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1. 下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是 （
A.$y=(a+2)x^2 +1$
B.$y=\frac{1}{x^2} +1$
C.$y=(x+2)(x+1)-x^2$
D.$y=2x^2 +3x$
名师微课
D
）A.$y=(a+2)x^2 +1$
B.$y=\frac{1}{x^2} +1$
C.$y=(x+2)(x+1)-x^2$
D.$y=2x^2 +3x$
名师微课
答案
1.D
解析
【分析】
要判断是否为二次函数，首先明确二次函数的三个判定要点：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们只需按照这三个要点逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
选项A：表达式中二次项系数为$a+2$，若$a=-2$，则二次项系数为0，此时函数为$y=1$，是常数函数，不是二次函数，故A不符合要求；
选项B：$y=\frac{1}{x^2}+1$的分母中含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义，故B不符合要求；
选项C：先化简表达式：$y=(x+2)(x+1)-x^2=x^2+3x+2-x^2=3x+2$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数，故C不符合要求；
选项D：$y=2x^2+3x$符合二次函数的定义形式，二次项系数$2\ne0$，最高次数为2，且是整式，一定是二次函数，故D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，易错点在于忽略二次项系数不能为0的要求，或者未化简表达式就直接判断最高次数，牢记判定要点逐一排查即可得分。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二次函数，首先明确二次函数的三个判定要点：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们只需按照这三个要点逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
选项A：表达式中二次项系数为$a+2$，若$a=-2$，则二次项系数为0，此时函数为$y=1$，是常数函数，不是二次函数，故A不符合要求；
选项B：$y=\frac{1}{x^2}+1$的分母中含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义，故B不符合要求；
选项C：先化简表达式：$y=(x+2)(x+1)-x^2=x^2+3x+2-x^2=3x+2$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数，故C不符合要求；
选项D：$y=2x^2+3x$符合二次函数的定义形式，二次项系数$2\ne0$，最高次数为2，且是整式，一定是二次函数，故D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，易错点在于忽略二次项系数不能为0的要求，或者未化简表达式就直接判断最高次数，牢记判定要点逐一排查即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$经过下列平移能得到抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -3$的是（
A.向右1个单位长度，向下3个单位长度
B.向左1个单位长度，向下3个单位长度
C.向右1个单位长度，向上3个单位长度
D.向左1个单位长度，向上3个单位长度
B
）A.向右1个单位长度，向下3个单位长度
B.向左1个单位长度，向下3个单位长度
C.向右1个单位长度，向上3个单位长度
D.向左1个单位长度，向上3个单位长度
答案
2.B
解析
【分析】
要解决抛物线平移的问题，核心是明确抛物线平移的本质是顶点的平移，且平移过程中二次项系数不变，有两种常用解题思路：一是分别求出两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移规律判断抛物线的平移方式；二是直接利用二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀直接推导平移方式。
【解析】
方法一：顶点平移法
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -3$是顶点式，其顶点坐标为$(-1,-3)$。
点$(0,0)$平移到$(-1,-3)$的过程：横坐标从0变为-1，说明向左平移了1个单位长度；纵坐标从0变为-3，说明向下平移了3个单位长度。
抛物线平移时仅位置改变，形状、开口方向均不变，因此抛物线的平移方式与顶点平移方式一致。
方法二：口诀法
二次函数平移规律为“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”：
原函数自变量为$x$，平移后自变量变为$x+1$，符合“左加”规则，即向左平移1个单位长度；
原函数常数项为0，平移后整体减去3，符合“下减”规则，即向下平移3个单位长度。
综上，平移方式为向左1个单位长度，向下3个单位长度，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数图象的平移性质，属于基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，特别注意“左加右减”是针对自变量$x$的变化，不要混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.8
