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5.某窗户的形状如图所示(图中长度单位：cm)，其中上部分是半径为x cm的半圆形，下部分是长为y cm的长方形.
(1)用含x,y的式子表示窗户的面积S；
(2)当x=40，y=120时，求窗户的面积S.
(1)用含x,y的式子表示窗户的面积S；
(2)当x=40，y=120时，求窗户的面积S.
答案
5.(1)由图可得，S=$\frac{1}{2}π x^2 + 2x · y$=$\frac{1}{2}π x^2 + 2xy$，即窗户的面积S是$(\frac{1}{2}π x^2 + 2xy)\mathrm{cm}^2$；(2)当x=40,y=120时，S=$\frac{1}{2}π × 40^2 + 2× 40× 120=800π + 9600$，即当x=40,y=120时，窗户的面积S是$(800π + 9600)\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确窗户是由上半部分的半圆形和下半部分的长方形组合而成，解题思路如下：
(1)求总面积时分别计算两部分的面积再相加：①半圆面积公式为$\frac{1}{2}π r^2$，已知半圆半径为x，可直接求出半圆面积；②观察图形可知半圆的直径为2x，也就是下方长方形的长，长方形的宽为y，根据长方形面积=长×宽可求出长方形面积；③将两部分面积相加即可得到窗户总面积S的代数式。
(2)求具体面积时，只需将x=40、y=120代入第(1)问得到的代数式中，按照先乘方、再乘法、最后加法的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 窗户的面积等于半圆面积与长方形面积之和：
半圆的面积为$\frac{1}{2}π x^2$；
长方形的长等于半圆的直径$2x$，长方形面积为$2x · y = 2xy$；
因此总面积$S=\frac{1}{2}π x^2 + 2xy$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
(2) 将$x=40$，$y=120$代入$S=\frac{1}{2}π x^2 + 2xy$中：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π × 40^2 + 2× 40× 120\\&=\frac{1}{2}π × 1600 + 9600\\&=800π + 9600\end{aligned}$
单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=(\frac{1}{2}π x^2 + 2xy)\mathrm{cm}^2$
(2) $S=(800π + 9600)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是将组合图形拆分为熟悉的规则图形，准确找到各图形的边长参数，结合对应面积公式列式，代入求值时注意运算顺序即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确窗户是由上半部分的半圆形和下半部分的长方形组合而成，解题思路如下：
(1)求总面积时分别计算两部分的面积再相加：①半圆面积公式为$\frac{1}{2}π r^2$，已知半圆半径为x，可直接求出半圆面积；②观察图形可知半圆的直径为2x，也就是下方长方形的长，长方形的宽为y，根据长方形面积=长×宽可求出长方形面积；③将两部分面积相加即可得到窗户总面积S的代数式。
(2)求具体面积时，只需将x=40、y=120代入第(1)问得到的代数式中，按照先乘方、再乘法、最后加法的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 窗户的面积等于半圆面积与长方形面积之和：
半圆的面积为$\frac{1}{2}π x^2$；
长方形的长等于半圆的直径$2x$，长方形面积为$2x · y = 2xy$；
因此总面积$S=\frac{1}{2}π x^2 + 2xy$，单位为$\mathrm{cm}^2$。
(2) 将$x=40$，$y=120$代入$S=\frac{1}{2}π x^2 + 2xy$中：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π × 40^2 + 2× 40× 120\\&=\frac{1}{2}π × 1600 + 9600\\&=800π + 9600\end{aligned}$
单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=(\frac{1}{2}π x^2 + 2xy)\mathrm{cm}^2$
(2) $S=(800π + 9600)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是将组合图形拆分为熟悉的规则图形，准确找到各图形的边长参数，结合对应面积公式列式，代入求值时注意运算顺序即可得分。
【难度系数】
0.8
6.如图,某学校设计在长为y米,宽为36米的大长方形场地中,并排新建三个大小一样的标准篮球场,三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边沿的距离均为a米,篮球场的宽为b米.
