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1.关于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2 -2$的图象，下列结论不正确的是(
A.开口方向相同
B.形状相同
C.顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而减小
C
).A.开口方向相同
B.形状相同
C.顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而减小
答案
1.C
解析
【分析】
拿到本题首先回忆二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的图象性质及平移规律，按以下步骤思考：①先对比两个函数的二次项系数$a$，$a$决定开口方向和图象形状，可判断A、B选项；②根据“上加下减”的平移规律，确定两个函数的顶点坐标，判断C选项；③结合开口方向和对称轴（y轴），判断函数的增减性，确定D选项，最终选出结论不正确的选项。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2-2$：
1. 对比二次项系数：两个函数的$a=\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上，且开口大小/形状完全相同，故A、B选项结论正确；
2. 求顶点坐标：$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=\frac{1}{2}x^2-2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$，二者顶点坐标不同，故C选项结论错误；
3. 判断增减性：两个函数的对称轴均为$x=0$（y轴），且开口向上，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$都随$x$的增大而减小，故D选项结论正确。
题目要求选结论不正确的，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 二次函数平移规律 3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$的作用、上下平移对顶点坐标的影响，以及结合开口方向和对称轴判断增减性的方法，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先回忆二次函数$y=ax^2$和$y=ax^2+k$的图象性质及平移规律，按以下步骤思考：①先对比两个函数的二次项系数$a$，$a$决定开口方向和图象形状，可判断A、B选项；②根据“上加下减”的平移规律，确定两个函数的顶点坐标，判断C选项；③结合开口方向和对称轴（y轴），判断函数的增减性，确定D选项，最终选出结论不正确的选项。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2-2$：
1. 对比二次项系数：两个函数的$a=\frac{1}{2}＞0$，因此开口都向上，且开口大小/形状完全相同，故A、B选项结论正确；
2. 求顶点坐标：$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=\frac{1}{2}x^2-2$是$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$，二者顶点坐标不同，故C选项结论错误；
3. 判断增减性：两个函数的对称轴均为$x=0$（y轴），且开口向上，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$都随$x$的增大而减小，故D选项结论正确。
题目要求选结论不正确的，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质 2. 二次函数平移规律 3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$的作用、上下平移对顶点坐标的影响，以及结合开口方向和对称轴判断增减性的方法，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8
2.关于二次函数$y=-x^2+4$，以下说法正确的是(
A.函数图象开口向上
B.y的最大值为4
C.图象的对称轴为直线$y=0$
D.y随x的增大而减小
B
)。A.函数图象开口向上
B.y的最大值为4
C.图象的对称轴为直线$y=0$
D.y随x的增大而减小
答案
2.B
解析
【分析】
首先回忆形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数的核心性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$，最值与开口方向相关，单调性需以对称轴为界分区间判断。解题时先确定本题中$a、k$的取值，再逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4$，可得$a=-1$，$b=0$，$k=4$：
选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$函数图象开口向下，A错误；
选项B：$\because$图象开口向下，顶点为最高点，顶点坐标为$(0,4)$，$\therefore y$的最大值为4，B正确；
选项C：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=0$，即图象对称轴为直线$x=0$（$y$轴），不是直线$y=0$（$x$轴），C错误；
选项D：$\because$开口向下，对称轴为$x=0$，$\therefore$当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，不能笼统说$y$随$x$的增大而减小，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
2. 二次函数最值判断
3. 二次函数对称轴
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、对称轴、最值、单调性等基础性质的掌握，解题时需要注意两点：一是二次函数的单调性是分区间的，不能脱离对称轴笼统判断增减性；二是注意区分对称轴直线$x=0$和直线$y=0$的区别，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先回忆形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数的核心性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,k)$，最值与开口方向相关，单调性需以对称轴为界分区间判断。解题时先确定本题中$a、k$的取值，再逐一验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+4$，可得$a=-1$，$b=0$，$k=4$：
