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12.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=70°$，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$，$BC$分别相切于点$D$，$E$，连接$DE$，$AO$的延长线交$DE$于点$F$，求$∠ AFD$的度数。
答案
12.【解】如图,连接 OB 与 DE 相交于点 G.
$\because ∠ ACB=70°,$
$\therefore ∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB=110°.$
$\because$ 点 O 为$△ ABC$的内切圆的圆心,
$\therefore$ OA 平分$∠ CAB$,OB 平分$∠ ABC.$
$\therefore ∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB,∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA.$
$\therefore ∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=55°.$
$\therefore ∠ FOB=∠ OAB+∠ OBA=55°.$
$\because \odot O$ 与 AB,BC 分别相切于点 D,E,
$\therefore BE=BD,∠ EBO=∠ DBO.$
$\therefore OB⊥ DE.$
$\therefore ∠ OGE=90°.$
$\therefore ∠ AFD=90°-∠ FOB=90°-55°=35°.$
解析
【分析】
解题时可从三角形内切圆的性质切入思考：首先，内切圆的圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，结合切线长定理可得$BD=BE$，再结合角平分线性质可推出$OB⊥ DE$，即可将所求$∠ AFD$放入直角三角形中求解；接下来通过三角形内角和求出$∠ CAB+∠ CBA$的度数，利用角平分线性质和三角形外角性质得到$∠ FOB$的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可算出$∠ AFD$的度数。
【解析】
如图，连接$OB$与$DE$相交于点$G$.
$\because ∠ ACB=70°,$
$\therefore ∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB=110°.$
$\because$ 点$O$为$△ ABC$的内切圆的圆心,
$\therefore OA$平分$∠ CAB$，$OB$平分$∠ ABC.$
$\therefore ∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB,∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA.$
$\therefore ∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=55°.$
$\therefore ∠ FOB=∠ OAB+∠ OBA=55°.$
$\because \odot O$与$AB$，$BC$分别相切于点$D$，$E$,
$\therefore BE=BD,∠ EBO=∠ DBO.$
$\therefore OB⊥ DE.$
$\therefore ∠ OGF=90°.$
$\therefore ∠ AFD=90°-∠ FOB=90°-55°=35°.$
【答案】
$35°$
【知识点】
1.三角形内心的性质
2.切线长定理
3.三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础角度计算问题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用内切圆相关性质、角平分线性质及三角形角度的相关运算规律，能较好地考查学生对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可从三角形内切圆的性质切入思考：首先，内切圆的圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，结合切线长定理可得$BD=BE$，再结合角平分线性质可推出$OB⊥ DE$，即可将所求$∠ AFD$放入直角三角形中求解；接下来通过三角形内角和求出$∠ CAB+∠ CBA$的度数，利用角平分线性质和三角形外角性质得到$∠ FOB$的度数，最后根据直角三角形两锐角互余即可算出$∠ AFD$的度数。
【解析】
如图，连接$OB$与$DE$相交于点$G$.
$\because ∠ ACB=70°,$
$\therefore ∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB=110°.$
$\because$ 点$O$为$△ ABC$的内切圆的圆心,
$\therefore OA$平分$∠ CAB$，$OB$平分$∠ ABC.$
$\therefore ∠ OAB=\frac{1}{2}∠ CAB,∠ OBA=\frac{1}{2}∠ CBA.$
$\therefore ∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=55°.$
$\therefore ∠ FOB=∠ OAB+∠ OBA=55°.$
$\because \odot O$与$AB$，$BC$分别相切于点$D$，$E$,
$\therefore BE=BD,∠ EBO=∠ DBO.$
$\therefore OB⊥ DE.$
$\therefore ∠ OGF=90°.$
$\therefore ∠ AFD=90°-∠ FOB=90°-55°=35°.$
【答案】
$35°$
【知识点】
1.三角形内心的性质
2.切线长定理
3.三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础角度计算问题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用内切圆相关性质、角平分线性质及三角形角度的相关运算规律，能较好地考查学生对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1.(2025,滨州,7)如图，E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17,EF=13,则△GCH的内切圆半径为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
