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1.将多项式$3x^2 -6x +3$分解因式，下列结果正确的是 （
A.$3(x^2 -2x)$
B.$3x(x-2)$
C.$3(x^2 -2x +1)$
D.$3(x-1)^2$
D
）A.$3(x^2 -2x)$
B.$3x(x-2)$
C.$3(x^2 -2x +1)$
D.$3(x-1)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否满足每个因式都无法再分解的要求。本题首先提取各项公因式3，再判断剩余多项式符合完全平方公式的特征，继续分解后对比选项即可得到答案。
【解析】
对多项式$3x^2 -6x +3$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式3：
$3x^2 -6x +3 = 3(x^2 - 2x + 1)$
2. 套用完全平方公式分解：
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=1$，可得$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，因此原式$=3(x-1)^2$。
对选项逐一判断：
A选项漏写常数项且未分解完全，错误；
B选项展开为$3x^2-6x$，与原式不符，错误；
C选项中$x^2 - 2x + 1$还可继续分解，不是最终因式分解结果，错误；
D选项与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的规范要求，即最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止，常见错误是提取公因式后忽略后续分解步骤，误选未分解彻底的选项。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目需遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否满足每个因式都无法再分解的要求。本题首先提取各项公因式3，再判断剩余多项式符合完全平方公式的特征，继续分解后对比选项即可得到答案。
【解析】
对多项式$3x^2 -6x +3$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式3：
$3x^2 -6x +3 = 3(x^2 - 2x + 1)$
2. 套用完全平方公式分解：
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x$，$b=1$，可得$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2$，因此原式$=3(x-1)^2$。
对选项逐一判断：
A选项漏写常数项且未分解完全，错误；
B选项展开为$3x^2-6x$，与原式不符，错误；
C选项中$x^2 - 2x + 1$还可继续分解，不是最终因式分解结果，错误；
D选项与分解结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需牢记因式分解的规范要求，即最终结果要分解到每个因式都不能再分解为止，常见错误是提取公因式后忽略后续分解步骤，误选未分解彻底的选项。
【难度系数】
0.8
2. 把$a^3 - 2a^2 + a$分解因式，结果正确的是 （
A.$a(a-1)^2$
B.$a(a^2 - 2a)$
C.$a(a+1)(a-1)$
D.$a^2(a-2)+a$
A
）A.$a(a-1)^2$
B.$a(a^2 - 2a)$
C.$a(a+1)(a-1)$
D.$a^2(a-2)+a$
答案
2.A
解析
【分析】
解决这道因式分解题遵循常规思路即可：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式，判断能否用乘法公式继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止，再对应选项匹配结果。同时要注意因式分解的最终结果必须是几个整式乘积的形式。
【解析】
对多项式$a^3 - 2a^2 + a$进行分解因式：
1. 提取公因式：观察多项式每一项都含有公因式$a$，先把公因式$a$提出来，可得：
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1)$
2. 用完全平方公式继续分解：括号内的多项式$a^2 - 2a +1$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的形式，这里$m=a$，$n=1$，因此：
$a^2 - 2a +1=(a-1)^2$
3. 综上，原式分解因式的结果为$a(a-1)^2$，对应选项A。
其余选项验证：B选项未分解完全，还可继续用完全平方公式分解；C选项误用平方差公式，不符合括号内多项式的形式；D选项结果不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，均错误。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式分解因式；因式分解的定义
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，核心考查因式分解的操作顺序：先提取公因式，再套用公式，同时要牢记因式分解的要求，结果必须是整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
解决这道因式分解题遵循常规思路即可：第一步先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩下的多项式，判断能否用乘法公式继续分解，直到每一个因式都不能再分解为止，再对应选项匹配结果。同时要注意因式分解的最终结果必须是几个整式乘积的形式。
【解析】
对多项式$a^3 - 2a^2 + a$进行分解因式：
1. 提取公因式：观察多项式每一项都含有公因式$a$，先把公因式$a$提出来，可得：
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1)$
2. 用完全平方公式继续分解：括号内的多项式$a^2 - 2a +1$符合完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的形式，这里$m=a$，$n=1$，因此：