(1)用含a,b的代数式表示一个篮球场的周长;
(2)若$|a-4|+(b-15)^2=0$,求整个场地的面积.
(1)用含a,b的代数式表示一个篮球场的周长;
(2)若$|a-4|+(b-15)^2=0$,求整个场地的面积.
答案
6.(1)一个篮球场的周长为2(36-2a+b)=(72-4a+2b)(米)，即一个篮球场的周长为(72-4a+2b)米；(2)因为$|a-4|+(b-15)^2=0$，所以a-4=0,b-15=0，即a=4,b=15，则36(4a+3b)=36×(4×4+3×15)=2196(平方米)，即整个场地的面积为2196平方米。
解析
【分析】
(1) 要求篮球场的周长，首先需要确定篮球场的长和宽：已知篮球场的宽为b米，观察图形可得大长方形的宽为36米，篮球场上下与场地边沿的距离均为a米，因此篮球场的长为(36-2a)米，再根据长方形周长公式即可列出代数式并化简。
(2) 先根据绝对值和平方的非负性：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出a、b的值；再分析大长方形的长y的构成：场地左右边沿各留a米，3个篮球场之间有2个间隔各为a米，加上3个篮球场的总宽3b，因此y=4a+3b，最后根据长方形面积公式代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由图可知，单个篮球场的长为$(36-2a)$米，宽为$b$米。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得：
周长$=2[(36-2a)+b]=2(36-2a+b)=72-4a+2b$（米）。
(2) 因为绝对值和平方数都具有非负性，即$|a-4|≥0$，$(b-15)^2≥0$，且$|a-4|+(b-15)^2=0$，
所以$a-4=0$，$b-15=0$，
解得$a=4$，$b=15$。
观察图形可得大长方形的长$y=4a+3b$，大长方形的宽为36米，
因此整个场地的面积$S=36y=36(4a+3b)$，
代入$a=4$，$b=15$得：
$S=36×(4×4+3×15)=36×(16+45)=36×61=2196$（平方米）。
【答案】
(1) 一个篮球场的周长为$\boldsymbol{(72-4a+2b)}$米；
(2) 整个场地的面积为$\boldsymbol{2196}$平方米。
【知识点】
列代数式；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景命题，需要准确从图形中提取边长的数量关系，同时掌握非负数的性质和代数式的化简、求值方法，解题的核心是正确分析各部分边长的构成。
【难度系数】
0.7
(1) 要求篮球场的周长，首先需要确定篮球场的长和宽：已知篮球场的宽为b米，观察图形可得大长方形的宽为36米，篮球场上下与场地边沿的距离均为a米，因此篮球场的长为(36-2a)米，再根据长方形周长公式即可列出代数式并化简。
(2) 先根据绝对值和平方的非负性：几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出a、b的值；再分析大长方形的长y的构成：场地左右边沿各留a米，3个篮球场之间有2个间隔各为a米，加上3个篮球场的总宽3b，因此y=4a+3b，最后根据长方形面积公式代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由图可知，单个篮球场的长为$(36-2a)$米，宽为$b$米。
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得：
周长$=2[(36-2a)+b]=2(36-2a+b)=72-4a+2b$（米）。
(2) 因为绝对值和平方数都具有非负性，即$|a-4|≥0$，$(b-15)^2≥0$，且$|a-4|+(b-15)^2=0$，
所以$a-4=0$，$b-15=0$，
解得$a=4$，$b=15$。
观察图形可得大长方形的长$y=4a+3b$，大长方形的宽为36米，
因此整个场地的面积$S=36y=36(4a+3b)$，
代入$a=4$，$b=15$得：
$S=36×(4×4+3×15)=36×(16+45)=36×61=2196$（平方米）。
【答案】
(1) 一个篮球场的周长为$\boldsymbol{(72-4a+2b)}$米；
(2) 整个场地的面积为$\boldsymbol{2196}$平方米。
【知识点】
列代数式；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题结合实际生活场景命题，需要准确从图形中提取边长的数量关系，同时掌握非负数的性质和代数式的化简、求值方法，解题的核心是正确分析各部分边长的构成。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示，将面积为$a^2$的小正方形和面积为$b^2$的大正方形放在同一水平面上$(b＞a＞0)$。
(1)用$a,b$表示阴影部分的面积；