选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$函数图象开口向下，A错误；
选项B：$\because$图象开口向下，顶点为最高点，顶点坐标为$(0,4)$，$\therefore y$的最大值为4，B正确；
选项C：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=0$，即图象对称轴为直线$x=0$（$y$轴），不是直线$y=0$（$x$轴），C错误；
选项D：$\because$开口向下，对称轴为$x=0$，$\therefore$当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，不能笼统说$y$随$x$的增大而减小，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质
2. 二次函数最值判断
3. 二次函数对称轴
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、对称轴、最值、单调性等基础性质的掌握，解题时需要注意两点：一是二次函数的单调性是分区间的，不能脱离对称轴笼统判断增减性；二是注意区分对称轴直线$x=0$和直线$y=0$的区别，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
3.当$x＞0$时,下列函数中,$y$随$x$的增大而增大的是(
A.$y=-4x+2$
B.$y=2-x^2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=2x^2-1$
D
).A.$y=-4x+2$
B.$y=2-x^2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=2x^2-1$
答案
3.D
解析
【分析】
本题需要判断x＞0时四个函数的增减性，解题思路是先明确每个选项对应的函数类型，再结合对应函数的性质，在x＞0的范围内逐一分析y随x的变化趋势，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 函数$y=-4x+2$是一次函数，其中斜率$k=-4＜0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时也符合该规律，不符合要求；
B. 函数$y=2-x^2$是二次函数，开口向下，对称轴为$y$轴（$x=0$），因此在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
C. 函数$y=\frac{3}{x}$是反比例函数，其中$k=3＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
D. 函数$y=2x^2-1$是二次函数，开口向上，对称轴为$y$轴（$x=0$），因此在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质
【点评】
本题核心考查不同初等函数在指定区间的增减性判断，解题的关键是熟练掌握各类函数的图象与性质，分析时要注意结合题目给出的自变量取值范围，避免脱离区间直接判断性质导致错误。
【难度系数】
0.7
本题需要判断x＞0时四个函数的增减性，解题思路是先明确每个选项对应的函数类型，再结合对应函数的性质，在x＞0的范围内逐一分析y随x的变化趋势，最终选出符合要求的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 函数$y=-4x+2$是一次函数，其中斜率$k=-4＜0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时也符合该规律，不符合要求；
B. 函数$y=2-x^2$是二次函数，开口向下，对称轴为$y$轴（$x=0$），因此在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
C. 函数$y=\frac{3}{x}$是反比例函数，其中$k=3＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，不符合要求；
D. 函数$y=2x^2-1$是二次函数，开口向上，对称轴为$y$轴（$x=0$），因此在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质
【点评】
本题核心考查不同初等函数在指定区间的增减性判断，解题的关键是熟练掌握各类函数的图象与性质，分析时要注意结合题目给出的自变量取值范围，避免脱离区间直接判断性质导致错误。
【难度系数】
0.7
4.下列抛物线的顶点坐标为$(0,-1)$的是(
A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=2x^2 +1$
D.$y=-x^2 +1$
A
).A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=2x^2 +1$
D.$y=-x^2 +1$
答案
4.A
解析
【分析】
解题思路：首先回忆无一次项的二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象性质：该类函数的对称轴为y轴，顶点横坐标为0，顶点纵坐标等于常数项$k$的取值。题目要求顶点坐标为$(0,-1)$，即需要常数项$k=-1$，只需逐一核对四个选项的常数项即可找到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$，其顶点坐标为$(0,k)$，据此逐一分析选项：
A. 函数$y=x^2-1$中，$k=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$，符合要求；
B. 函数$y=x^2+1$中，$k=1$，顶点坐标为$(0,1)$，不符合要求；
C. 函数$y=2x^2+1$中，$k=1$，顶点坐标为$(0,1)$，不符合要求；