$a^2 - 2a +1=(a-1)^2$
3. 综上，原式分解因式的结果为$a(a-1)^2$，对应选项A。
其余选项验证：B选项未分解完全，还可继续用完全平方公式分解；C选项误用平方差公式，不符合括号内多项式的形式；D选项结果不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，均错误。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法；完全平方公式分解因式；因式分解的定义
【点评】
本题属于因式分解的基础常考题，核心考查因式分解的操作顺序：先提取公因式，再套用公式，同时要牢记因式分解的要求，结果必须是整式乘积的形式，且每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.8
3. 下列因式分解正确的是 （
A.$4a^2 -1=(4a +1)(4a -1)$
B.$-a^2b +2ab=-ab(a +2)$
C.$a^2 -6ab -9b^2=(a -3b)^2$
D.$a^2 -8a +16=(a -4)^2$
D
）A.$4a^2 -1=(4a +1)(4a -1)$
B.$-a^2b +2ab=-ab(a +2)$
C.$a^2 -6ab -9b^2=(a -3b)^2$
D.$a^2 -8a +16=(a -4)^2$
答案
3.D
解析
【分析】
这道题考查因式分解的正误判断，解题时需要逐个分析每个选项，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式的结构特征来验证分解是否正确，核心判断依据是分解前后的式子是否相等，且结果为整式乘积的形式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$4a^2-1=(2a)^2-1^2=(2a+1)(2a-1)$，选项中误将$2a$写为$4a$，分解错误。
B选项：提取公因式$-ab$计算，$-a^2b+2ab=-ab(a-2)$，选项中括号内第二项符号错误，分解错误。
C选项：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a-3b)^2=a^2-6ab+9b^2$，与选项中式子的第三项符号不符，分解错误。
D选项：$a^2-8a+16=a^2-2× a×4+4^2$，符合完全平方差公式，分解结果为$(a-4)^2$，分解正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需注意提取公因式时的符号变化，同时要熟记平方差、完全平方公式的结构特征，避免混淆公式出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查因式分解的正误判断，解题时需要逐个分析每个选项，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式的结构特征来验证分解是否正确，核心判断依据是分解前后的式子是否相等，且结果为整式乘积的形式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$4a^2-1=(2a)^2-1^2=(2a+1)(2a-1)$，选项中误将$2a$写为$4a$，分解错误。
B选项：提取公因式$-ab$计算，$-a^2b+2ab=-ab(a-2)$，选项中括号内第二项符号错误，分解错误。
C选项：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a-3b)^2=a^2-6ab+9b^2$，与选项中式子的第三项符号不符，分解错误。
D选项：$a^2-8a+16=a^2-2× a×4+4^2$，符合完全平方差公式，分解结果为$(a-4)^2$，分解正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题时需注意提取公因式时的符号变化，同时要熟记平方差、完全平方公式的结构特征，避免混淆公式出现计算错误。
【难度系数】
0.8
4.如果$a+b=3$，$ab=1$，那么$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$的值为 （
A.0
B.1
C.4
D.9
D
）A.0
B.1
C.4
D.9
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现每一项都含有公因式ab，因此先提取公因式，再看剩余部分是否可以用公式法继续分解，最终将代数式转化为含已知条件a+b、ab的形式，再整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将已知条件$a+b=3$，$ab=1$代入上式：
原式$=1×3^2=1×9=9$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的表达形式，利用整体代入的思路计算，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，发现每一项都含有公因式ab，因此先提取公因式，再看剩余部分是否可以用公式法继续分解，最终将代数式转化为含已知条件a+b、ab的形式，再整体代入数值计算即可，无需单独求解a、b的具体值，能简化计算。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将已知条件$a+b=3$，$ab=1$代入上式：
原式$=1×3^2=1×9=9$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的表达形式，利用整体代入的思路计算，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.8
5.分解因式：
(1)$3x^2 - 6xy + 3y^2$；
(2)$x^3 + 2x^2y + xy^2$；
(3)$3x^2 -12x +12$；
(4)$3a^2 -18a +27$；
(5)$2b^3 -4b^2 +2b$；
(6)$x^3 +6x^2 +9x$；
(7)$-m +2m^2 -m^3$；
(8)$ma^2 +4ma +4m$。
(1)$3x^2 - 6xy + 3y^2$；
