6. 如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，$∠ ADE=60°$. 若$AD=3$，$\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，则DE的长度为 （）

A.3
B.2
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{2}{3}$

6.B

【分析】
首先，由等边三角形的性质可得三边相等、三个内角均为60°；已知∠ADE=60°，结合公共角可找到两组相等的角，证明两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的边长比例关系和AD的长度，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠C=60°，AC=AB
在△ADE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ C=60°\\ ∠ DAE=∠ CAD(公共角)\end{array} $
∴△ADE∽△ACD（两角对应相等，两三角形相似）
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CD}$，变形得$DE=\frac{AD· CD}{AC}$
∵$\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，且AC=AB
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{2}{3}$
将AD=3，$\frac{CD}{AC}=\frac{2}{3}$代入得：
$DE=3× \frac{2}{3}=2$
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题核心是通过等边三角形的内角性质和公共角找到相等的角，证明三角形相似，再利用相似的比例关系代入已知条件求解，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

7如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,且CE:BE=1:3,连接AE,过点E作EF⊥AE,交CD于点F,连接AF并延长,交BC的延长线于点G.若CG=3,则正方形的边长为
（）

A.14
B.13
C.12
D.11

7.B 解析:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
$\therefore AD=AB=BC,∠ B=∠ BCD=90°$.
$\because CE:BE=1:3$,
$\therefore$ 设 $CE=x,BE=3x$, 则 $AD=AB=BC=4x$.
$\because ∠ B=90°,EF⊥ AE$,
$\therefore ∠ BAE+∠ AEB=90°,∠ AEB+∠ CEF=90°$,
$\therefore ∠ BAE=∠ CEF$.
$\because ∠ B=∠ ECF=90°,\therefore △ ABE ∽ △ ECF$,
$\therefore \dfrac{CE}{BA}=\dfrac{CF}{BE},\therefore \dfrac{x}{4x}=\dfrac{CF}{3x},\therefore CF=\dfrac{3}{4}x$.
$\because ∠ B=∠ FCG=90°,∠ G=∠ G$,
$\therefore △ ABG ∽ △ FCG,\therefore \dfrac{CG}{BG}=\dfrac{CF}{AB}$,
即 $\dfrac{3}{4x+3}=\dfrac{\dfrac{3}{4}x}{4x}$, 解得 $x=\dfrac{13}{4},\therefore AD=4x=13$.

【分析】
解题时首先结合正方形的性质，根据CE:BE=1:3的比例关系设未知数，用含未知数的式子表示出正方形的边长；再根据EF⊥AE，利用同角的余角相等得到相等的角，证明△ABE∽△ECF，通过相似三角形的对应边成比例求出CF的长度；接下来利用公共角∠G和两个直角相等，证明△ABG∽△FCG，结合CG=3的已知条件代入比例关系列方程求解未知数，最后计算正方形的边长即可得到答案。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=AB=BC$，$∠ B=∠ BCD=90°$，
∵ $CE:BE=1:3$，
∴ 设$CE=x$，$BE=3x$，则$AD=AB=BC=4x$，
∵ $∠ B=90°$，$EF⊥ AE$，
∴ $∠ BAE+∠ AEB=90°$，$∠ AEB+∠ CEF=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ CEF$，
又
∵ $∠ B=∠ ECF=90°$，
∴ $△ ABE ∽ △ ECF$，
∴ $\dfrac{CE}{BA}=\dfrac{CF}{BE}$，代入得$\dfrac{x}{4x}=\dfrac{CF}{3x}$，解得$CF=\dfrac{3}{4}x$，
∵ $∠ B=∠ FCG=90°$，$∠ G=∠ G$，
∴ $△ ABG ∽ △ FCG$，
∴ $\dfrac{CG}{BG}=\dfrac{CF}{AB}$，其中$BG=BC+CG=4x+3$，
代入得$\dfrac{3}{4x+3}=\dfrac{\dfrac{3}{4}x}{4x}$，
化简求解得$x=\dfrac{13}{4}$，
∴ 正方形边长$AD=4x=4×\dfrac{13}{4}=13$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题目，核心是通过两次证明三角形相似得到对应边的比例关系，设未知数列方程求解即可，解题的关键是利用同角的余角相等、公共角找到相等的角，进而完成相似的证明。
【难度系数】
0.6

8.如图,在矩形ABCD中,已知$BE⊥ AC$,若$AB=2$,$BC=4$,则AF的长为.

8.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

【分析】
解题时先利用矩形的性质得到直角三角形ABC，用勾股定理求出AC的长度；再根据垂直关系得到一组等角，结合公共角证明△ABF和△ACB相似，最后借助相似三角形对应边成比例的性质列式计算AF的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∵$BE⊥AC$，
∴∠AFB=90°=∠ABC，
又
∵∠BAF=∠CAB（公共角），
∴$△ ABF ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AC}$，
将AB=2，$AC=2\sqrt{5}$代入得：$\frac{AF}{2}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
解得：$AF=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将矩形、勾股定理和相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是找准相似三角形，利用对应边成比例建立等式求解，计算时注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在正方形ABCD中,E为AD的中点,DF=$\frac{1}{4}$CD,连接EF并延长,交BC的延长线于点G,连接BE.
(1)求$\frac{DE}{CG}$的值;
(2)求证:△ABE∽△DEF.