D. 函数$y=-x^2+1$中，$k=1$，顶点坐标为$(0,1)$，不符合要求。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标；$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊形式二次函数的顶点坐标判断，熟练掌握对应函数的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆无一次项的二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$的图象性质：该类函数的对称轴为y轴，顶点横坐标为0，顶点纵坐标等于常数项$k$的取值。题目要求顶点坐标为$(0,-1)$，即需要常数项$k=-1$，只需逐一核对四个选项的常数项即可找到正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k(a≠0)$，其顶点坐标为$(0,k)$，据此逐一分析选项：
A. 函数$y=x^2-1$中，$k=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$，符合要求；
B. 函数$y=x^2+1$中，$k=1$，顶点坐标为$(0,1)$，不符合要求；
C. 函数$y=2x^2+1$中，$k=1$，顶点坐标为$(0,1)$，不符合要求；
D. 函数$y=-x^2+1$中，$k=1$，顶点坐标为$(0,1)$，不符合要求。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标；$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查特殊形式二次函数的顶点坐标判断，熟练掌握对应函数的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5.已知点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$都在函数$y=-2x^2+4$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_3＞y_1$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
A
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_3＞y_1$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_1＞y_3＞y_2$
答案
5.A
解析
【分析】
要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，有两种常用思路：一是利用“函数图象上的点坐标满足函数解析式”，将三个点的横坐标分别代入函数表达式，计算出对应的函数值后直接比较大小；二是利用二次函数的性质，结合开口方向、点到对称轴的距离判断函数值大小，两种方法均符合当前学段知识要求，这里优先用更直观的代入法求解。
【解析】
已知点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$都在函数$y=-2x^2+4$的图象上，将各点横坐标代入解析式计算：
1. 代入$x=1$：$y_1=-2×1^2+4=-2+4=2$；
2. 代入$x=2$：$y_2=-2×2^2+4=-8+4=-4$；
3. 代入$x=-3$：$y_3=-2×(-3)^2+4=-18+4=-14$。
比较三个值的大小：$2＞-4＞-14$，即$y_1＞y_2＞y_3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都比较好掌握，代入法计算简单直接，利用对称轴和开口的方法可以提升解题速度，适合不同解题习惯的学生作答。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，有两种常用思路：一是利用“函数图象上的点坐标满足函数解析式”，将三个点的横坐标分别代入函数表达式，计算出对应的函数值后直接比较大小；二是利用二次函数的性质，结合开口方向、点到对称轴的距离判断函数值大小，两种方法均符合当前学段知识要求，这里优先用更直观的代入法求解。
【解析】
已知点$A(1,y_1),B(2,y_2),C(-3,y_3)$都在函数$y=-2x^2+4$的图象上，将各点横坐标代入解析式计算：
1. 代入$x=1$：$y_1=-2×1^2+4=-2+4=2$；
2. 代入$x=2$：$y_2=-2×2^2+4=-8+4=-4$；
3. 代入$x=-3$：$y_3=-2×(-3)^2+4=-18+4=-14$。
比较三个值的大小：$2＞-4＞-14$，即$y_1＞y_2＞y_3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都比较好掌握，代入法计算简单直接，利用对称轴和开口的方法可以提升解题速度，适合不同解题习惯的学生作答。
【难度系数】
0.8
6.二次函数$y=3x^2 -12$的最小值是
-12
.答案
6.-12
解析
【分析】
求解二次函数的最值，第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向：若二次项系数a＞0，抛物线开口向上，顶点为最低点，对应函数最小值；若a＜0，抛物线开口向下，顶点为最高点，对应函数最大值。本题中的二次函数是y=ax²+k的形式，顶点坐标为(0,k)，得到顶点纵坐标即可确定最值。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2 -12$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的特殊形式，其顶点坐标为$(0,-12)$，顶点是抛物线的最低点，因此函数的最小值为顶点的纵坐标$-12$。
也可通过非负数性质推导：$\because x^2≥0$，$\therefore 3x^2≥0$，则$3x^2-12≥ -12$，当$x=0$时取等号，即最小值为$-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数最值的求解方法，熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标与最值的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
求解二次函数的最值，第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向：若二次项系数a＞0，抛物线开口向上，顶点为最低点，对应函数最小值；若a＜0，抛物线开口向下，顶点为最高点，对应函数最大值。本题中的二次函数是y=ax²+k的形式，顶点坐标为(0,k)，得到顶点纵坐标即可确定最值。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2 -12$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值；
