4.一辆客车从A地出发前往B地，平均速度$v$(km/h)与所用时间$t$(h)的函数关系如图所示，其中$60≤ v≤ 120$.
(1)求$v$关于$t$的函数解析式；
(2)客车上午8点从A地出发，需在当天14点至15点30分之间(含14点与15点30分)到达B地，求客车行驶速度$v$的取值范围.

解：
(1) 设$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=6$，$v=100$代入解析式得：
$100=\frac{k}{6}$，
解得$k=600$。
由$60≤ v≤120$，可得$60≤\frac{600}{t}≤120$，
解得$5≤ t≤10$，
$\therefore v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{600}{t}\quad(5≤ t≤10)$。
(2) 由题意，客车8点出发，14点到达时行驶时间为$14-8=6\ \mathrm{h}$，
15点30分到达时行驶时间为$15.5-8=7.5\ \mathrm{h}$，
因此行驶时间$t$的取值范围是$6≤ t≤7.5$。
$\because k=600＞0$，当$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，
$\therefore$ 当$t=6$时，$v=\frac{600}{6}=100$；
当$t=7.5$时，$v=\frac{600}{7.5}=80$，
可得$80≤ v≤100$。
答：客车行驶速度$v$的取值范围是$80\ \mathrm{km/h}≤ v≤100\ \mathrm{km/h}$。

【分析】
(1) 行程问题中路程固定时，速度v与时间t成反比例函数关系，因此先设反比例函数解析式，再将图象上已知点(6,100)代入求出参数k，最后结合题目给出的速度范围60≤v≤120，推导出自变量t的取值范围，即可得到完整的函数解析式。
(2) 先根据出发时间和要求的到达时间范围，计算出行驶时间t的取值范围，再结合反比例函数的增减性，代入t的端点值求出对应v的最值，即可得到v的取值范围。
【解析】
(1) 设$v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，
将$t=6$，$v=100$代入解析式得：
$100=\frac{k}{6}$，
解得$k=600$。
由$60≤ v≤120$，可得$60≤\frac{600}{t}≤120$，
解得$5≤ t≤10$，
$\therefore v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{600}{t}\quad(5≤ t≤10)$。
(2) 由题意，客车上午8点出发，14点到达时行驶时间为$14-8=6\ \mathrm{h}$，
15点30分到达时行驶时间为$15.5-8=7.5\ \mathrm{h}$，
因此行驶时间$t$的取值范围是$6≤ t≤7.5$。
$\because k=600＞0$，当$t＞0$时，$v$随$t$的增大而减小，
$\therefore$ 当$t=6$时，$v=\frac{600}{6}=100$；
当$t=7.5$时，$v=\frac{600}{7.5}=80$，
可得$80≤ v≤100$。
【答案】
(1) $v=\frac{600}{t}\ (5≤ t≤10)$；
(2) $80\ \mathrm{km/h}≤ v≤100\ \mathrm{km/h}$
【知识点】
1. 反比例函数解析式求解
2. 反比例函数的性质
3. 反比例函数实际应用
【点评】
本题结合行程场景考查反比例函数的应用，解题关键是抓住“路程固定”这一隐含条件，结合待定系数法和函数增减性求解，同时要注意取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7

5.某校科技小组进行野外考察,他们利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时,人和木板对地面的压强 P(Pa)与木板面积 S(m²)满足反比例函数关系,它的图象如图所示,当压强 P 是 4 800 Pa时,木板面积为 ()

A.0.125m²
B.0.25m²
C.0.5m²
D.1m²

A

【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题意明确压强P与木板面积S成反比例关系，设出反比例函数的一般形式；再利用图像给出的已知点坐标，用待定系数法求出反比例函数的解析式；最后将P=4800Pa代入解析式，计算对应的木板面积S即可得到答案。
【解析】
解：设压强P与木板面积S的反比例函数解析式为$ P=\frac{k}{S} $（$ k≠0, S＞0 $）。
由图像可知，当$ S=0.3\mathrm{m}^2 $时，$ P=2000\mathrm{Pa} $，将其代入解析式得：
$ 2000=\frac{k}{0.3} $
解得$ k=2000×0.3=600 $，因此反比例函数解析式为$ P=\frac{600}{S} $。
当$ P=4800\mathrm{Pa} $时，代入解析式得：
$ 4800=\frac{600}{S} $
解得$ S=\frac{600}{4800}=0.125\mathrm{m}^2 $。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际应用，核心是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，代入数值计算时注意准确性即可。
【难度系数】
0.8

6.如图是某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图所示的平面直角坐标系，已知OA=5 m，进口AB//OD，且AB=2 m，出口点C距水面的距离CD为1 m，则B，C两点之间的水平距离DE的长度为 m.

解：
设双曲线BC对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
由题意得：$OA=5\ \mathrm{m}$，$AB// OD$，$AB=2\ \mathrm{m}$，因此点$B$的坐标为$(2,5)$。
将$B(2,5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$5=\frac{k}{2}$，解得$k=10$，
即双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
由$CD=1\ \mathrm{m}$，可知点$C$的纵坐标为$1$，
将$y=1$代入$y=\frac{10}{x}$，得：
$1=\frac{10}{x}$，解得$x=10$，即$OD=10\ \mathrm{m}$。
又$OE=AB=2\ \mathrm{m}$，
因此$DE=OD-OE=10-2=8\ \mathrm{m}$。
答：$DE$的长度为$\boldsymbol{8}$ m。

【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路可分为四步：第一步，先确定反比例函数解析式，结合已知的OA长度、AB长度和平行关系，先得到双曲线上B点的坐标；第二步，用待定系数法将B点坐标代入反比例函数一般式，求出k值，得到完整的函数解析式；第三步，已知C点的纵坐标为CD的长度，代入解析式求出C点的横坐标，即OD的长度；第四步，DE为OD与OE的差值，OE等于AB的长度，计算差值即可得到结果。
【解析】
设双曲线BC对应的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
由题意得：$OA=5\ \mathrm{m}$，$AB// OD$，$AB=2\ \mathrm{m}$，因此点B的坐标为$(2,5)$。
将$B(2,5)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$5=\frac{k}{2}$，解得$k=10$，即双曲线对应的函数解析式为$y=\frac{10}{x}$。
由$CD=1\ \mathrm{m}$，可知点C的纵坐标为1，将$y=1$代入$y=\frac{10}{x}$，得：
$1=\frac{10}{x}$，解得$x=10$，即$OD=10\ \mathrm{m}$。
又$OE=AB=2\ \mathrm{m}$，因此$DE=OD-OE=10-2=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是准确对应实际长度与点坐标的关系，先求出函数解析式再求解未知量，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7