要解决抛物线平移的问题，核心是明确抛物线平移的本质是顶点的平移，且平移过程中二次项系数不变，有两种常用解题思路：一是分别求出两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移规律判断抛物线的平移方式；二是直接利用二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀直接推导平移方式。
【解析】
方法一：顶点平移法
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -3$是顶点式，其顶点坐标为$(-1,-3)$。
点$(0,0)$平移到$(-1,-3)$的过程：横坐标从0变为-1，说明向左平移了1个单位长度；纵坐标从0变为-3，说明向下平移了3个单位长度。
抛物线平移时仅位置改变，形状、开口方向均不变，因此抛物线的平移方式与顶点平移方式一致。
方法二：口诀法
二次函数平移规律为“左加右减（针对自变量$x$），上加下减（针对常数项）”：
原函数自变量为$x$，平移后自变量变为$x+1$，符合“左加”规则，即向左平移1个单位长度；
原函数常数项为0，平移后整体减去3，符合“下减”规则，即向下平移3个单位长度。
综上，平移方式为向左1个单位长度，向下3个单位长度，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数图象的平移性质，属于基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，特别注意“左加右减”是针对自变量$x$的变化，不要混淆左右平移的方向。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=a(x+m)^2+k$的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（
A.$m＜0,k＜0$
B.$m＜0,k＞0$
C.$m＞0,k＜0$
D.$m＞0,k＞0$
A
）A.$m＜0,k＜0$
B.$m＜0,k＞0$
C.$m＞0,k＜0$
D.$m＞0,k＞0$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律，先将题目给出的顶点式转化为标准形式确定顶点坐标的表达式，再观察图像判断顶点所在的象限，根据象限内点的坐标符号特征列出关于m、k的不等式，求解不等式即可得到m、k的符号，最终匹配正确选项。
【解析】
二次函数的标准顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=a(x+m)^2+k$变形为$y=a[x-(-m)]^2+k$，可得该抛物线的顶点坐标为$(-m, k)$。
观察图像可知，抛物线的顶点位于第四象限，第四象限内的点满足横坐标大于0、纵坐标小于0，因此列不等式：
$\begin{cases}-m＞0 \\k＜0\end{cases}$
解第一个不等式得$m＜0$，因此$m＜0$，$k＜0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质，象限坐标符号特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题的核心是准确掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，结合图象位置判断参数符号，只要不混淆顶点横坐标的表达式即可快速做对。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律，先将题目给出的顶点式转化为标准形式确定顶点坐标的表达式，再观察图像判断顶点所在的象限，根据象限内点的坐标符号特征列出关于m、k的不等式，求解不等式即可得到m、k的符号，最终匹配正确选项。
【解析】
二次函数的标准顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=a(x+m)^2+k$变形为$y=a[x-(-m)]^2+k$，可得该抛物线的顶点坐标为$(-m, k)$。
观察图像可知，抛物线的顶点位于第四象限，第四象限内的点满足横坐标大于0、纵坐标小于0，因此列不等式：
$\begin{cases}-m＞0 \\k＜0\end{cases}$
解第一个不等式得$m＜0$，因此$m＜0$，$k＜0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质，象限坐标符号特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，解题的核心是准确掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，结合图象位置判断参数符号，只要不混淆顶点横坐标的表达式即可快速做对。
【难度系数】
0.7
4. 将二次函数$y=x^2+2x+3$和$y=-x^2+2x-3$的图像画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图像都是上升的部分，所对应自变量$x$的取值范围是 （
A.$x≥1$
B.$x≤-1$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x≥1$或$x≤-1$
C
）A.$x≥1$
B.$x≤-1$
C.$-1≤ x≤1$
D.$x≥1$或$x≤-1$
答案
4.C
解析
【分析】
要确定两个二次函数图像都上升的x的取值范围，需先分别分析两个二次函数的增减性：首先根据二次函数二次项系数的正负判断开口方向，再计算对称轴，结合开口方向得到每个函数y随x增大而增大（即图像上升）的x的取值范围，最后取两个范围的公共部分即可得到答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2+2x+3$的增减性：