2. 该函数属于$y=ax^2+k$的特殊形式，其顶点坐标为$(0,-12)$，顶点是抛物线的最低点，因此函数的最小值为顶点的纵坐标$-12$。
也可通过非负数性质推导：$\because x^2≥0$，$\therefore 3x^2≥0$，则$3x^2-12≥ -12$，当$x=0$时取等号，即最小值为$-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数最值的求解方法，熟练掌握二次函数开口方向、顶点坐标与最值的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
7.抛物线$y=x^2+b$的图象全部在$x$轴的上方，则$b$的一个值可以为
1
（只需写出符合条件的一个$b$的值）。答案
7.1(答案不唯一,b＞0即可)
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=x^2+b$的基本性质：该函数二次项系数为正，开口向上，顶点坐标为$(0,b)$，顶点是整个抛物线的最低点，顶点的纵坐标就是函数的最小值。要让抛物线全部在$x$轴上方，只需要函数的最小值大于0，也就是顶点纵坐标$b＞0$，因此任意取一个大于0的数都符合要求。
【解析】
1. 对于二次函数$y=x^2+b$，二次项系数$1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该抛物线的顶点坐标为$(0,b)$，是抛物线的最低点，即函数的最小值为$b$；
3. 若图象全部在$x$轴上方，说明函数最小值大于0，即$b＞0$；
4. 取$b=1$即可（任意大于0的数值均满足条件）。
【答案】
1(答案不唯一,b＞0即可)
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是掌握开口向上的二次函数顶点为最低点的性质，将图象位置要求转化为最值的不等关系即可求解，解题思路直接清晰。
【难度系数】
0.9
首先回忆二次函数$y=x^2+b$的基本性质：该函数二次项系数为正，开口向上，顶点坐标为$(0,b)$，顶点是整个抛物线的最低点，顶点的纵坐标就是函数的最小值。要让抛物线全部在$x$轴上方，只需要函数的最小值大于0，也就是顶点纵坐标$b＞0$，因此任意取一个大于0的数都符合要求。
【解析】
1. 对于二次函数$y=x^2+b$，二次项系数$1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该抛物线的顶点坐标为$(0,b)$，是抛物线的最低点，即函数的最小值为$b$；
3. 若图象全部在$x$轴上方，说明函数最小值大于0，即$b＞0$；
4. 取$b=1$即可（任意大于0的数值均满足条件）。
【答案】
1(答案不唯一,b＞0即可)
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是掌握开口向上的二次函数顶点为最低点的性质，将图象位置要求转化为最值的不等关系即可求解，解题思路直接清晰。
【难度系数】
0.9
8.将抛物线$y=x^2$向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的顶点坐标是
$(0,-3)$
.答案
8.$(0,-3)$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先确定原抛物线的顶点坐标，抛物线$y=x^2$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的特殊形式，其中$h=0$，$k=0$，可得原顶点坐标为$(0,0)$；第二步结合平移规律推导新顶点坐标，抛物线平移时顶点会同步做相同的平移，向下平移仅改变顶点纵坐标，横坐标保持不变，纵坐标减去平移的单位长度即可得到新顶点坐标。
【解析】
已知原抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
将抛物线向下平移3个单位长度时，其顶点也同步向下平移3个单位，平移后顶点横坐标不变，纵坐标为$0-3=-3$，
因此新抛物线的顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
$(0,-3)$
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点坐标确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数平移时顶点的变化规律，掌握“上加下减、左加右减”的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：第一步先确定原抛物线的顶点坐标，抛物线$y=x^2$是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的特殊形式，其中$h=0$，$k=0$，可得原顶点坐标为$(0,0)$；第二步结合平移规律推导新顶点坐标，抛物线平移时顶点会同步做相同的平移，向下平移仅改变顶点纵坐标，横坐标保持不变，纵坐标减去平移的单位长度即可得到新顶点坐标。
【解析】
已知原抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
将抛物线向下平移3个单位长度时，其顶点也同步向下平移3个单位，平移后顶点横坐标不变，纵坐标为$0-3=-3$，
因此新抛物线的顶点坐标为$(0,-3)$。
【答案】
$(0,-3)$
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点坐标确定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数平移时顶点的变化规律，掌握“上加下减、左加右减”的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9.开口向上、顶点坐标(0,3)的抛物线的解析式为
$y=x^2+3$
(写一个即可)答案
9.$y=x^2+3$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先根据已知顶点坐标优先选择二次函数的顶点式求解，思路如下：①回忆二次函数顶点式的形式：顶点为$(h,k)$的抛物线解析式可写为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$a$的符号决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②将题目给出的顶点坐标$(0,3)$代入顶点式，可直接得到含参数$a$的解析式；③结合开口向上的要求，确定$a＞0$，任取一个正的$a$值即可得到符合要求的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
