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7. 如图1,区间测速是通过计算机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(即测速区间)上的平均速度来判定是否超速.小颖发现,在安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某高速公路限速区间AB段行驶时,平均速度$v$(km/h)与行驶时间$t$(h)之间满足反比例函数关系,其图象如图2所示.
(1)求$v$关于$t$的函数解析式;
(2)已知该限速区间AB段对小型载客汽车的最高限速为120 km/h,最低限速为80 km/h,求小颖的爸爸按规行驶通过该区间时,所用的时间$t$的取值范围.
(1)求$v$关于$t$的函数解析式;
(2)已知该限速区间AB段对小型载客汽车的最高限速为120 km/h,最低限速为80 km/h,求小颖的爸爸按规行驶通过该区间时,所用的时间$t$的取值范围.
答案
解：
(1) 设$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将点$(0.3,80)$代入解析式，得：
$80=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=24$，
∴$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{24}{t}(t＞0)$。
(2) 由题意得$80≤ v≤120$，
将$v=\frac{24}{t}$代入不等式，得：
$80≤\frac{24}{t}≤120$，
∵$t＞0$，不等式各项同乘$t$不等号方向不变，可得：
$\begin{cases}80t≤24\\120t≥24\end{cases}$，
解得$0.2≤ t≤0.3$。
答：小颖的爸爸按规行驶通过该区间时，所用的时间$t$的取值范围是$0.2\ \mathrm{h}≤ t≤0.3\ \mathrm{h}$。
(1) 设$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将点$(0.3,80)$代入解析式，得：
$80=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=24$，
∴$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{24}{t}(t＞0)$。
(2) 由题意得$80≤ v≤120$，
将$v=\frac{24}{t}$代入不等式，得：
$80≤\frac{24}{t}≤120$，
∵$t＞0$，不等式各项同乘$t$不等号方向不变，可得：
$\begin{cases}80t≤24\\120t≥24\end{cases}$，
解得$0.2≤ t≤0.3$。
答：小颖的爸爸按规行驶通过该区间时，所用的时间$t$的取值范围是$0.2\ \mathrm{h}≤ t≤0.3\ \mathrm{h}$。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明平均速度v和行驶时间t满足反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，再从图象中提取已知点$(0.3,80)$，将点坐标代入解析式即可求出参数k，进而得到v关于t的函数解析式。
(2) 已知汽车的限速范围是$80\mathrm{km/h}≤v≤120\mathrm{km/h}$，将第一问得到的函数解析式代入速度范围，结合行驶时间t必然大于0的实际意义，解对应的不等式组，就能得到t的取值范围。
【解析】
(1) 设$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将点$(0.3,80)$代入解析式，得：
$80=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=24$，
∴$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{24}{t}(t＞0)$。
(2) 由题意得$80≤ v≤120$，
将$v=\frac{24}{t}$代入不等式，得：
$80≤\frac{24}{t}≤120$，
∵$t＞0$，不等式各项同乘$t$不等号方向不变，可得：
$\begin{cases}80t≤24\\120t≥24\end{cases}$，
解得$0.2≤ t≤0.3$。
答：小颖的爸爸按规行驶通过该区间时，所用的时间$t$的取值范围是$0.2\ \mathrm{h}≤ t≤0.3\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $v=\frac{24}{t}(t＞0)$
(2) $0.2\ \mathrm{h}≤ t≤0.3\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用；不等式组求解
【点评】
本题结合区间测速的生活场景考查反比例函数的应用，贴近生活实际，既需要掌握待定系数法求函数解析式的基本方法，也需要结合实际限制条件完成速度范围到时间范围的转化，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
(1) 题目明确说明平均速度v和行驶时间t满足反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，再从图象中提取已知点$(0.3,80)$，将点坐标代入解析式即可求出参数k，进而得到v关于t的函数解析式。
(2) 已知汽车的限速范围是$80\mathrm{km/h}≤v≤120\mathrm{km/h}$，将第一问得到的函数解析式代入速度范围，结合行驶时间t必然大于0的实际意义，解对应的不等式组，就能得到t的取值范围。
【解析】
(1) 设$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将点$(0.3,80)$代入解析式，得：
$80=\frac{k}{0.3}$，
解得$k=24$，
∴$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{24}{t}(t＞0)$。
(2) 由题意得$80≤ v≤120$，
将$v=\frac{24}{t}$代入不等式，得：
$80≤\frac{24}{t}≤120$，
∵$t＞0$，不等式各项同乘$t$不等号方向不变，可得：
$\begin{cases}80t≤24\\120t≥24\end{cases}$，
解得$0.2≤ t≤0.3$。
答：小颖的爸爸按规行驶通过该区间时，所用的时间$t$的取值范围是$0.2\ \mathrm{h}≤ t≤0.3\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $v=\frac{24}{t}(t＞0)$
(2) $0.2\ \mathrm{h}≤ t≤0.3\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用；不等式组求解
【点评】
本题结合区间测速的生活场景考查反比例函数的应用，贴近生活实际，既需要掌握待定系数法求函数解析式的基本方法，也需要结合实际限制条件完成速度范围到时间范围的转化，能有效锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
8.某地计划用120~180天(含120与180)的时间建设一项水利工程，运输队需要运送的土石方总量为360万立方米.
