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11.分解因式：
(1)$(x-y)^2 +6(x-y)+9$；
(2)$(x-y)^2 +4xy$。
(1)$(x-y)^2 +6(x-y)+9$；
(2)$(x-y)^2 +4xy$。
答案
11.(1)$(x-y+3)^2$ (2)$(x+y)^2$
解析
【分析】
对于因式分解的题目，首先观察式子结构判断是否符合乘法公式的特征：
(1) 题中式子共有三项，可将$(x-y)$看作一个整体，发现式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，其中$a$对应$(x-y)$，$b$对应$3$，可直接套用公式分解；
(2) 题中现有形式不符合乘法公式特征，因此先将$(x-y)^2$展开，合并同类项化简后，再观察是否符合完全平方公式的特征，再进行分解。
【解析】
(1) 把$(x-y)$看作整体，原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x-y$，$b=3$，因此：
$(x-y)^2 +6(x-y)+9=(x-y+3)^2$
(2) 先利用完全平方差公式展开$(x-y)^2$，再合并同类项化简，最后套用完全平方和公式分解：
$\begin{aligned}(x-y)^2 +4xy&=x^2-2xy+y^2+4xy\\&=x^2+2xy+y^2\\&=(x+y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-y+3)^2$；(2)$(x+y)^2$
【知识点】
公式法分解因式、整体代换思想、整式化简
【点评】
本题主要考查因式分解中完全平方公式的应用，解题时需先观察式子结构，能直接套用公式的可借助整体思想快速分解，不能直接套用公式的先化简再判断是否符合公式特征，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
对于因式分解的题目，首先观察式子结构判断是否符合乘法公式的特征：
(1) 题中式子共有三项，可将$(x-y)$看作一个整体，发现式子符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的结构，其中$a$对应$(x-y)$，$b$对应$3$，可直接套用公式分解；
(2) 题中现有形式不符合乘法公式特征，因此先将$(x-y)^2$展开，合并同类项化简后，再观察是否符合完全平方公式的特征，再进行分解。
【解析】
(1) 把$(x-y)$看作整体，原式符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x-y$，$b=3$，因此：
$(x-y)^2 +6(x-y)+9=(x-y+3)^2$
(2) 先利用完全平方差公式展开$(x-y)^2$，再合并同类项化简，最后套用完全平方和公式分解：
$\begin{aligned}(x-y)^2 +4xy&=x^2-2xy+y^2+4xy\\&=x^2+2xy+y^2\\&=(x+y)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-y+3)^2$；(2)$(x+y)^2$
【知识点】
公式法分解因式、整体代换思想、整式化简
【点评】
本题主要考查因式分解中完全平方公式的应用，解题时需先观察式子结构，能直接套用公式的可借助整体思想快速分解，不能直接套用公式的先化简再判断是否符合公式特征，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
12.如图，这三种规格的卡片共有9张，其中边长为a的正方形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片有4张。现要用这9张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为
第12题图
$2a+b$
。 第12题图答案
12.$2a+b$
解析
【分析】
要确定拼成的大正方形的边长，首先需明确拼接前后图形的总面积不变。我们可以先计算出所有卡片的总面积，再将总面积的代数式因式分解为完全平方的形式，完全平方的底数就是大正方形的边长。
【解析】
首先计算9张卡片的总面积：
1. 4张边长为$a$的正方形卡片总面积：$4× a^2=4a^2$
2. 1张边长为$b$的正方形卡片总面积：$1× b^2=b^2$
3. 4张长宽为$a,b$的长方形卡片总面积：$4× ab=4ab$
因此9张卡片的总面积为：$S=4a^2+4ab+b^2$
根据完全平方公式因式分解得：$4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2$
大正方形的面积等于边长的平方，且边长为正数，因此大正方形的边长为$2a+b$。
【答案】
$2a+b$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
3. 正方形面积计算
【点评】
本题通过图形拼接的场景考察代数知识的运用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，将几何问题转化为代数的因式分解问题，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握完全平方公式的形式特点。
【难度系数】
0.8
要确定拼成的大正方形的边长，首先需明确拼接前后图形的总面积不变。我们可以先计算出所有卡片的总面积，再将总面积的代数式因式分解为完全平方的形式，完全平方的底数就是大正方形的边长。
【解析】
首先计算9张卡片的总面积：
1. 4张边长为$a$的正方形卡片总面积：$4× a^2=4a^2$
2. 1张边长为$b$的正方形卡片总面积：$1× b^2=b^2$
3. 4张长宽为$a,b$的长方形卡片总面积：$4× ab=4ab$
因此9张卡片的总面积为：$S=4a^2+4ab+b^2$
根据完全平方公式因式分解得：$4a^2+4ab+b^2=(2a+b)^2$
大正方形的面积等于边长的平方，且边长为正数，因此大正方形的边长为$2a+b$。
【答案】
$2a+b$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
3. 正方形面积计算
【点评】
本题通过图形拼接的场景考察代数知识的运用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，将几何问题转化为代数的因式分解问题，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握完全平方公式的形式特点。
【难度系数】
0.8
13. 已知$a$，$b$，$c$分别是$△ ABC$的三边长.
