11.如图，O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分$∠ AOC$，OD在$∠ COE$内，$∠ COD=2∠ DOE$.若$∠ BOD=110°$，则$∠ DOE$的度数为（）

A.$30°$
B.$36°$
C.$40°$
D.$45°$

11.C

【分析】
首先观察图形可知AE为直线，因此∠AOE是180°的平角。题目给出了角的倍数关系、角平分线条件和∠BOD的度数，我们可以通过设未知数的方法，把所求的∠DOE设为x，用含x的式子表示出其余相关角，再根据∠BOD的度数列方程求解即可。具体步骤为：先设∠DOE=x，表示出∠COD和∠COE，再根据平角表示出∠AOC，利用角平分线的性质得到∠BOC的表达式，最后根据∠BOD=∠BOC+∠COD列方程求解。
【解析】
设∠DOE的度数为$ x $。
1. 因为$ ∠ COD=2∠ DOE $，所以$ ∠ COD=2x $，则$ ∠ COE=∠ COD+∠ DOE=2x+x=3x $。
2. 因为O是直线AE上一点，所以$ ∠ AOE=180° $，因此$ ∠ AOC=∠ AOE-∠ COE=180°-3x $。
3. 因为OB平分$ ∠ AOC $，根据角平分线的定义，$ ∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(180°-3x)=90°-\frac{3}{2}x $。
4. 已知$ ∠ BOD=110° $，且$ ∠ BOD=∠ BOC+∠ COD $，代入可得：
$ 90°-\frac{3}{2}x + 2x=110° $
化简得：$ 90°+\frac{1}{2}x=110° $
解得：$ x=40° $
即$ ∠ DOE=40° $。
【答案】
C
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，通过设未知数列方程的方法求解，将几何角度关系转化为代数方程，解题的关键是准确梳理各角之间的和差、倍分关系，熟练运用角平分线的性质。
【难度系数】
0.7

12. 如图，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$，OE平分$∠ BOD$.若$∠ AOD : ∠ BOC = 5 : 1$，则$∠ COE$的度数为________.

12.$30°$

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据周角为360°，结合已知∠AOB和∠COD都是直角，先算出∠AOD与∠BOC的度数和；第二步，结合∠AOD与∠BOC的比例为5:1，分别求出两个角的度数；第三步，先求出∠BOD的度数，再根据角平分线的性质求出∠BOE的度数，最后通过角的和差关系求出∠COE的度数。
【解析】
解：
∵ 周角的度数为360°，且∠AOB=∠COD=90°
∴ ∠AOD + ∠BOC = 360° - ∠AOB - ∠COD = 360° - 90° - 90° = 180°
∵ ∠AOD:∠BOC = 5:1
设∠BOC = $x$，则∠AOD = $5x$
可得方程：$x + 5x = 180°$
解得$x=30°$，即∠BOC=30°
∴ ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 30° + 90° = 120°
∵ OE平分∠BOD
∴ ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×120°=60°$
∴ ∠COE = ∠BOE - ∠BOC = 60° - 30° = 30°
【答案】
30°
【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，比例的应用
【点评】
本题属于角的计算基础题型，解题的核心是理清图形中各角的和差关系，结合周角性质和角平分线定义逐步推导即可得到结果，需要注意不要混淆各角的位置关系。
【难度系数】
0.7

13.如图,点O在直线AC上,OD平分∠AOB,∠EOC=2∠BOE,∠DOE=72°,求∠EOC的度数.

13. 解:设$∠BOE=x°$,则$∠EOC=2x°$.又因为$∠DOE=72°$,所以$∠BOD=72°-x°$.又因为OD平分$∠AOB$,所以$∠AOB=2(72°-x°)$.因为$∠AOB+∠BOE+∠EOC=180°$,所以$2(72-x)+x+2x=180$,所以$x=36$,所以$∠EOC=72°$.

【分析】
本题是角的计算类题型，题中给出了角的倍分关系、角平分线条件以及平角的隐含条件，我们可以通过设未知数的方法求解：首先将较小的$∠ BOE$设为$x$，用含$x$的式子表示出其余相关的角，再根据直线$AC$对应的平角为$180°$找到等量关系，列方程求出$x$后就能得到$∠ EOC$的度数。
【解析】
设$∠ BOE=x°$，则$∠ EOC=2x°$。
已知$∠ DOE=72°$，因此$∠ BOD=∠ DOE - ∠ BOE=72° - x°$。
因为OD平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义，$∠ AOB=2∠ BOD=2(72° - x°)$。
又因为点O在直线AC上，$∠ AOC$是平角，即$∠ AOB+∠ BOE+∠ EOC=180°$，将上述表达式代入得：
$2(72-x)+x+2x=180$
展开计算：$144 - 2x + x + 2x = 180$，即$144 + x = 180$，解得$x=36$。
因此$∠ EOC=2x°=2×36°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
角平分线的定义，平角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是角的计算的常规题型，将几何中角的数量关系与代数方程相结合，解题的关键是找准角之间的和差、倍分关系，利用设元法梳理等量关系，能够有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7

14.已知$∠ AOB=∠ COD$，且$OE$为$∠ BOC$的平分线.

