1.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线与外角$∠ ACP$的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则线段EF，BE和CF的数量关系为。

1.$EF=BE-CF$

2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，E为CD上一点，AD=DE，EF//BC交BD于点F，求证：AB=EF.

2.证明:如图,作$AM// EF$交BD的延长线于点M.
因为$EF// BC$,所以$BC// AM$,
所以$∠ M=∠ DBC$.
因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD = ∠ CBD$,所以$∠ M=∠ ABD$,
所以$AM=AB$.
因为$AM// EF$,所以$∠ M=∠ DFE$.
在$△ ADM$和$△ EDF$中,
$\begin{cases}∠ ADM=∠ EDF,\\∠ M=∠ EFD,\\AD=ED,\end{cases}$
所以$△ ADM≌△ EDF(\mathrm{AAS})$,
所以$EF=AM$,
所以$AB=EF$.

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°,AD⊥ BC$于点$D$,且$AB+BD=CD$,求$∠ C$的度数.

3.解:$20°$.

4.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=108°$,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$D$.求证:$BC=AB+CD$.

4.证明:方法一(截长法):如图①,在 BC 上取点 E,使$BE=BA$,连接 DE.
因为 BD 平分$∠ ABC$,
所以$∠ ABD=∠ EBD$.
在$△ ABD$和$△ EBD$中,
$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ BAC=∠ BED=108°$,
所以$∠ DEC=72°$.
因为$AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC=36°$,
所以$∠ CDE=72°$,
所以$∠ CDE=∠ CED=72°$,
所以$CD=CE$,
所以$BC=BE+EC=AB+CD$.
方法二(补短法):如图②,延长 BA 至点E,使$BE=BC$,连接 DE.
因为 BD 平分$∠ ABC$,
所以$∠ ABD=∠ CBD$.
在$△ EBD$和$△ CBD$中,
$\begin{cases}EB=CB,\\∠ EBD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ EBD≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
所以$DE=DC$,$∠ E=∠ C$.
因为$∠ BAC=108°$,
所以$∠ EAD = 72°$,$∠ C = ∠ ABC = ∠ E=36°$,
所以$∠ EDA=∠ EAD=72°$,
所以$EA=ED$,所以$CD=DE=AE$,
所以$BC=BE=AB+AE=AB+CD$.

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D,延长CD交AB于点E,则△ACE是等腰三角形.

证明：
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD。
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE = ∠ADC = 90°。
在△ADE和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠EAD = ∠CAD, \\AD = AD, \\∠ADE = ∠ADC,\end{array} $
∴ △ADE ≌ △ADC（ASA）。
∴ AE = AC。
∴ △ACE是等腰三角形。

5.如图，已知$△ ABC$的面积为12，BP平分$∠ ABC$，且$AP⊥ BP$于点P，则$△ BPC$的面积是。

5.6