已知抛物线顶点坐标为$(0,3)$，代入得$h=0$，$k=3$，化简可得：$y=ax^2+3$
又因为抛物线开口向上，所以二次项系数$a＞0$，取最简单的正值$a=1$，可得解析式为$y=x^2+3$（注：$a$取任意正数均可，答案不唯一）
【答案】
$y=x^2+3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础开放性题目，主要考查对二次函数顶点式的掌握和开口方向与二次项系数关系的理解，只要掌握对应知识点即可快速写出符合要求的解析式。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据已知顶点坐标优先选择二次函数的顶点式求解，思路如下：①回忆二次函数顶点式的形式：顶点为$(h,k)$的抛物线解析式可写为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$a$的符号决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②将题目给出的顶点坐标$(0,3)$代入顶点式，可直接得到含参数$a$的解析式；③结合开口向上的要求，确定$a＞0$，任取一个正的$a$值即可得到符合要求的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$
已知抛物线顶点坐标为$(0,3)$，代入得$h=0$，$k=3$，化简可得：$y=ax^2+3$
又因为抛物线开口向上，所以二次项系数$a＞0$，取最简单的正值$a=1$，可得解析式为$y=x^2+3$（注：$a$取任意正数均可，答案不唯一）
【答案】
$y=x^2+3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础开放性题目，主要考查对二次函数顶点式的掌握和开口方向与二次项系数关系的理解，只要掌握对应知识点即可快速写出符合要求的解析式。
【难度系数】
0.9
10.若抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,-3)$，且形状与$y=2x^2$相同，开口方向相反，则其解析式为
$y=-2x^2-3$
。答案
10.$y=-2x^2-3$
解析
【分析】
要确定抛物线$y=ax^2+k$的解析式，需求出$a$和$k$的值：① 该形式的二次函数顶点坐标为$(0,k)$，结合题目给出的顶点坐标可直接求出$k$的值；② 二次项系数$a$决定抛物线的形状和开口方向：形状相同则两个抛物线的二次项系数绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反，由此可求出$a$的值，代入即可得到解析式。
【解析】
1. 求$k$的值：
抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，已知顶点坐标是$(0,-3)$，因此$k=-3$。
2. 求$a$的值：
抛物线的形状由$|a|$决定，已知所求抛物线形状与$y=2x^2$相同，因此$|a|=2$；
又因为开口方向与$y=2x^2$相反，$y=2x^2$的二次项系数为$2＞0$（开口向上），因此所求抛物线的$a＜0$，即$a=-2$。
3. 代入得解析式：
将$a=-2$，$k=-3$代入$y=ax^2+k$，得解析式为$y=-2x^2-3$。
【答案】
$y=-2x^2-3$
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求解析式、二次项系数的意义
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对$y=ax^2+k$形式的二次函数性质的理解，解题核心是明确顶点坐标与$k$的对应关系，以及$a$对抛物线形状、开口方向的影响，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线$y=ax^2+k$的解析式，需求出$a$和$k$的值：① 该形式的二次函数顶点坐标为$(0,k)$，结合题目给出的顶点坐标可直接求出$k$的值；② 二次项系数$a$决定抛物线的形状和开口方向：形状相同则两个抛物线的二次项系数绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反，由此可求出$a$的值，代入即可得到解析式。
【解析】
1. 求$k$的值：
抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，已知顶点坐标是$(0,-3)$，因此$k=-3$。
2. 求$a$的值：
抛物线的形状由$|a|$决定，已知所求抛物线形状与$y=2x^2$相同，因此$|a|=2$；
又因为开口方向与$y=2x^2$相反，$y=2x^2$的二次项系数为$2＞0$（开口向上），因此所求抛物线的$a＜0$，即$a=-2$。
3. 代入得解析式：
将$a=-2$，$k=-3$代入$y=ax^2+k$，得解析式为$y=-2x^2-3$。
【答案】
$y=-2x^2-3$
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求解析式、二次项系数的意义
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查对$y=ax^2+k$形式的二次函数性质的理解，解题核心是明确顶点坐标与$k$的对应关系，以及$a$对抛物线形状、开口方向的影响，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.二次函数$y=ax^2 + k(a≠0)$的图象经过点$A(1,-1),B(2,5)$。
(1)求该函数的解析式；
(2)若点$C(-2,m),D(n,7)$也在函数的图象上，求$m,n$的值。
(1)求该函数的解析式；
(2)若点$C(-2,m),D(n,7)$也在函数的图象上，求$m,n$的值。
答案
11.【解】(1)$\because$点$A(1,-1),B(2,5)$在二次函数$y=ax^2 + k$的图象上，
$\therefore \begin{cases} -1=a+k, \\ 5=4a+k. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=2, \\ k=-3. \end{cases}$
$\therefore$ 该函数的解析式为 $y=2x^2-3$.