(1)设运输队平均每天的工作量为x(万立方米)，用x来表示运输队完成任务所需的时间(天)，并写出x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送的土石方是原计划的1.2倍，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？
(1)设运输队平均每天的工作量为x(万立方米)，用x来表示运输队完成任务所需的时间(天)，并写出x的取值范围；
(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送的土石方是原计划的1.2倍，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？
答案
解：
(1) 由题意得，运输队完成任务所需的时间 $t=\dfrac{360}{x}$（天）。
由题知 $120 ≤ t ≤ 180$，将 $t=\dfrac{360}{x}$ 代入得：
$120 ≤ \dfrac{360}{x} ≤ 180$
因为$x＞0$，不等式两边同乘$x$得：
$120x ≤ 360 ≤ 180x$
解得 $2 ≤ x ≤ 3$。
(2) 设原计划平均每天运送土石方$x$万立方米，则实际平均每天运送土石方$1.2x$万立方米，根据题意得：
$\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{1.2x} = 24$
化简得：
$\dfrac{60}{x}=24$
解得 $x=2.5$。
经检验，$x=2.5$是原分式方程的解，且满足$2 ≤ x ≤ 3$，符合题意。
则 $1.2x=1.2×2.5=3$。
答：运输队完成任务所需时间为$\dfrac{360}{x}$天，$x$的取值范围是$2≤ x≤3$；原计划平均每天运送土石方2.5万立方米，实际平均每天运送土石方3万立方米。
(1) 由题意得，运输队完成任务所需的时间 $t=\dfrac{360}{x}$（天）。
由题知 $120 ≤ t ≤ 180$，将 $t=\dfrac{360}{x}$ 代入得：
$120 ≤ \dfrac{360}{x} ≤ 180$
因为$x＞0$，不等式两边同乘$x$得：
$120x ≤ 360 ≤ 180x$
解得 $2 ≤ x ≤ 3$。
(2) 设原计划平均每天运送土石方$x$万立方米，则实际平均每天运送土石方$1.2x$万立方米，根据题意得：
$\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{1.2x} = 24$
化简得：
$\dfrac{60}{x}=24$
解得 $x=2.5$。
经检验，$x=2.5$是原分式方程的解，且满足$2 ≤ x ≤ 3$，符合题意。
则 $1.2x=1.2×2.5=3$。
答：运输队完成任务所需时间为$\dfrac{360}{x}$天，$x$的取值范围是$2≤ x≤3$；原计划平均每天运送土石方2.5万立方米，实际平均每天运送土石方3万立方米。
解析
【分析】
(1) 结合工程问题的基本数量关系“工作时间=工作总量÷工作效率”，可直接写出时间与每天工作量的函数表达式；再根据题目给出的工期范围，将函数表达式代入不等式，结合x为正数的隐含条件解不等式，即可得到x的取值范围。
(2) 先明确题中等量关系：原计划工期 - 实际工期 = 24天。设原计划平均每天运送x万立方米，则实际每天运送1.2x万立方米，分别用工作总量除以工作效率表示两个工期，代入等量关系列分式方程，求解后需双重检验：一是检验解是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合第一问的x取值范围，最终求出实际每天的运送量即可。
【解析】