首先利用正方形四条边相等、四个角都是直角的性质，结合已知AF=BG=CH=DE，可推导出AE=BF=CG=DH，进而证明四个角上的直角三角形全等，得到△GCH是直角三角形且斜边GH=EF=13；再设AF=x，通过勾股定理列方程求出x的值，得到△GCH的两条直角边长度，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导边的关系：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=17，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AF=BG=CH=DE，
∴AB-AF=BC-BG=CD-CH=DA-DE，即BF=CG=DH=AE。
2. 证明全等得边长：
根据SAS可证△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE，
∴GH=EF=13，△GCH为直角三角形（∠C=90°）。
3. 勾股定理求直角边：
设AF=CH=x，则AE=17-x，在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$x^2+(17-x)^2=13^2$
整理得$x^2-17x+60=0$，解得$x=5$或$x=12$，
即△GCH的两条直角边长度分别为5和12，斜边为13。
4. 计算内切圆半径：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是基础综合题，将正方形、全等三角形、勾股定理和内切圆的知识点结合考查，解题的突破口是利用正方形性质推导全等三角形，得到所求直角三角形的各边长度，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
首先利用正方形四条边相等、四个角都是直角的性质，结合已知AF=BG=CH=DE，可推导出AE=BF=CG=DH，进而证明四个角上的直角三角形全等，得到△GCH是直角三角形且斜边GH=EF=13；再设AF=x，通过勾股定理列方程求出x的值，得到△GCH的两条直角边长度，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 推导边的关系：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=17，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵AF=BG=CH=DE，
∴AB-AF=BC-BG=CD-CH=DA-DE，即BF=CG=DH=AE。
2. 证明全等得边长：
根据SAS可证△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE，
∴GH=EF=13，△GCH为直角三角形（∠C=90°）。
3. 勾股定理求直角边：
设AF=CH=x，则AE=17-x，在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$x^2+(17-x)^2=13^2$
整理得$x^2-17x+60=0$，解得$x=5$或$x=12$，
即△GCH的两条直角边长度分别为5和12，斜边为13。
4. 计算内切圆半径：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是基础综合题，将正方形、全等三角形、勾股定理和内切圆的知识点结合考查，解题的突破口是利用正方形性质推导全等三角形，得到所求直角三角形的各边长度，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.6
2.如图，$△ ABC$的内切圆(圆心为点$O$)与各边分别相切于点$D,E,F$，连接$EF,DE,DF$.以点$B$为圆心，适当长为半径作弧分别交$AB,BC$于$G,H$两点；分别以点$G,H$为圆心，大于$\frac{1}{2}GH$的长为半径作弧，两条弧交于点$P$；作射线$BP$.有下列结论：①射线$BP$一定过点$O$；②点$O$是$△ DEF$三条中线的交点；③若$△ ABC$是等边三角形，则$DE=\frac{1}{2}BC$.其中，正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心前提：一是通过尺规作图的方法可判断射线BP是∠ABC的角平分线；二是点O是△ABC的内心，即三角形三条内角平分线的交点，到三边距离相等。接下来逐个分析三个结论：①结合内心的位置特点判断BP是否过点O；②明确O到△DEF三个顶点的距离相等，判断O是△DEF的什么特殊点，和中线交点（重心）区分；③结合等边三角形的性质和切线长定理，判断DE和BC的数量关系，即可得出正确结论的个数。
【解析】
1. 分析作图结果：根据题中尺规作图的步骤，可知射线BP是∠ABC的角平分线。
2. 判断结论①：点O是△ABC的内切圆圆心（内心），内心是三角形三个内角平分线的交点，因此点O在∠ABC的角平分线BP上，即射线BP一定过点O，①正确。
3. 判断结论②：D、E、F是内切圆与△ABC三边的切点，因此OD=OE=OF，均为内切圆的半径，说明点O是△DEF的外接圆圆心（外心）；而三角形三条中线的交点是重心，外心和重心并不一定重合，因此②错误。
4. 判断结论③：若△ABC是等边三角形，设边长为a，根据切线长定理可得$AD=AE=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{a+a-a}{2}=\frac{a}{2}$，即D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，因此$DE=\frac{1}{2}BC$，③正确。
综上，正确的结论有①③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图；三角形内心的性质；切线长定理
【点评】
本题综合考查了角平分线的作法、三角形特殊点的性质、切线长定理等内容，解题时要注意区分内心、外心、重心的概念，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.65
解题时首先明确两个核心前提：一是通过尺规作图的方法可判断射线BP是∠ABC的角平分线；二是点O是△ABC的内心，即三角形三条内角平分线的交点，到三边距离相等。接下来逐个分析三个结论：①结合内心的位置特点判断BP是否过点O；②明确O到△DEF三个顶点的距离相等，判断O是△DEF的什么特殊点，和中线交点（重心）区分；③结合等边三角形的性质和切线长定理，判断DE和BC的数量关系，即可得出正确结论的个数。
【解析】
1. 分析作图结果：根据题中尺规作图的步骤，可知射线BP是∠ABC的角平分线。
2. 判断结论①：点O是△ABC的内切圆圆心（内心），内心是三角形三个内角平分线的交点，因此点O在∠ABC的角平分线BP上，即射线BP一定过点O，①正确。
3. 判断结论②：D、E、F是内切圆与△ABC三边的切点，因此OD=OE=OF，均为内切圆的半径，说明点O是△DEF的外接圆圆心（外心）；而三角形三条中线的交点是重心，外心和重心并不一定重合，因此②错误。