(2)$x^3 + 2x^2y + xy^2$；
(3)$3x^2 -12x +12$；
(4)$3a^2 -18a +27$；
(5)$2b^3 -4b^2 +2b$；
(6)$x^3 +6x^2 +9x$；
(7)$-m +2m^2 -m^3$；
(8)$ma^2 +4ma +4m$。
答案
5.(1)$3(x-y)^2$ (2)$x(x+y)^2$ (3)$3(x-2)^2$ (4)$3(a-3)^2$ (5)$2b(b-1)^2$ (6)$x(x+3)^2$ (7)$-m(1-m)^2$ (8)$m(a+2)^2$
解析
【分析】
这8道因式分解题都属于基础常规题型，解题思路统一遵循因式分解的标准步骤：①先观察多项式是否存在公因式，若有优先提取公因式，注意公因式要提尽，若多项式首项为负可先提取负号简化后续运算；②提取公因式后，判断剩余多项式是否符合完全平方公式的结构特征（即$a^2\pm2ab+b^2$的形式），若符合则套用完全平方公式转化为$(a\pm b)^2$的形式；③最后检查结果是否已经分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先提取公因式3，可得$3(x^2-2xy+y^2)$，剩余部分$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式，即$x^2-2· x· y+y^2=(x-y)^2$，因此原式$=3(x-y)^2$；
(2) 先提取公因式$x$，可得$x(x^2+2xy+y^2)$，剩余部分$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此原式$=x(x+y)^2$；
(3) 先提取公因式3，可得$3(x^2-4x+4)$，剩余部分$x^2-4x+4=x^2-2· x·2+2^2=(x-2)^2$，因此原式$=3(x-2)^2$；
(4) 先提取公因式3，可得$3(a^2-6a+9)$，剩余部分$a^2-6a+9=a^2-2· a·3+3^2=(a-3)^2$，因此原式$=3(a-3)^2$；
(5) 先提取公因式$2b$，可得$2b(b^2-2b+1)$，剩余部分$b^2-2b+1=(b-1)^2$，因此原式$=2b(b-1)^2$；
(6) 先提取公因式$x$，可得$x(x^2+6x+9)$，剩余部分$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$，因此原式$=x(x+3)^2$；
(7) 先提取负号和公因式$m$，可得$-m(1-2m+m^2)$，剩余部分$1-2m+m^2=(1-m)^2$，因此原式$=-m(1-m)^2$；
(8) 先提取公因式$m$，可得$m(a^2+4a+4)$，剩余部分$a^2+4a+4=a^2+2· a·2+2^2=(a+2)^2$，因此原式$=m(a+2)^2$。
【答案】
(1)$3(x-y)^2$ (2)$x(x+y)^2$ (3)$3(x-2)^2$ (4)$3(a-3)^2$ (5)$2b(b-1)^2$ (6)$x(x+3)^2$ (7)$-m(1-m)^2$ (8)$m(a+2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，因式分解基本规则
【点评】
本题是因式分解的入门练习题，核心考察因式分解“先提公因式、再用公式”的基本步骤，解题时要注意公因式提尽、符号处理准确，最终结果要保证每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
这8道因式分解题都属于基础常规题型，解题思路统一遵循因式分解的标准步骤：①先观察多项式是否存在公因式，若有优先提取公因式，注意公因式要提尽，若多项式首项为负可先提取负号简化后续运算；②提取公因式后，判断剩余多项式是否符合完全平方公式的结构特征（即$a^2\pm2ab+b^2$的形式），若符合则套用完全平方公式转化为$(a\pm b)^2$的形式；③最后检查结果是否已经分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先提取公因式3，可得$3(x^2-2xy+y^2)$，剩余部分$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式，即$x^2-2· x· y+y^2=(x-y)^2$，因此原式$=3(x-y)^2$；
(2) 先提取公因式$x$，可得$x(x^2+2xy+y^2)$，剩余部分$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，因此原式$=x(x+y)^2$；
(3) 先提取公因式3，可得$3(x^2-4x+4)$，剩余部分$x^2-4x+4=x^2-2· x·2+2^2=(x-2)^2$，因此原式$=3(x-2)^2$；
(4) 先提取公因式3，可得$3(a^2-6a+9)$，剩余部分$a^2-6a+9=a^2-2· a·3+3^2=(a-3)^2$，因此原式$=3(a-3)^2$；
(5) 先提取公因式$2b$，可得$2b(b^2-2b+1)$，剩余部分$b^2-2b+1=(b-1)^2$，因此原式$=2b(b-1)^2$；
(6) 先提取公因式$x$，可得$x(x^2+6x+9)$，剩余部分$x^2+6x+9=x^2+2· x·3+3^2=(x+3)^2$，因此原式$=x(x+3)^2$；
(7) 先提取负号和公因式$m$，可得$-m(1-2m+m^2)$，剩余部分$1-2m+m^2=(1-m)^2$，因此原式$=-m(1-m)^2$；
(8) 先提取公因式$m$，可得$m(a^2+4a+4)$，剩余部分$a^2+4a+4=a^2+2· a·2+2^2=(a+2)^2$，因此原式$=m(a+2)^2$。
【答案】
(1)$3(x-y)^2$ (2)$x(x+y)^2$ (3)$3(x-2)^2$ (4)$3(a-3)^2$ (5)$2b(b-1)^2$ (6)$x(x+3)^2$ (7)$-m(1-m)^2$ (8)$m(a+2)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式，因式分解基本规则
【点评】
本题是因式分解的入门练习题，核心考察因式分解“先提公因式、再用公式”的基本步骤，解题时要注意公因式提尽、符号处理准确，最终结果要保证每个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.85