(2)计算当$a=3,b=5$时，阴影部分的面积。
(1)用$a,b$表示阴影部分的面积；
(2)计算当$a=3,b=5$时，阴影部分的面积。
答案
7.(1)阴影部分的面积为$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)$。(2)当a=3,b=5时，$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}×25+\frac{1}{2}×3×(3+5)=\frac{49}{2}$，即阴影部分的面积为$\frac{49}{2}$。
解析
【分析】
解决本题首先观察阴影部分的构成，可将阴影拆分为两个独立的三角形分别计算面积再求和：第一步，大正方形内的阴影三角形底和高都等于大正方形边长b，利用三角形面积公式可求这部分面积；第二步，下方的阴影三角形底等于小正方形边长a，高为两个正方形的边长之和(a+b)，同样用三角形面积公式计算该部分面积；第三步，把两部分面积相加得到阴影总面积。第二问只需将a、b的取值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分由两个三角形组成：
① 大正方形内的阴影三角形：底为$b$，高为$b$，面积为$\frac{1}{2} × b × b = \frac{1}{2}b^2$；
② 下方阴影三角形：底为$a$，高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2} × a × (a+b) = \frac{1}{2}a(a+b)$；
因此阴影部分总面积为两部分之和：$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)$。
(2) 把$a=3$，$b=5$代入上述代数式：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)&=\frac{1}{2} × 5^2 + \frac{1}{2} × 3 × (3+5)\\&=\frac{1}{2} × 25 + \frac{1}{2} × 3 × 8\\&=\frac{25}{2} + 12\\&=\frac{49}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)$；(2) $\frac{49}{2}$
【知识点】
三角形面积计算、列代数式、代数式求值
【点评】
本题核心是用割补法将不规则的阴影面积转化为两个规则三角形的面积和，解题时需准确找到每个三角形对应的底和高，代入数值计算时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先观察阴影部分的构成，可将阴影拆分为两个独立的三角形分别计算面积再求和：第一步，大正方形内的阴影三角形底和高都等于大正方形边长b，利用三角形面积公式可求这部分面积；第二步，下方的阴影三角形底等于小正方形边长a，高为两个正方形的边长之和(a+b)，同样用三角形面积公式计算该部分面积；第三步，把两部分面积相加得到阴影总面积。第二问只需将a、b的取值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 阴影部分由两个三角形组成：
① 大正方形内的阴影三角形：底为$b$，高为$b$，面积为$\frac{1}{2} × b × b = \frac{1}{2}b^2$；
② 下方阴影三角形：底为$a$，高为$a+b$，面积为$\frac{1}{2} × a × (a+b) = \frac{1}{2}a(a+b)$；
因此阴影部分总面积为两部分之和：$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)$。
(2) 把$a=3$，$b=5$代入上述代数式：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)&=\frac{1}{2} × 5^2 + \frac{1}{2} × 3 × (3+5)\\&=\frac{1}{2} × 25 + \frac{1}{2} × 3 × 8\\&=\frac{25}{2} + 12\\&=\frac{49}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}a(a+b)$；(2) $\frac{49}{2}$
【知识点】
三角形面积计算、列代数式、代数式求值
【点评】
本题核心是用割补法将不规则的阴影面积转化为两个规则三角形的面积和，解题时需准确找到每个三角形对应的底和高，代入数值计算时要注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8.(方案选择)某中学七年级(4)班三位教师决定带领本班a名学生(学生人数不少于3人),在五一期间去北京旅游,甲旅行社的收费标准为:教师全价,学生半价;而乙旅行社不分教师、学生一律八折优惠.这两家旅行社的基本价都是500元.