二次项系数$a=1＞0$，因此函数图像开口向上，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
开口向上的二次函数，在对称轴右侧y随x增大而增大，即图像上升，因此该函数图像上升的x范围是$x≥-1$。
2. 分析二次函数$y=-x^2+2x-3$的增减性：
二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图像开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
开口向下的二次函数，在对称轴左侧y随x增大而增大，即图像上升，因此该函数图像上升的x范围是$x≤1$。
3. 取两个范围的公共部分：两个函数图像都上升的x的取值范围是$-1≤ x≤1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的增减性
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题核心考查二次函数增减性的应用，解题的关键是明确不同开口方向的二次函数增减性和对称轴的对应关系，避免混淆开口向上、向下时的上升区间，最后注意要取两个区间的公共部分而非并集。
【难度系数】
0.7
要确定两个二次函数图像都上升的x的取值范围，需先分别分析两个二次函数的增减性：首先根据二次函数二次项系数的正负判断开口方向，再计算对称轴，结合开口方向得到每个函数y随x增大而增大（即图像上升）的x的取值范围，最后取两个范围的公共部分即可得到答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2+2x+3$的增减性：
二次项系数$a=1＞0$，因此函数图像开口向上，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
开口向上的二次函数，在对称轴右侧y随x增大而增大，即图像上升，因此该函数图像上升的x范围是$x≥-1$。
2. 分析二次函数$y=-x^2+2x-3$的增减性：
二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图像开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
开口向下的二次函数，在对称轴左侧y随x增大而增大，即图像上升，因此该函数图像上升的x范围是$x≤1$。
3. 取两个范围的公共部分：两个函数图像都上升的x的取值范围是$-1≤ x≤1$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的增减性
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题核心考查二次函数增减性的应用，解题的关键是明确不同开口方向的二次函数增减性和对称轴的对应关系，避免混淆开口向上、向下时的上升区间，最后注意要取两个区间的公共部分而非并集。
【难度系数】
0.7
5. 抛物线 $y=(m-2)x^2 + 2x + (m^2 -4)$ 的图像经过原点，则 $m=$
-2
.答案
5.-2
解析
【分析】
解题思路分两步：首先，抛物线过原点，说明原点坐标(0,0)满足抛物线的解析式，代入即可求出m的初步取值；其次，题目明确是抛物线，说明该函数是二次函数，二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的m值，就能得到最终结果。
【解析】
∵ 抛物线$y=(m-2)x^2 + 2x + (m^2 -4)$经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=(m-2)×0^2 + 2×0 + m^2 -4$
即$m^2 -4=0$，解得$m=2$或$m=-2$
又
∵ 该函数图象是抛物线，属于二次函数
∴ 二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$
综上，$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础易错题，解题时很容易忽略“抛物线对应的二次项系数不为0”这个隐含条件，直接得出$m=\pm2$的错误结果，做题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6
解题思路分两步：首先，抛物线过原点，说明原点坐标(0,0)满足抛物线的解析式，代入即可求出m的初步取值；其次，题目明确是抛物线，说明该函数是二次函数，二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的m值，就能得到最终结果。
【解析】
∵ 抛物线$y=(m-2)x^2 + 2x + (m^2 -4)$经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0=(m-2)×0^2 + 2×0 + m^2 -4$
即$m^2 -4=0$，解得$m=2$或$m=-2$
又
∵ 该函数图象是抛物线，属于二次函数
∴ 二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$
综上，$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础易错题，解题时很容易忽略“抛物线对应的二次项系数不为0”这个隐含条件，直接得出$m=\pm2$的错误结果，做题时要注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.6
6.如果抛物线$y=(a+3)x^2 -5$不经过第一象限，那么$a$的取值范围是
$a＜-3$
。答案
6.$a＜-3$
解析
【分析】