(1)如图①,请探索$∠ AOE$和$∠ DOE$的大小关系;
(2)如图②,$∠ AOE$和$∠ DOE$是否仍然满足(1)中的大小关系?请说明理由;
(3)如图②,若$∠ AOB=90°$,$∠ AOC=64°$,求$∠ BOE$的度数.

14.(1)解:因为OE为$∠BOC$的平分线,所以$∠BOE=∠COE$.因为$∠AOB=∠COD$,所以$∠AOB+∠BOE=∠COD+∠COE$.所以$∠AOE=∠DOE$.
(2)仍满足$∠AOE=∠DOE$,理由如下:因为OE为$∠BOC$的平分线,所以$∠BOE=∠COE$.因为$∠AOB=∠COD$,所以$∠AOB-∠BOE=∠COD-∠COE$.所以$∠AOE=∠DOE$.
(3)因为$∠AOB=90°$,$∠AOC=64°$,所以$∠BOC=∠AOB-∠AOC=26°$.因为OE为$∠BOC$的平分线,所以$∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC=13°$.

【分析】
(1) 要判断∠AOE与∠DOE的大小关系，首先根据角平分线的性质可得∠BOE=∠COE，再结合已知的∠AOB=∠COD，利用等式的性质，在等号两边同时加相等的角，等式仍然成立，将两组相等的角相加即可推导得出结论；
(2) 第二问思路与第一问类似，先由角平分线得到∠BOE=∠COE，结合∠AOB=∠COD，观察图形可知两个相等的大角同时减去相等的小角，差仍然相等，即可证明结论仍然成立；
(3) 第三问先通过角的和差关系，用∠AOB的度数减去∠AOC的度数求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义，∠BOE是∠BOC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为OE为$∠BOC$的平分线，所以$∠BOE=∠COE$。
因为$∠AOB=∠COD$，所以$∠AOB+∠BOE=∠COD+∠COE$，即$∠AOE=∠DOE$。
(2) 仍满足$∠AOE=∠DOE$，理由如下：
因为OE为$∠BOC$的平分线，所以$∠BOE=∠COE$。
因为$∠AOB=∠COD$，所以$∠AOB-∠BOE=∠COD-∠COE$，即$∠AOE=∠DOE$。
(3) 因为$∠AOB=90°$，$∠AOC=64°$，所以$∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-64°=26°$。
因为OE为$∠BOC$的平分线，所以$∠BOE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×26°=13°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOE=∠DOE}$
(2) 仍然满足$\boldsymbol{∠AOE=∠DOE}$
(3) $\boldsymbol{13°}$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算、等量代换
【点评】
本题围绕角的基础计算展开，核心考查角平分线的性质和角的和差关系的应用，解题的关键是结合图形准确识别各角的位置关系，区分不同图形下的角的加减逻辑，是角计算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

15.(核心素养·推理能力)如图，∠AOB是直角，∠AOC=50°,ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1)求∠MON的大小；
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？

15.(1)解:因为$∠AOB$是直角,$∠AOC=50°$,所以$∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°$.因为OM是$∠BOC$的平分线,ON是$∠AOC$的平分线,所以$∠MOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$,$∠NOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$,所以$∠MON=∠MOC-∠NOC=70°-25°=45°$.
(2)当锐角$∠AOC$的大小发生改变时,$∠MON$的大小不发生改变.理由如下:因为$∠MON=∠MOC-∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC-\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC-∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB$,所以$∠MON$的大小与$∠AOC$的大小无关,总是等于$∠AOB$的一半.

【分析】
(1) 求解第一问时，先结合已知的直角∠AOB和∠AOC的度数，通过角的和差关系算出∠BOC的度数；再依据角平分线的定义，分别求出∠MOC、∠NOC的度数；最后根据∠MON=∠MOC-∠NOC的关系计算出∠MON的度数。
(2) 求解第二问时，可将∠AOC看作可变的锐角，沿用第一问的推导逻辑，把∠MON用含∠BOC、∠AOC的式子表示，整理后可发现∠MON仅和固定的∠AOB有关，即可判断其大小是否随∠AOC变化。
【解析】
(1) 因为∠AOB是直角，∠AOC=50°，所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°。
因为OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$，$∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$，所以$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=70°-25°=45°$。
(2) 当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变。理由如下：
因为$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}∠ BOC-\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(∠ BOC-∠ AOC)=\frac{1}{2}∠ AOB$，所以∠MON的大小与∠AOC的大小无关，总是等于∠AOB的一半。
【答案】
(1) $45°$
(2) 不会发生改变，∠MON恒等于∠AOB的一半，与∠AOC的大小无关。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；直角的概念
【点评】
本题是角的计算的典型题型，第一问侧重基础运算能力的考察，第二问的动态探究需要通过代数推导总结规律，能有效锻炼逻辑推理能力，落实推理能力的核心素养要求。
【难度系数】
0.7