(1)用含a的代数式表示这三位教师和a名学生分别参加这两家旅行社所需的总费用;
(2)当a=6时,你认为选择哪一家旅行社较为合算,为什么?
(1)用含a的代数式表示这三位教师和a名学生分别参加这两家旅行社所需的总费用;
(2)当a=6时,你认为选择哪一家旅行社较为合算,为什么?
答案
8.(1)甲旅行社的收费为$500×3+\frac{1}{2}×500a=(1500+250a)$元，乙旅行社的收费为$(a+3)×500×0.8=(1200+400a)$元。(2)当a=6时，1500+250a=1500+250×6=3000(元)，1200+400a=1200+400×6=3600(元)。因为3000＜3600，所以选择甲旅行社较为合算。
解析
【分析】
解题时首先明确两家旅行社的收费规则，第一问分别梳理费用构成：甲旅行社费用由教师全价费用和学生半价费用两部分组成，乙旅行社按总人数乘八折后的单价计算费用，据此分别列出对应代数式即可。第二问属于方案选择问题，只需将a=6代入第一问得到的两个代数式求出具体费用，再比较大小，费用更低的旅行社更合算。
【解析】
(1) 计算甲旅行社总费用：3位教师全价购票，总费用为$500×3=1500$元；a名学生半价购票，每人费用为$\frac{1}{2}×500=250$元，学生总费用为$250a$元，因此甲旅行社总费用为$1500+250a$元。
计算乙旅行社总费用：师生总人数为$(a+3)$人，所有人均八折购票，每人费用为$500×0.8=400$元，因此乙旅行社总费用为$400(a+3)=1200+400a$元。
(2) 当$a=6$时，分别代入两个代数式求值：
甲旅行社费用：$1500+250a=1500+250×6=3000$（元）
乙旅行社费用：$1200+400a=1200+400×6=3600$（元）
比较得$3000＜3600$，即甲旅行社费用更低。
【答案】
(1) 甲旅行社所需总费用为$(1500+250a)$元，乙旅行社所需总费用为$(1200+400a)$元；
(2) 选择甲旅行社较为合算，因为当a=6时甲旅行社费用3000元低于乙旅行社的3600元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，有理数大小比较
【点评】
本题是贴近生活的方案选择类应用题，重点考查根据实际问题梳理数量关系、列代数式、代入求值的能力，解题的核心是准确理解收费规则，理清费用的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两家旅行社的收费规则，第一问分别梳理费用构成：甲旅行社费用由教师全价费用和学生半价费用两部分组成，乙旅行社按总人数乘八折后的单价计算费用，据此分别列出对应代数式即可。第二问属于方案选择问题，只需将a=6代入第一问得到的两个代数式求出具体费用，再比较大小，费用更低的旅行社更合算。
【解析】
(1) 计算甲旅行社总费用：3位教师全价购票，总费用为$500×3=1500$元；a名学生半价购票，每人费用为$\frac{1}{2}×500=250$元，学生总费用为$250a$元，因此甲旅行社总费用为$1500+250a$元。
计算乙旅行社总费用：师生总人数为$(a+3)$人，所有人均八折购票，每人费用为$500×0.8=400$元，因此乙旅行社总费用为$400(a+3)=1200+400a$元。
(2) 当$a=6$时，分别代入两个代数式求值：
甲旅行社费用：$1500+250a=1500+250×6=3000$（元）
乙旅行社费用：$1200+400a=1200+400×6=3600$（元）
比较得$3000＜3600$，即甲旅行社费用更低。
【答案】
(1) 甲旅行社所需总费用为$(1500+250a)$元，乙旅行社所需总费用为$(1200+400a)$元；
(2) 选择甲旅行社较为合算，因为当a=6时甲旅行社费用3000元低于乙旅行社的3600元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，有理数大小比较
【点评】
本题是贴近生活的方案选择类应用题，重点考查根据实际问题梳理数量关系、列代数式、代入求值的能力，解题的核心是准确理解收费规则，理清费用的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