首先明确抛物线是二次函数的图像，因此二次项系数不能为0。先分析该抛物线的基本特征：它的对称轴为y轴，与y轴的交点是(0,-5)，位于y轴负半轴。要使抛物线不经过第一象限，需判断开口方向：如果开口向上，抛物线向上无限延伸，当x取较大正值时y必然为正，会经过第一象限，不符合要求；如果开口向下，抛物线的顶点(0,-5)是最高点，所有点的纵坐标都≤-5＜0，不会出现x＞0且y＞0的点，即不经过第一象限，据此列不等式求解即可。
【解析】
解：
∵$y=(a+3)x^2 -5$是抛物线，
∴其为二次函数，二次项系数不为0。
该抛物线与y轴交点为$(0,-5)$，在y轴负半轴。
若抛物线不经过第一象限，则开口必须向下，即二次项系数小于0：
$a+3＜0$
解得$a＜-3$。
【答案】
$a＜-3$
【知识点】
二次函数的定义、二次函数的图像与性质
【点评】
本题解题的关键是结合抛物线与y轴的交点位置，通过开口方向判断图像的分布范围，要注意抛物线隐含二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线是二次函数的图像，因此二次项系数不能为0。先分析该抛物线的基本特征：它的对称轴为y轴，与y轴的交点是(0,-5)，位于y轴负半轴。要使抛物线不经过第一象限，需判断开口方向：如果开口向上，抛物线向上无限延伸，当x取较大正值时y必然为正，会经过第一象限，不符合要求；如果开口向下，抛物线的顶点(0,-5)是最高点，所有点的纵坐标都≤-5＜0，不会出现x＞0且y＞0的点，即不经过第一象限，据此列不等式求解即可。
【解析】
解：
∵$y=(a+3)x^2 -5$是抛物线，
∴其为二次函数，二次项系数不为0。
该抛物线与y轴交点为$(0,-5)$，在y轴负半轴。
若抛物线不经过第一象限，则开口必须向下，即二次项系数小于0：
$a+3＜0$
解得$a＜-3$。
【答案】
$a＜-3$
【知识点】
二次函数的定义、二次函数的图像与性质
【点评】
本题解题的关键是结合抛物线与y轴的交点位置，通过开口方向判断图像的分布范围，要注意抛物线隐含二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.7
7. 抛物线$y=(a-1)x^2 -2x +3$在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是
$a＜1$
。答案
7.$a＜1$
解析
【分析】
首先，题目明确给出函数图象是抛物线，说明该函数为二次函数，二次项系数不能为0。其次，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：若开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；若开口向上则相反。本题已知对称轴左侧y随x增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=(a-1)x^2 -2x +3$是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，且满足在对称轴左侧y随x的增大而增大的性质，
∴ 二次项系数小于0，即$a-1＜0$，
解不等式得：$a＜1$。
【答案】
$a＜1$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是根据函数的增减性判断抛物线的开口方向，要注意题目中“抛物线”的表述已经隐含了函数是二次函数的条件，无需额外讨论一次函数的情况。
【难度系数】
0.7
首先，题目明确给出函数图象是抛物线，说明该函数为二次函数，二次项系数不能为0。其次，二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：若开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；若开口向上则相反。本题已知对称轴左侧y随x增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=(a-1)x^2 -2x +3$是抛物线，
∴ 该函数为二次函数，且满足在对称轴左侧y随x的增大而增大的性质，
∴ 二次项系数小于0，即$a-1＜0$，
解不等式得：$a＜1$。
【答案】
$a＜1$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题关键是根据函数的增减性判断抛物线的开口方向，要注意题目中“抛物线”的表述已经隐含了函数是二次函数的条件，无需额外讨论一次函数的情况。
【难度系数】
0.7
8. 如果函数$y=(k-3)x^{k^2 - 3k + 2} + kx + 1$是二次函数，那么$k$的值为
0
。答案
8.0
解析
【分析】
要确定k的值，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数。因此本题需要满足两个核心条件：①x的最高次数为2，即指数$k^2-3k+2=2$；②二次项的系数不为0，即$k-3≠0$。先解方程求出k的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的解，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵函数$y=(k-3)x^{k^2 - 3k + 2} + kx + 1$是二次函数
∴根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：
$k^2 - 3k + 2 = 2$
移项化简得：$k^2 - 3k = 0$
因式分解得：$k(k-3)=0$
解得：$k=0$或$k=3$
2. 二次项系数不为0：
$k-3 ≠ 0$，即$k≠3$
综上，排除不符合条件的$k=3$，最终得$k=0$。
【答案】
0
【知识点】
