登录
14.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释.
(1)如图1可以用来解释完全平方公式：
(2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为$m$的大正方形，两块是边长都为$n$的小正方形，五块是长为$m$，宽为$n$的全等小长方形，且$m＞n$.
①观察图形，可以发现代数式$2m^2+5mn+2n^2$可以分解因式为
②若每块小长方形的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，四个正方形的面积和为$50\ \mathrm{cm}^2$，试求$m-n$的值.
(3)将图3中边长为$a$和$b$的正方形拼在一起，$B,C,G$三点在同一条直线上，连接$BD$和$BF$，若这两个正方形的边长满足$a+b=5$，$ab=6$，请求出阴影部分的面积.
(1)如图1可以用来解释完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
，反过来利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解.(2)如图2，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为$m$的大正方形，两块是边长都为$n$的小正方形，五块是长为$m$，宽为$n$的全等小长方形，且$m＞n$.
①观察图形，可以发现代数式$2m^2+5mn+2n^2$可以分解因式为
$(m+2n)(2m+n)$
；②若每块小长方形的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$，四个正方形的面积和为$50\ \mathrm{cm}^2$，试求$m-n$的值.
(3)将图3中边长为$a$和$b$的正方形拼在一起，$B,C,G$三点在同一条直线上，连接$BD$和$BF$，若这两个正方形的边长满足$a+b=5$，$ab=6$，请求出阴影部分的面积.
答案
14.(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (2)①$(m+2n)(2m+n)$ ②$1$ (3)$3.5$
解析
【分析】
（1）观察图1，边长为$(a+b)$的大正方形可拆分为1个边长为$a$的正方形、2个长为$a$宽为$b$的长方形、1个边长为$b$的正方形，根据两种方式表示的大正方形面积相等，即可得到对应的完全平方公式。
（2）①图2中所有裁剪块的面积和为$2m^2+5mn+2n^2$，再确定大长方形的长和宽，用长×宽表示大长方形面积，即可得到因式分解结果。
②已知小长方形面积可得$mn$的值，四个正方形面积和可求出$m^2+n^2$的值，利用完全平方公式变形$(m-n)^2=m^2+n^2-2mn$，代入数值计算即可得到$m-n$的值。
（3）阴影部分是不规则图形，采用割补法：阴影面积=两个正方形面积和减去两个空白三角形的面积，先化简面积表达式，再代入$a+b$和$ab$的数值计算即可。
【解析】
(1) 图1中大正方形面积可表示为$(a+b)^2$，也可表示为各部分面积和$a^2+2ab+b^2$，因此可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) ① 图2中大长方形的长为$2m+n$，宽为$m+2n$，面积为$(2m+n)(m+2n)$，与裁剪块总面积相等，因此：
$2m^2+5mn+2n^2=(2m+n)(m+2n)$
② 由题意得：
$mn=12\ \mathrm{cm}^2$，$2m^2+2n^2=50\ \mathrm{cm}^2$，化简得$m^2+n^2=25\ \mathrm{cm}^2$
根据完全平方公式变形：
$(m-n)^2=m^2+n^2-2mn=25-2×12=1$
$\because m＞n$，$\therefore m-n=1$
(3) 阴影部分面积$S=S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{\mathrm{正方形}CGFE}-S_{△ ABD}-S_{△ BGF}$
代入各图形面积公式：
$\begin{aligned}S&=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
已知$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(13-6)=3.5$
【答案】
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (2)①$(m+2n)(2m+n)$ ②$1$ (3)$3.5$
【知识点】
完全平方公式，因式分解的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题结合几何图形考查代数恒等式的应用，体现了数形结合的思想，既要求熟练掌握完全平方公式及其变形，也需要灵活运用割补法计算不规则图形的面积，能帮助加深对代数公式几何意义的理解。
【难度系数】
0.7
（1）观察图1，边长为$(a+b)$的大正方形可拆分为1个边长为$a$的正方形、2个长为$a$宽为$b$的长方形、1个边长为$b$的正方形，根据两种方式表示的大正方形面积相等，即可得到对应的完全平方公式。
（2）①图2中所有裁剪块的面积和为$2m^2+5mn+2n^2$，再确定大长方形的长和宽，用长×宽表示大长方形面积，即可得到因式分解结果。
②已知小长方形面积可得$mn$的值，四个正方形面积和可求出$m^2+n^2$的值，利用完全平方公式变形$(m-n)^2=m^2+n^2-2mn$，代入数值计算即可得到$m-n$的值。
（3）阴影部分是不规则图形，采用割补法：阴影面积=两个正方形面积和减去两个空白三角形的面积，先化简面积表达式，再代入$a+b$和$ab$的数值计算即可。
【解析】
(1) 图1中大正方形面积可表示为$(a+b)^2$，也可表示为各部分面积和$a^2+2ab+b^2$，因此可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) ① 图2中大长方形的长为$2m+n$，宽为$m+2n$，面积为$(2m+n)(m+2n)$，与裁剪块总面积相等，因此：
$2m^2+5mn+2n^2=(2m+n)(m+2n)$
② 由题意得：
$mn=12\ \mathrm{cm}^2$，$2m^2+2n^2=50\ \mathrm{cm}^2$，化简得$m^2+n^2=25\ \mathrm{cm}^2$
根据完全平方公式变形：
$(m-n)^2=m^2+n^2-2mn=25-2×12=1$
$\because m＞n$，$\therefore m-n=1$
(3) 阴影部分面积$S=S_{\mathrm{正方形}ABCD}+S_{\mathrm{正方形}CGFE}-S_{△ ABD}-S_{△ BGF}$
代入各图形面积公式：
$\begin{aligned}S&=a^2+b^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}b(a+b)\\&=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
已知$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(13-6)=3.5$
【答案】
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (2)①$(m+2n)(2m+n)$ ②$1$ (3)$3.5$
【知识点】
完全平方公式，因式分解的几何意义，割补法求面积
【点评】
本题结合几何图形考查代数恒等式的应用，体现了数形结合的思想，既要求熟练掌握完全平方公式及其变形，也需要灵活运用割补法计算不规则图形的面积，能帮助加深对代数公式几何意义的理解。
【难度系数】
0.7
