6.如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，ED⊥AD于点D.求证：ED平分∠AEB.

6.证明:如图,延长 AD 交 BC 于点 F.
因为 AD 是$∠ BAC$的平分线,
所以$∠ BAD=∠ CAD$.
因为$∠ DFE=∠ B+∠ BAD$,$∠ DAE=∠ EAC+∠ CAD$,$∠ B=∠ EAC$,
所以$∠ DFE=∠ DAE$,
所以$AE=FE$.
因为$ED⊥ AD$,所以 ED 平分$∠ AEB$.

7.如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在AD上，且$BE=AC$，求证：$∠ BED=∠ CAD$.

7.证明:如图,延长 AD 到点 F,使$DF=AD$,连接 BF.
因为 AD 是$△ ABC$的中线,
所以$BD=DC$.
在$△ ADC$和$△ FDB$中,
$\begin{cases}AD=FD,\\∠ ADC=∠ FDB,\\CD=BD,\end{cases}$
所以$△ ADC≌△ FDB(\mathrm{SAS})$,
所以$BF=AC$,$∠ CAD=∠ F$.
因为$BE=AC$,所以$BE=BF$,
所以$∠ F=∠ BED$,
所以$∠ BED=∠ CAD$.

8.如图，在$△ ABC$中，AD为中线，E为AB上一点，AD，CE相交于点F，且$AE=EF$。求证：$AB=CF$。

8.证明:如图,延长 FD 至点 H,使$FD=DH$,连接 BH.
因为 AD 是$△ ABC$的中线,
所以$BD=CD$.
在$△ BDH$和$△ CDF$中,
$\begin{cases}BD=CD,\\∠ BDH=∠ CDF,\\DH=DF,\end{cases}$
所以$△ BDH≌△ CDF(\mathrm{SAS})$,
所以$∠ H=∠ CFD$,$CF=BH$.
因为$AE=EF$,所以$∠ EAF=∠ AFE$.
因为$∠ AFE=∠ CFD$,所以$∠ EAF=∠ H$,
所以$AB=BH$,所以$AB=CF$.

9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=4,CD=7,则AC的长为 ()


A.10
B.11
C.12
D.15

9.B

10.如图,已知E为$△ ABC$内部一点,AE的延长线交边BC于点D,连接BE,CE,$∠ BED=∠ BAC=2∠ DEC$.若$AC=AB$,求证:$BE=2AE$.

10.证明:如图,在 EB 上截取$EF=AE$,连接 AF,设$∠ BED=2α$,
所以$∠ FAE=∠ AFE=α$,$∠ DEC=α$,
所以$∠ AEC=∠ AFB$.
因为$∠ CAD + ∠ BAD = ∠ BAC = 2α$,$∠ ABE + ∠ BAD = ∠ BED=2α$,
所以$∠ CAE=∠ ABE$.
在$△ CAE$和$△ ABF$中,
$\begin{cases}∠ AEC=∠ BFA,\\∠ CAE=∠ ABF,\\AC=BA,\end{cases}$
所以$△ CAE≌△ ABF(\mathrm{AAS})$,
所以$BF=AE=EF$,所以$BE=2AE$.