therefore △ EDQ ∽ △ ADB$.
又 $Q、D、E$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 相似，
$\therefore △ ADB$ 与 $△ ABC$ 相似.
$\because ∠ BAC$ 为公共角,$∠ ABD ≠ ∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ ACB,\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, 即 $AD=\dfrac{8}{3}$.
由(2)知,$AD=\dfrac{6x}{x+5},\therefore \dfrac{6x}{x+5}=\dfrac{8}{3}$, 得 $x=4$,
$\therefore$ 当 $BP$ 为 4 时, 以 $Q、D、E$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 相似.

【分析】
(1) 先根据平移的特征得到AB平行且等于PQ，推出四边形ABPQ是平行四边形，可得AQ平行且等于BP，进而证得△ADQ∽△CDB，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解AD的长度；
(2) 依据平行线分线段成比例的性质，分别表示出CE、AD的长度，需分两种情况讨论：①点P在BC边上时，DE=AC-AD-CE；②点P在BC的延长线上时，DE=AC-AD+CE，整理后即可得到y关于x的函数表达式；
(3) 由AB//PQ可推出△EDQ∽△ADB，要使以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，只需△ADB与△ABC相似，结合公共角∠BAC确定对应角相等，利用相似三角形的比例关系求出AD的值，再代入(2)中AD的表达式即可求出BP的长度。
【解析】
(1) 如图1，连接$AQ$，$\because AB// PQ,AB=PQ$，
$\therefore$ 四边形$ABPQ$是平行四边形，
$\therefore AQ// BP,AQ=BP=3$，$\therefore △ ADQ ∽ △ CDB$，
$\therefore \dfrac{AQ}{BC}=\dfrac{AD}{CD}$，$\therefore \dfrac{3}{5}=\dfrac{AD}{6-AD}$，$\therefore AD=\dfrac{9}{4}$。

(2)$\because AB// PQ,AQ// BC$，
$\therefore \dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CP}{CB},\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AQ}{BC}$。
$\because AB=4,BC=5,AC=6,BP=x,DE=y$。
如图1，当点$P$在边$BC$上时，
$\therefore \dfrac{CE}{6}=\dfrac{5-x}{5}$， 解得$CE=6-\dfrac{6x}{5}$，
$\dfrac{AD}{6-AD}=\dfrac{x}{5}$， 解得$AD=\dfrac{6x}{x+5}$，
$\therefore y=DE=6-AD-CE=\dfrac{6x^2}{5x+25}$。
如图2，当点$P$在边$BC$的延长线上时，
$\therefore \dfrac{CE}{6}=\dfrac{x-5}{5}$， 解得$CE=\dfrac{6x}{5}-6$，
$\dfrac{AD}{6-AD}=\dfrac{x}{5}$， 解得$AD=\dfrac{6x}{x+5}$，
$\therefore y=DE=6-AD+CE=\dfrac{6x^2}{5x+25}$。
综上所述,$y=\dfrac{6x^2}{5x+25}(x＞0)$。
(3)$\because AB// PQ,\therefore △ EDQ ∽ △ ADB$。
又$Q、D、E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，
$\therefore △ ADB$与$△ ABC$相似。
$\because ∠ BAC$为公共角,$∠ ABD ≠ ∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ACB$，$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$， 即$AD=\dfrac{8}{3}$。
由(2)知,$AD=\dfrac{6x}{x+5}$，$\therefore \dfrac{6x}{x+5}=\dfrac{8}{3}$， 得$x=4$，
$\therefore$ 当$BP$为4时，以$Q、D、E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。
【答案】
(1)$AD=\dfrac{9}{4}$；
(2)$y=\dfrac{6x^2}{5x+25}(x＞0)$；
(3)$BP=4$

【知识点】
平移的性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论思想
【点评】
本题综合性较强，将平移性质、相似三角形的判定和性质结合考查，解题时需注意分类讨论点P的不同位置，避免漏解，同时要熟练掌握相似三角形的比例关系，能准确列出等式求解线段长度及函数关系式，有利于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6