(2)$\because$ 点 $C(-2,m),D(n,7)$ 在二次函数 $y=2x^2-3$ 的图象上，
$\therefore m=2×(-2)^2-3,7=2n^2-3.$
解得 $m=5,n=\pm\sqrt{5}.$
$\therefore \begin{cases} -1=a+k, \\ 5=4a+k. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=2, \\ k=-3. \end{cases}$
$\therefore$ 该函数的解析式为 $y=2x^2-3$.
(2)$\because$ 点 $C(-2,m),D(n,7)$ 在二次函数 $y=2x^2-3$ 的图象上，
$\therefore m=2×(-2)^2-3,7=2n^2-3.$
解得 $m=5,n=\pm\sqrt{5}.$
解析
【分析】
(1) 该二次函数解析式为$y=ax^2+k$，仅含$a$、$k$两个未知参数，且已知函数图象经过两个点的坐标。根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将两点坐标分别代入解析式，即可得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解方程组求出参数值就能确定函数解析式。
(2) 求得函数解析式后，点$C$、$D$在图象上说明两点坐标满足解析式，将$C$点的横坐标代入解析式可直接求出$m$；将$D$点的纵坐标代入解析式，解关于$n$的一元二次方程即可求出$n$，注意平方项开方时有正负两个解，不要漏解。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(1,-1)$、$B(2,5)$在二次函数$y=ax^2 + k(a≠0)$的图象上，
$\therefore$ 代入坐标得方程组：
$\begin{cases} -1=a+k, \\ 5=4a+k. \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$k$，得$3a=6$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+k=-1$，得$k=-3$。
$\therefore$ 该函数的解析式为$y=2x^2-3$。
(2) $\because$ 点$C(-2,m)$、$D(n,7)$在二次函数$y=2x^2-3$的图象上，
$\therefore$ 将$C(-2,m)$代入解析式得：$m=2×(-2)^2-3=5$；
将$D(n,7)$代入解析式得：$7=2n^2-3$，整理得$n^2=5$，解得$n=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=2x^2-3$；(2) $m=5$，$n=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题思路清晰，核心考查待定系数法的应用和函数图象与解析式的对应关系，需注意求解含平方的方程时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
(1) 该二次函数解析式为$y=ax^2+k$，仅含$a$、$k$两个未知参数，且已知函数图象经过两个点的坐标。根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将两点坐标分别代入解析式，即可得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解方程组求出参数值就能确定函数解析式。
(2) 求得函数解析式后，点$C$、$D$在图象上说明两点坐标满足解析式，将$C$点的横坐标代入解析式可直接求出$m$；将$D$点的纵坐标代入解析式，解关于$n$的一元二次方程即可求出$n$，注意平方项开方时有正负两个解，不要漏解。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(1,-1)$、$B(2,5)$在二次函数$y=ax^2 + k(a≠0)$的图象上，
$\therefore$ 代入坐标得方程组：
$\begin{cases} -1=a+k, \\ 5=4a+k. \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$k$，得$3a=6$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+k=-1$，得$k=-3$。
$\therefore$ 该函数的解析式为$y=2x^2-3$。
(2) $\because$ 点$C(-2,m)$、$D(n,7)$在二次函数$y=2x^2-3$的图象上，
$\therefore$ 将$C(-2,m)$代入解析式得：$m=2×(-2)^2-3=5$；
将$D(n,7)$代入解析式得：$7=2n^2-3$，整理得$n^2=5$，解得$n=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y=2x^2-3$；(2) $m=5$，$n=\pm\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题思路清晰，核心考查待定系数法的应用和函数图象与解析式的对应关系，需注意求解含平方的方程时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.8