4. 判断结论③：若△ABC是等边三角形，设边长为a，根据切线长定理可得$AD=AE=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{a+a-a}{2}=\frac{a}{2}$，即D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，因此$DE=\frac{1}{2}BC$，③正确。
综上，正确的结论有①③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图；三角形内心的性质；切线长定理
【点评】
本题综合考查了角平分线的作法、三角形特殊点的性质、切线长定理等内容，解题时要注意区分内心、外心、重心的概念，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.65
3.如图,将$△ ABC$沿着直线$DE$折叠,点$A$恰好与$△ ABC$的内心$I$重合,若$∠ DIB+∠ EIC=195°$,则$∠ BAC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
3.50
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到∠DIE=∠BAC，再结合三角形内心是角平分线交点的性质，推导出∠BIC与∠BAC的数量关系；最后根据围绕点I的四个角之和为周角360°，代入已知条件和推导得到的角的关系，建立关于∠BAC的一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$∠ DIE=∠ BAC$。
∵$I$是$△ ABC$的内心，
∴$IB$平分$∠ ABC$，$IC$平分$∠ ACB$，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
根据三角形内角和定理：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$，代入上式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∵围绕点$I$的四个角之和为周角$360°$，
∴$∠ DIB+∠ EIC+∠ DIE+∠ BIC=360°$
将$∠ DIB+∠ EIC=195°$、$∠ DIE=∠ BAC$、$∠ BIC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$代入得：
$195°+∠ BAC+90°+\frac{1}{2}∠ BAC=360°$
整理得：$\frac{3}{2}∠ BAC=75°$
解得：$∠ BAC=50°$
【答案】
50
【知识点】
折叠的性质；三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的综合题，将折叠变换、三角形内心的性质结合考查，解题的关键是找到周角的等量关系，建立方程求解，能较好地锻炼学生整合知识点、推导角度关系的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质得到∠DIE=∠BAC，再结合三角形内心是角平分线交点的性质，推导出∠BIC与∠BAC的数量关系；最后根据围绕点I的四个角之和为周角360°，代入已知条件和推导得到的角的关系，建立关于∠BAC的一元一次方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$∠ DIE=∠ BAC$。
∵$I$是$△ ABC$的内心，
∴$IB$平分$∠ ABC$，$IC$平分$∠ ACB$，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
根据三角形内角和定理：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$，代入上式得：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$
∵围绕点$I$的四个角之和为周角$360°$，
∴$∠ DIB+∠ EIC+∠ DIE+∠ BIC=360°$
将$∠ DIB+∠ EIC=195°$、$∠ DIE=∠ BAC$、$∠ BIC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$代入得：
$195°+∠ BAC+90°+\frac{1}{2}∠ BAC=360°$
整理得：$\frac{3}{2}∠ BAC=75°$
解得：$∠ BAC=50°$
【答案】
50
【知识点】
折叠的性质；三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的综合题，将折叠变换、三角形内心的性质结合考查，解题的关键是找到周角的等量关系，建立方程求解，能较好地锻炼学生整合知识点、推导角度关系的能力。
【难度系数】
0.6
4.(2024,内江,25)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°$,$BC=8$,$E$是$BC$边上一点,且$BE=2$,点$I$是$△ ABC$的内心,$BI$的延长线交$AC$于点$D$,$P$是$BD$上一动点,连接$PE$,$PC$,则$PE+PC$的最小值为
$2\sqrt{13}$
.答案
4.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
本题属于线段和的最小值问题，解题思路如下：1. 首先明确三角形内心是角平分线的交点，因此BD是∠ABC的角平分线；2. 求PE+PC的最小值可利用轴对称转化：作点E关于BD的对称点，根据角平分线的对称性，对称点F落在AB边上，此时PE=PF，PE+PC转化为PF+PC；3. 根据“两点之间线段最短”，PF+PC的最小值为线段FC的长度，接下来计算FC的长度即可。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，即BD是∠ABC的角平分线。
作点E关于BD的对称点F，由角平分线的对称性可知，点F落在AB边上，且BF=BE=2，此时PE=PF。
∴PE+PC=PF+PC，根据两点之间线段最短，当F、P、C三点共线时，PF+PC取得最小值，最小值为FC的长度。
过点F作FG⊥BC于点G，
在Rt△BFG中，∠FBG=60°，BF=2，
∴BG=BF·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，FG=BF·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵BC=8，
∴GC=BC-BG=8-1=7，
在Rt△FGC中，由勾股定理得：
FC=$\sqrt{FG^2 + GC^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2 +7^2}$=$\sqrt{3+49}$=$\sqrt{52}$=$2\sqrt{13}$。