1.二次函数的定义 2.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢牢把握二次函数的两个成立条件，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，导致多解出错，做题时要注意对求出的解进行验证。
【难度系数】
0.7
要确定k的值，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，a、b、c为常数）的函数叫做二次函数。因此本题需要满足两个核心条件：①x的最高次数为2，即指数$k^2-3k+2=2$；②二次项的系数不为0，即$k-3≠0$。先解方程求出k的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的解，即可得到正确的k值。
【解析】
解：
∵函数$y=(k-3)x^{k^2 - 3k + 2} + kx + 1$是二次函数
∴根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：
$k^2 - 3k + 2 = 2$
移项化简得：$k^2 - 3k = 0$
因式分解得：$k(k-3)=0$
解得：$k=0$或$k=3$
2. 二次项系数不为0：
$k-3 ≠ 0$，即$k≠3$
综上，排除不符合条件的$k=3$，最终得$k=0$。
【答案】
0
【知识点】
1.二次函数的定义 2.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢牢把握二次函数的两个成立条件，易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制，导致多解出错，做题时要注意对求出的解进行验证。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的二次函数$y=x^2 -4x +m$在$-1≤x≤3$的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是
-2
。答案
9.-2
解析
【分析】
解题先从二次函数的基本性质入手：首先由二次项系数a=1＞0可知抛物线开口向上，再根据对称轴公式求出对称轴，开口向上的抛物线在闭区间内的最大值出现在离对称轴更远的端点处，最小值出现在对称轴处。先利用已知的最大值求出参数m的值，再代入对称轴对应的x值即可算出最小值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -4x +m$，其中$a=1＞0$，$b=-4$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得对称轴为$x=\frac{4}{2×1}=2$，对称轴在区间$-1≤x≤3$内。
2. 确定最大值位置：开口向上的抛物线，离对称轴越远函数值越大。端点$x=-1$到对称轴的距离为$\vert-1-2\vert=3$，端点$x=3$到对称轴的距离为$\vert3-2\vert=1$，因此最大值在$x=-1$处取得。
3. 求参数m：将$x=-1$，$y=7$代入函数得：$(-1)^2-4×(-1)+m=7$，即$1+4+m=7$，解得$m=2$。
4. 求最小值：开口向上的抛物线在对称轴处取最小值，将$x=2$代入解析式$y=x^2 -4x +2$，得$y=2^2-4×2+2=4-8+2=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是结合抛物线开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，判断最值对应的自变量取值，掌握该思路就能轻松解决同类区间最值问题。
【难度系数】
0.7
解题先从二次函数的基本性质入手：首先由二次项系数a=1＞0可知抛物线开口向上，再根据对称轴公式求出对称轴，开口向上的抛物线在闭区间内的最大值出现在离对称轴更远的端点处，最小值出现在对称轴处。先利用已知的最大值求出参数m的值，再代入对称轴对应的x值即可算出最小值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 -4x +m$，其中$a=1＞0$，$b=-4$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得对称轴为$x=\frac{4}{2×1}=2$，对称轴在区间$-1≤x≤3$内。
2. 确定最大值位置：开口向上的抛物线，离对称轴越远函数值越大。端点$x=-1$到对称轴的距离为$\vert-1-2\vert=3$，端点$x=3$到对称轴的距离为$\vert3-2\vert=1$，因此最大值在$x=-1$处取得。
3. 求参数m：将$x=-1$，$y=7$代入函数得：$(-1)^2-4×(-1)+m=7$，即$1+4+m=7$，解得$m=2$。
4. 求最小值：开口向上的抛物线在对称轴处取最小值，将$x=2$代入解析式$y=x^2 -4x +2$，得$y=2^2-4×2+2=4-8+2=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是结合抛物线开口方向、对称轴与给定区间的位置关系，判断最值对应的自变量取值，掌握该思路就能轻松解决同类区间最值问题。
【难度系数】
0.7
10. 如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + c$，顶点为P，且AD=2，则点C的坐标为
$(8,2)$
.答案
10.$(8,2)$
解析
【分析】
首先根据AD的长度和D点的位置确定D点坐标，D点在抛物线上，将其代入抛物线表达式即可求出未知参数c，得到完整的抛物线解析式。再根据矩形的性质可知C点和D点纵坐标相同，令抛物线的y值等于D点的纵坐标，解一元二次方程，舍去对应D点的x值，剩下的x值就是C点的横坐标，进而得到C点坐标。
【解析】
解：
∵AD=2，A为坐标原点，D在y轴正半轴，
∴D点坐标为$(0,2)$。
