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15 如图,在由10个完全相同的等边三角形构成的网格图中,每个等边三角形的边长均为1,则$\cos(α+β)=$
$\frac{\sqrt{21}}{7}$
.答案
15. $\frac{\sqrt{21}}{7}$
16 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB的长为40 cm，灯罩BC的长为30 cm，底座的厚度为2 cm，∠BAD=60°. 当光线最佳时，灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是
$(17+20\sqrt{3})$
cm.答案
16. $(17+20\sqrt{3})$
17 如图，AB是$\odot O$的直径，AC是一条弦，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$DE ⊥ AB$于点E，交AC于点F，交$\odot O$于点H，DB交AC于点G，连结AD.
（1）求证：$AF=DF$；
（2）若$AF=\frac{5}{2}$，$\sin ∠ ABD=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$AF=DF$；
（2）若$AF=\frac{5}{2}$，$\sin ∠ ABD=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求$\odot O$的半径.
答案
17. (1) 因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$.因为AB⊥DH,且AB是⊙O的直径,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AH}$.所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AH}$.所以∠CAD=∠ADH.所以AF=DF
(2) 因为AB是⊙O的直径,所以∠ADB=90°.所以∠DAB+∠ABD=90°.因为DE⊥AB,所以∠DEA=90°.所以∠DAE+∠ADE=90°.所以∠ADE=∠ABD.所以$\sin∠ADE=\sin∠ABD=\frac{\sqrt{5}}{5}$.设AE=x,则易得DE=2x,AD=$\sqrt{5}x$.因为DF=AF=$\frac{5}{2}$,所以EF=$2x-\frac{5}{2}$.在Rt△AEF中,由勾股定理,得$AE^2+EF^2=AF^2$,即$x^2+(2x-\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2$,解得x=0(不合题意,舍去)或x=2.所以AD=$2\sqrt{5}$.所以AB=$\frac{AD}{\sin∠ABD}=10$.所以⊙O的半径为5
(2) 因为AB是⊙O的直径,所以∠ADB=90°.所以∠DAB+∠ABD=90°.因为DE⊥AB,所以∠DEA=90°.所以∠DAE+∠ADE=90°.所以∠ADE=∠ABD.所以$\sin∠ADE=\sin∠ABD=\frac{\sqrt{5}}{5}$.设AE=x,则易得DE=2x,AD=$\sqrt{5}x$.因为DF=AF=$\frac{5}{2}$,所以EF=$2x-\frac{5}{2}$.在Rt△AEF中,由勾股定理,得$AE^2+EF^2=AF^2$,即$x^2+(2x-\frac{5}{2})^2=(\frac{5}{2})^2$,解得x=0(不合题意,舍去)或x=2.所以AD=$2\sqrt{5}$.所以AB=$\frac{AD}{\sin∠ABD}=10$.所以⊙O的半径为5
18 如图,一艘轮船从A处以30 km/h的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东$60°$方向上,继续航行1 h到达B处,这时测得灯塔P在北偏东$30°$方向上,已知在灯塔P的四周28 km内有暗礁.
(1)求A,B两点之间的距离.
(2)求点P到直线AB的距离.
(3)这艘轮船从B处继续向正东方向航行是否安全?并说明理由(参考数据:$\sqrt{3}\approx 1.732$).
(4)如果从B处继续向正东方向航行会不安全,求航行过程中处于不安全的时间有多长(结果保留根号).
(1)求A,B两点之间的距离.
(2)求点P到直线AB的距离.
(3)这艘轮船从B处继续向正东方向航行是否安全?并说明理由(参考数据:$\sqrt{3}\approx 1.732$).
(4)如果从B处继续向正东方向航行会不安全,求航行过程中处于不安全的时间有多长(结果保留根号).
答案
18. (1) 由题意,知AB=30×1=30(km),所以A,B两点之间的距离是30 km
(2) 如图,过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C,易得∠PAC=30°,∠BPC=30°.设BC=x km,则AC=(30+x)km.在Rt△BPC中,$\tan∠BPC=\frac{BC}{PC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以PC=$\sqrt{3}x$ km.在Rt△APC中,$\tan∠PAC=\frac{PC}{AC}=\frac{\sqrt{3}x}{30+x}$,所以$\frac{\sqrt{3}x}{30+x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得x=15.经检验,x=15是原分式方程的解,且符合题意.所以PC=$15\sqrt{3}$ km,即点P到直线AB的距离是$15\sqrt{3}$ km
(3) 不安全 理由:因为$15\sqrt{3}\approx25.98＜28$,所以这艘轮船从B处继续向正东方向航行不安全.
(4) 假设轮船在行驶过程中在点E处开始进入暗礁区域,在点F处离开暗礁区域,如图,连结PE,PF,则有PE=PF=28 km.因为PC=$15\sqrt{3}$ km,所以CE=CF=$\sqrt{28^2-(15\sqrt{3})^2}=\sqrt{109}$(km).所以EF=CE+CF=$2\sqrt{109}$ km.所以航行过程中处于不安全的时间有$2\sqrt{109}÷30=\frac{\sqrt{109}}{15}$(h)