(1)分别将多项式$ac-bc$，$-a^2+2ab-b^2$进行因式分解；
(2)若$ac-bc=-a^2+2ab-b^2$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(1)分别将多项式$ac-bc$，$-a^2+2ab-b^2$进行因式分解；
(2)若$ac-bc=-a^2+2ab-b^2$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案
13.(1)$c(a-b)$，$-(a-b)^2$ (2)等腰三角形，理由略
解析
【分析】
(1)因式分解遵循“先提公因式，再用公式”的原则：第一个多项式$ac-bc$存在公因式$c$，直接提取公因式即可完成分解；第二个多项式先提取负号后，剩余部分符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式即可分解。
(2)判断三角形形状需要推导三边的数量关系：先将已知等式移项，代入(1)的因式分解结果，再提取公因式将式子变形为乘积为0的形式，结合三角形三边关系即可得到边长的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 分解$ac-bc$：
提取公因式$c$，得$ac-bc=c(a-b)$；
分解$-a^2+2ab-b^2$：
先提取负号得$-(a^2-2ab+b^2)$，再根据完全平方公式，得$-(a^2-2ab+b^2)=-(a-b)^2$。
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
由$ac-bc=-a^2+2ab-b^2$，移项得：
$ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$
代入(1)的分解结果，得：
$c(a-b)+(a-b)^2=0$
提取公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(a+c-b)=0$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$a+c＞b$，即$a+c-b＞0$
∴仅当$a-b=0$时乘积为0，即$a=b$，故$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1)$c(a-b)$，$-(a-b)^2$
(2)等腰三角形
【知识点】
因式分解；三角形三边关系；等腰三角形判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，结合了代数变形与几何性质推导，考查对基础因式分解方法的掌握，以及运用代数关系分析几何问题的能力，解题核心是熟练掌握因式分解的步骤和三角形的基本性质。
【难度系数】
0.8
(1)因式分解遵循“先提公因式，再用公式”的原则：第一个多项式$ac-bc$存在公因式$c$，直接提取公因式即可完成分解；第二个多项式先提取负号后，剩余部分符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式即可分解。
(2)判断三角形形状需要推导三边的数量关系：先将已知等式移项，代入(1)的因式分解结果，再提取公因式将式子变形为乘积为0的形式，结合三角形三边关系即可得到边长的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
(1) 分解$ac-bc$：
提取公因式$c$，得$ac-bc=c(a-b)$；
分解$-a^2+2ab-b^2$：
先提取负号得$-(a^2-2ab+b^2)$，再根据完全平方公式，得$-(a^2-2ab+b^2)=-(a-b)^2$。
(2) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
由$ac-bc=-a^2+2ab-b^2$，移项得：
$ac-bc+a^2-2ab+b^2=0$
代入(1)的分解结果，得：
$c(a-b)+(a-b)^2=0$
提取公因式$(a-b)$，得：
$(a-b)(a+c-b)=0$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$a+c＞b$，即$a+c-b＞0$
∴仅当$a-b=0$时乘积为0，即$a=b$，故$△ ABC$为等腰三角形。
【答案】
(1)$c(a-b)$，$-(a-b)^2$
(2)等腰三角形
【知识点】
因式分解；三角形三边关系；等腰三角形判定
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，结合了代数变形与几何性质推导，考查对基础因式分解方法的掌握，以及运用代数关系分析几何问题的能力，解题核心是熟练掌握因式分解的步骤和三角形的基本性质。
【难度系数】
0.8