∵点D在抛物线上，将$x=0,y=2$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + c$，得：
$2=0+0+c$，解得$c=2$，
∴抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + 2$。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore DC// x$轴，C点纵坐标与D点相同，为2，
令$y=2$，代入抛物线解析式得：
$2=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + 2$，
整理得$-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x=0$，即$x(-\dfrac{1}{4}x+2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=8$。
$x=0$对应点D，故点C的横坐标为8，纵坐标为2，即$C(8,2)$。
【答案】
$(8,2)$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.矩形的性质
3.一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题核心是利用抛物线上已知点确定函数解析式，再结合矩形的性质找所求点的坐标特征，求解时注意排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先根据AD的长度和D点的位置确定D点坐标，D点在抛物线上，将其代入抛物线表达式即可求出未知参数c，得到完整的抛物线解析式。再根据矩形的性质可知C点和D点纵坐标相同，令抛物线的y值等于D点的纵坐标，解一元二次方程，舍去对应D点的x值，剩下的x值就是C点的横坐标，进而得到C点坐标。
【解析】
解：
∵AD=2，A为坐标原点，D在y轴正半轴，
∴D点坐标为$(0,2)$。
∵点D在抛物线上，将$x=0,y=2$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + c$，得：
$2=0+0+c$，解得$c=2$，
∴抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + 2$。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore DC// x$轴，C点纵坐标与D点相同，为2，
令$y=2$，代入抛物线解析式得：
$2=-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x + 2$，
整理得$-\dfrac{1}{4}x^2 + 2x=0$，即$x(-\dfrac{1}{4}x+2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=8$。
$x=0$对应点D，故点C的横坐标为8，纵坐标为2，即$C(8,2)$。
【答案】
$(8,2)$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.矩形的性质
3.一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与几何图形结合的基础题，解题核心是利用抛物线上已知点确定函数解析式，再结合矩形的性质找所求点的坐标特征，求解时注意排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
11关于二次函数$y=(x-1)^2 +5$，以下说法：①函数图像的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图像的对称轴为直线$x=1$；④当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而减小；⑤$P(m,n)$是二次函数图像上一点，若$n＞6$，则$m＜0$或$m＞2$。其中正确的有
①③⑤
.(填序号)答案
11.①③⑤
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时先确定解析式中$a、h、k$的取值，再逐一验证5个结论是否符合性质即可。具体思路：1.根据$a$的正负判断开口方向，验证①；2.根据顶点坐标判断最值，验证②；3.根据顶点式直接得对称轴，验证③；4.结合开口方向和对称轴判断增减性，验证④；5.将点坐标代入解析式，解不等式判断$m$的取值范围，验证⑤。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2+5$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=1$，$k=5$。
①
∵$a=1＞0$，
∴函数图像开口向上，故①正确；
②
∵顶点坐标为$(h,k)=(1,5)$，且开口向上，
∴二次函数的最小值为$5$，不是$1$，故②错误；
③由顶点式性质可知，函数图像的对称轴为直线$x=h=1$，故③正确；
④
∵函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大，故④错误；
⑤若$P(m,n)$在函数图像上，则$n=(m-1)^2+5$，若$n＞6$，则$(m-1)^2+5＞6$，整理得$(m-1)^2＞1$，解得$m-1＞1$或$m-1＜-1$，即$m＞2$或$m＜0$，故⑤正确。