9.(1)解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore ED// BG,\therefore △ DEF ∽ △ CGF,\therefore \dfrac{ED}{GC}=\dfrac{DF}{FC}$.
$\because DF=\dfrac{1}{4}CD,\therefore \dfrac{DF}{CF}=\dfrac{1}{3},\therefore \dfrac{DE}{CG}=\dfrac{1}{3}$.
(2)证明:设正方形的边长为$a$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore ∠ A=∠ D=90°,AD=AB=DC=a$.
$\because E$ 为边 $AD$ 的中点, $\therefore AE=ED=\dfrac{1}{2}a$.
又$\because DF=\dfrac{1}{4}CD,\therefore DF=\dfrac{1}{4}a$,
$\therefore \dfrac{AE}{DF}=\dfrac{AB}{DE},\therefore △ ABE ∽ △ DEF$.

【分析】
(1) 要求$\frac{DE}{CG}$的值，首先观察到正方形中AD与BC平行，即ED//BG，可推出△EDF与△CGF相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知DF与CD的数量关系求出DF和CF的比值，即可得到$\frac{DE}{CG}$的结果。
(2) 要证明△ABE∽△DEF，首先正方形的内角∠A、∠D均为90°，两个角相等，只需验证夹角的两组对应边成比例即可。可设正方形边长为参数a，分别表示出两个三角形的相关边长，计算对应边的比值，验证比值相等即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD// BC$，即$ED// BG$，
∴$△ DEF ∽ △ CGF$，
∴$\frac{ED}{CG}=\frac{DF}{FC}$。
∵$DF=\frac{1}{4}CD$，
∴$CF=CD-DF=\frac{3}{4}CD$，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{\frac{1}{4}CD}{\frac{3}{4}CD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{CG}=\frac{1}{3}$。
(2) 证明：设正方形的边长为$a$。
∵四边形ABCD为正方形，
∴$∠ A=∠ D=90°$，$AD=AB=DC=a$。
∵E为AD的中点，
∴$AE=ED=\frac{1}{2}a$。
又
∵$DF=\frac{1}{4}CD$，
∴$DF=\frac{1}{4}a$，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{4}a}=2$，$\frac{AB}{DE}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$，
又
∵$∠ A=∠ D=90°$，
∴$△ ABE ∽ △ DEF$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $△ ABE ∽ △ DEF$，证明成立。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是正方形与相似三角形的基础综合题，利用平行线构造相似三角形求线段比、设参数表示边长验证边成比例都是这类题的常用方法，掌握这些技巧可以快速解决同类几何问题。
【难度系数】
0.7

10 如图,在四边形 ABCD 中,AB//CD,对角线 AC、BD 交于点 E,点 F 在边 AB 上,连接 CF 交线段 BE 于点 G,CG²=GE·GD.
(1)求证:∠ACF=∠ABD;
(2)连接 EF,求证:EF·CG=EG·CB.

10. 证明:(1)$\because CG^2=GE · GD,\therefore \dfrac{CG}{GE}=\dfrac{GD}{CG}$.
又$\because ∠ CGD=∠ EGC$,
$\therefore △ GCD ∽ △ GEC,\therefore ∠ GDC=∠ GCE$.
$\because AB// CD,\therefore ∠ ABD=∠ BDC$,
$\therefore ∠ ACF=∠ ABD$.
(2)$\because ∠ ABD=∠ ACF,∠ BGF=∠ CGE$,
$\therefore △ BGF ∽ △ CGE,\therefore \dfrac{BG}{CG}=\dfrac{FG}{EG},\therefore \dfrac{FG}{BG}=\dfrac{EG}{CG}$.
又$\because ∠ FGE=∠ BGC,\therefore △ FGE ∽ △ BGC$,
$\therefore \dfrac{FE}{BC}=\dfrac{EG}{CG},\therefore EF · CG=EG · CB$.

【分析】
(1)要证∠ACF=∠ABD，首先将已知的乘积式$CG^2=GE·GD$转化为比例式，结合公共角可证得△GCD与△GEC相似，得到对应角相等；再结合AB//CD的平行线性质，利用内错角相等进行等量代换即可得证。
(2)要证$EF·CG=EG·CB$，只需证$\frac{EF}{CB}=\frac{EG}{CG}$即可。借助(1)的角相等结论，结合对顶角相等先证△BGF∽△CGE，调整所得比例式的内项后，再结合对顶角相等证△FGE∽△BGC，即可得到所需比例式，转化为乘积式即可得证。
【解析】
(1)证明：
$\because CG^2=GE · GD$，
$\therefore \dfrac{CG}{GE}=\dfrac{GD}{CG}$。
又$\because ∠ CGD=∠ EGC$，
$\therefore △ GCD ∽ △ GEC$，
$\therefore ∠ GDC=∠ GCE$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ BDC$，
$\therefore ∠ ACF=∠ ABD$。
(2)证明：
$\because ∠ ABD=∠ ACF，∠ BGF=∠ CGE$，
$\therefore △ BGF ∽ △ CGE$，
$\therefore \dfrac{BG}{CG}=\dfrac{FG}{EG}$，即$\dfrac{FG}{BG}=\dfrac{EG}{CG}$。
又$\because ∠ FGE=∠ BGC$，
$\therefore △ FGE ∽ △ BGC$，
$\therefore \dfrac{FE}{BC}=\dfrac{EG}{CG}$，
$\therefore EF · CG=EG · CB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACF=∠ABD}$，得证；
(2) $\boldsymbol{EF · CG=EG · CB}$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的常规中档题，解题关键是熟练掌握乘积式与比例式的互化技巧，结合公共角、对顶角、平行线的性质找相等的角，进而证明三角形相似，考查了逻辑推理能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6