(1) 由题意得，运输队完成任务所需的时间 $t=\dfrac{360}{x}$（天）。
已知工期范围为$120 ≤ t ≤ 180$，将 $t=\dfrac{360}{x}$ 代入得：
$120 ≤ \dfrac{360}{x} ≤ 180$
$\because x＞0$，不等式两边同乘$x$得：
$120x ≤ 360 ≤ 180x$
解得 $2 ≤ x ≤ 3$。
(2) 设原计划平均每天运送土石方$x$万立方米，则实际平均每天运送土石方$1.2x$万立方米，根据题意得：
$\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{1.2x} = 24$
化简得：
$\dfrac{60}{x}=24$
解得 $x=2.5$。
经检验，$x=2.5$是原分式方程的解，且满足$2 ≤ x ≤ 3$，符合题意。
则实际每天运送量为 $1.2x=1.2×2.5=3$（万立方米）。
【答案】
(1) 完成任务所需时间为$t=\dfrac{360}{x}$天，$x$的取值范围是$2≤ x≤3$；
(2) 原计划平均每天运送土石方2.5万立方米，实际平均每天运送土石方3万立方米。
【知识点】
反比例函数的应用；分式方程的实际应用；解一元一次不等式组
【点评】
本题以工程问题为背景，综合考察了反比例函数、分式方程和不等式的相关知识，解题核心是准确把握工程问题的基本数量关系，找准等量和不等关系，需注意分式方程求解后必须检验，同时要结合实际意义判断解是否符合要求，是代数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 结合工程问题的基本数量关系“工作时间=工作总量÷工作效率”，可直接写出时间与每天工作量的函数表达式；再根据题目给出的工期范围，将函数表达式代入不等式，结合x为正数的隐含条件解不等式，即可得到x的取值范围。
(2) 先明确题中等量关系：原计划工期 - 实际工期 = 24天。设原计划平均每天运送x万立方米，则实际每天运送1.2x万立方米，分别用工作总量除以工作效率表示两个工期，代入等量关系列分式方程，求解后需双重检验：一是检验解是否为分式方程的增根，二是检验解是否符合第一问的x取值范围，最终求出实际每天的运送量即可。
【解析】
(1) 由题意得，运输队完成任务所需的时间 $t=\dfrac{360}{x}$（天）。
已知工期范围为$120 ≤ t ≤ 180$，将 $t=\dfrac{360}{x}$ 代入得：
$120 ≤ \dfrac{360}{x} ≤ 180$
$\because x＞0$，不等式两边同乘$x$得：
$120x ≤ 360 ≤ 180x$
解得 $2 ≤ x ≤ 3$。
(2) 设原计划平均每天运送土石方$x$万立方米，则实际平均每天运送土石方$1.2x$万立方米，根据题意得：
$\dfrac{360}{x} - \dfrac{360}{1.2x} = 24$
化简得：
$\dfrac{60}{x}=24$
解得 $x=2.5$。
经检验，$x=2.5$是原分式方程的解，且满足$2 ≤ x ≤ 3$，符合题意。
则实际每天运送量为 $1.2x=1.2×2.5=3$（万立方米）。
【答案】
(1) 完成任务所需时间为$t=\dfrac{360}{x}$天，$x$的取值范围是$2≤ x≤3$；
(2) 原计划平均每天运送土石方2.5万立方米，实际平均每天运送土石方3万立方米。
【知识点】
反比例函数的应用；分式方程的实际应用；解一元一次不等式组
【点评】
本题以工程问题为背景，综合考察了反比例函数、分式方程和不等式的相关知识，解题核心是准确把握工程问题的基本数量关系，找准等量和不等关系，需注意分式方程求解后必须检验，同时要结合实际意义判断解是否符合要求，是代数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