综上，正确的是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式对应的开口方向、对称轴、最值、增减性等核心性质，结合简单不等式求解即可快速判断正误，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时先确定解析式中$a、h、k$的取值，再逐一验证5个结论是否符合性质即可。具体思路：1.根据$a$的正负判断开口方向，验证①；2.根据顶点坐标判断最值，验证②；3.根据顶点式直接得对称轴，验证③；4.结合开口方向和对称轴判断增减性，验证④；5.将点坐标代入解析式，解不等式判断$m$的取值范围，验证⑤。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=(x-1)^2+5$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=1$，$k=5$。
①
∵$a=1＞0$，
∴函数图像开口向上，故①正确；
②
∵顶点坐标为$(h,k)=(1,5)$，且开口向上，
∴二次函数的最小值为$5$，不是$1$，故②错误；
③由顶点式性质可知，函数图像的对称轴为直线$x=h=1$，故③正确；
④
∵函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，
∴当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大，故④错误；
⑤若$P(m,n)$在函数图像上，则$n=(m-1)^2+5$，若$n＞6$，则$(m-1)^2+5＞6$，整理得$(m-1)^2＞1$，解得$m-1＞1$或$m-1＜-1$，即$m＞2$或$m＜0$，故⑤正确。
综上，正确的是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握顶点式对应的开口方向、对称轴、最值、增减性等核心性质，结合简单不等式求解即可快速判断正误，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
12已知点$A(-3,y_1)$和点$B(-\dfrac{2}{3},y_2)$都在二次函数$y=ax^2-2ax+m(a＜0)$的图像上，那么$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
12.$＜$
解析
【分析】
要比较两个点的函数值大小，首先需明确二次函数的对称轴与开口方向：对于开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小。第一步先利用对称轴公式求出该二次函数的对称轴；第二步判断开口方向；第三步分别计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小后即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2-2ax+m(a＜0)$：
1. 求对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
2. 判断开口方向：已知$a＜0$，所以抛物线开口向下，因此抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越大，对应的函数值越小。
3. 计算两点到对称轴的距离：
点$A(-3,y_1)$到直线$x=1$的距离为$\vert -3 -1\vert=4$；
点$B(-\frac{2}{3},y_2)$到直线$x=1$的距离为$\vert -\frac{2}{3}-1\vert=\frac{5}{3}$。
因为$4＞\frac{5}{3}$，点A离对称轴更远，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数图象性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题核心是先确定对称轴与开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，无需代入计算即可快速得出结果，是二次函数性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.75
要比较两个点的函数值大小，首先需明确二次函数的对称轴与开口方向：对于开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小。第一步先利用对称轴公式求出该二次函数的对称轴；第二步判断开口方向；第三步分别计算两个点到对称轴的距离，比较距离大小后即可得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2-2ax+m(a＜0)$：
1. 求对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中二次项系数为$a$，一次项系数$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即抛物线对称轴为直线$x=1$。
2. 判断开口方向：已知$a＜0$，所以抛物线开口向下，因此抛物线上的点到对称轴$x=1$的距离越大，对应的函数值越小。
3. 计算两点到对称轴的距离：
点$A(-3,y_1)$到直线$x=1$的距离为$\vert -3 -1\vert=4$；
点$B(-\frac{2}{3},y_2)$到直线$x=1$的距离为$\vert -\frac{2}{3}-1\vert=\frac{5}{3}$。
因为$4＞\frac{5}{3}$，点A离对称轴更远，所以$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数图象性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题核心是先确定对称轴与开口方向，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小，无需代入计算即可快速得出结果，是二次函数性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.75
