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9.【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数的相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数 $y=\frac{6}{x}(x＞0)$ 的图象（如图 1）。
如图1，在该反比例函数的图象上任取一点A，作出矩形ABOC。为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得到部分数据如下：
| AB | … | 1.00 | 1.50 | 2.00 | 3.00 | 3.50 | 4.00 | 5.00 | 6.00 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| AB+AC | … | 7.00 | 5.50 | 5.00 | 5.00 | 5.21 | 5.50 | 6.20 | 7.00 | … |
【思维呈现】
(1)矩形ABOC的面积为 ；
(2)根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标，AB＋AC的和为纵坐标，在图2所示的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点$(AB, AB+AC)$，并用平滑的曲线连接；
(3)根据以上信息，判断AB＋AC存在最 值（填“大”或“小”），此时矩形ABOC的周长$C_1$约为 （结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】
(4)若一个面积为6的圆的周长记为$C_2$，则$C_1$ $C_2$（填“＞”“＜”或“＝”）。
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数的相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数 $y=\frac{6}{x}(x＞0)$ 的图象（如图 1）。
如图1，在该反比例函数的图象上任取一点A，作出矩形ABOC。为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得到部分数据如下：
| AB | … | 1.00 | 1.50 | 2.00 | 3.00 | 3.50 | 4.00 | 5.00 | 6.00 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| AB+AC | … | 7.00 | 5.50 | 5.00 | 5.00 | 5.21 | 5.50 | 6.20 | 7.00 | … |
【思维呈现】
(1)矩形ABOC的面积为 ；
(2)根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标，AB＋AC的和为纵坐标，在图2所示的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点$(AB, AB+AC)$，并用平滑的曲线连接；
(3)根据以上信息，判断AB＋AC存在最 值（填“大”或“小”），此时矩形ABOC的周长$C_1$约为 （结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】
(4)若一个面积为6的圆的周长记为$C_2$，则$C_1$ $C_2$（填“＞”“＜”或“＝”）。
答案
解：
(1) 6
(2) 在图2中依次描出坐标为$(1.00,7.00)$、$(1.50,5.50)$、$(2.00,5.00)$、$(3.00,5.00)$、$(3.50,5.21)$、$(4.00,5.50)$、$(5.00,6.20)$、$(6.00,7.00)$的点，用平滑曲线顺次连接各点即可。
(3) 小；9.8
(4) ＞
(1) 6
(2) 在图2中依次描出坐标为$(1.00,7.00)$、$(1.50,5.50)$、$(2.00,5.00)$、$(3.00,5.00)$、$(3.50,5.21)$、$(4.00,5.50)$、$(5.00,6.20)$、$(6.00,7.00)$的点，用平滑曲线顺次连接各点即可。
(3) 小；9.8
(4) ＞
解析
【分析】
(1) 第一问可利用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为$|k|$，本题中k=6且x＞0，直接可得矩形面积。
(2) 第二问是描点画图题，只需将表格中AB的值作为横坐标，对应的AB+AC的值作为纵坐标，逐个描点后用平滑曲线顺次连接即可。
(3) 第三问观察表格中AB+AC的数值变化：数值先减小后增大，因此存在最小值；结合函数图象最低点可算出最小周长。
(4) 第四问先根据圆的面积公式算出半径，再代入周长公式求出$C_2$，最后和$C_1$比较大小即可。
【解析】
(1) 设反比例函数上点A的坐标为$(x,y)$，代入$y=\frac{6}{x}$得$xy=6$，矩形ABOC的长和宽分别为x、y，因此面积$S=xy=6$。
(2) 按照表格数据依次描出点$(1.00,7.00)$、$(1.50,5.50)$、$(2.00,5.00)$、$(3.00,5.00)$、$(3.50,5.21)$、$(4.00,5.50)$、$(5.00,6.20)$、$(6.00,7.00)$，再用平滑曲线按横坐标从小到大的顺序连接各点即可。
(3) 观察表格数据可知AB+AC的数值先降后升，因此存在最小值；结合函数图象可得AB+AC的最小值约为4.9，因此矩形周长$C_1=2(AB+AC)\approx 2×4.9=9.8$。
(4) 设面积为6的圆半径为r，由$π r^2=6$得$r=\sqrt{\frac{6}{π}}$，则圆的周长$C_2=2π r=2\sqrt{6π}\approx8.7$，因为$9.8＞8.7$，因此$C_1＞C_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) 按要求描点连线即可（过程见解析）
(3) $\boldsymbol{小}$；$\boldsymbol{9.8}$
(4) $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象绘制，圆的周长与面积计算
【点评】
本题将代数与几何知识结合，通过反比例函数探究矩形周长的最值问题，考查了学生的数据分析能力、动手作图能力和知识综合运用能力，体现了函数在实际最值问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可利用反比例函数k的几何意义求解：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积为$|k|$，本题中k=6且x＞0，直接可得矩形面积。
(2) 第二问是描点画图题，只需将表格中AB的值作为横坐标，对应的AB+AC的值作为纵坐标，逐个描点后用平滑曲线顺次连接即可。
(3) 第三问观察表格中AB+AC的数值变化：数值先减小后增大，因此存在最小值；结合函数图象最低点可算出最小周长。
(4) 第四问先根据圆的面积公式算出半径，再代入周长公式求出$C_2$，最后和$C_1$比较大小即可。
【解析】
(1) 设反比例函数上点A的坐标为$(x,y)$，代入$y=\frac{6}{x}$得$xy=6$，矩形ABOC的长和宽分别为x、y，因此面积$S=xy=6$。
(2) 按照表格数据依次描出点$(1.00,7.00)$、$(1.50,5.50)$、$(2.00,5.00)$、$(3.00,5.00)$、$(3.50,5.21)$、$(4.00,5.50)$、$(5.00,6.20)$、$(6.00,7.00)$，再用平滑曲线按横坐标从小到大的顺序连接各点即可。
(3) 观察表格数据可知AB+AC的数值先降后升，因此存在最小值；结合函数图象可得AB+AC的最小值约为4.9，因此矩形周长$C_1=2(AB+AC)\approx 2×4.9=9.8$。
(4) 设面积为6的圆半径为r，由$π r^2=6$得$r=\sqrt{\frac{6}{π}}$，则圆的周长$C_2=2π r=2\sqrt{6π}\approx8.7$，因为$9.8＞8.7$，因此$C_1＞C_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$
(2) 按要求描点连线即可（过程见解析）
(3) $\boldsymbol{小}$；$\boldsymbol{9.8}$
(4) $\boldsymbol{＞}$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象绘制，圆的周长与面积计算
【点评】
本题将代数与几何知识结合，通过反比例函数探究矩形周长的最值问题，考查了学生的数据分析能力、动手作图能力和知识综合运用能力，体现了函数在实际最值问题中的应用价值。
【难度系数】
0.7