即PE+PC的最小值为$2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
三角形内心的性质；轴对称求最短路径；勾股定理
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题的核心是利用角平分线的对称性进行线段转化，将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊角的性质和勾股定理计算即可，较好地考查了几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于线段和的最小值问题，解题思路如下：1. 首先明确三角形内心是角平分线的交点，因此BD是∠ABC的角平分线；2. 求PE+PC的最小值可利用轴对称转化：作点E关于BD的对称点，根据角平分线的对称性，对称点F落在AB边上，此时PE=PF，PE+PC转化为PF+PC；3. 根据“两点之间线段最短”，PF+PC的最小值为线段FC的长度，接下来计算FC的长度即可。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，即BD是∠ABC的角平分线。
作点E关于BD的对称点F，由角平分线的对称性可知，点F落在AB边上，且BF=BE=2，此时PE=PF。
∴PE+PC=PF+PC，根据两点之间线段最短，当F、P、C三点共线时，PF+PC取得最小值，最小值为FC的长度。
过点F作FG⊥BC于点G，
在Rt△BFG中，∠FBG=60°，BF=2，
∴BG=BF·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，FG=BF·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵BC=8，
∴GC=BC-BG=8-1=7，
在Rt△FGC中，由勾股定理得：
FC=$\sqrt{FG^2 + GC^2}$=$\sqrt{(\sqrt{3})^2 +7^2}$=$\sqrt{3+49}$=$\sqrt{52}$=$2\sqrt{13}$。
即PE+PC的最小值为$2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
三角形内心的性质；轴对称求最短路径；勾股定理
【点评】
本题是几何最值的典型题型，解题的核心是利用角平分线的对称性进行线段转化，将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊角的性质和勾股定理计算即可，较好地考查了几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
5.如图,点 E 是△ABC 的内心,AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D,BD=3,求 DE 的长.
B E C
B E C
答案
5.【解】如图,连接 BE.
$\because E$ 是$△ ABC$ 的内心,
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$,$BE$ 平分$∠ ABC.$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD,∠ ABE=∠ CBE.$
$\because ∠ DBC=∠ DAC,$
$\therefore ∠ DBC=∠ BAD.$
$\because ∠ BED=∠ BAD+∠ ABE,∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE,$
$\therefore ∠ BED=∠ DBE.$
$\therefore DE=DB=3.$
解析
【分析】
要求DE的长度，已知BD=3，可尝试证明DE=BD，即证明△BDE为等腰三角形。首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，可得两组角相等；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，将角进行等量代换，最终推导得到∠BED=∠DBE，利用等角对等边即可得出DE的长度。
【解析】
解：如图，连接BE。
$\because E$ 是$△ ABC$ 的内心,
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$,$BE$ 平分$∠ ABC.$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD,∠ ABE=∠ CBE.$
$\because ∠DBC$与$∠DAC$都是弧DC所对的圆周角，
$\therefore ∠ DBC=∠ DAC,$
$\therefore ∠ DBC=∠ BAD.$
$\because ∠ BED$是$△ABE$的外角，
$\therefore ∠ BED=∠ BAD+∠ ABE,$
又$\because ∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE,$
$\therefore ∠ BED=∠ DBE.$
$\therefore DE=DB=3.$
【答案】
DE的长为3
【知识点】
1. 三角形内心的性质 2. 圆周角定理 3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形与圆的综合基础题，解题核心是利用内心性质和圆周角定理完成角的等量代换，进而通过等角对等边得到边的等量关系，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
要求DE的长度，已知BD=3，可尝试证明DE=BD，即证明△BDE为等腰三角形。首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，可得两组角相等；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，将角进行等量代换，最终推导得到∠BED=∠DBE，利用等角对等边即可得出DE的长度。
【解析】
解：如图，连接BE。
$\because E$ 是$△ ABC$ 的内心,
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC$,$BE$ 平分$∠ ABC.$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD,∠ ABE=∠ CBE.$
$\because ∠DBC$与$∠DAC$都是弧DC所对的圆周角，
$\therefore ∠ DBC=∠ DAC,$
$\therefore ∠ DBC=∠ BAD.$
$\because ∠ BED$是$△ABE$的外角，
$\therefore ∠ BED=∠ BAD+∠ ABE,$
又$\because ∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE,$
$\therefore ∠ BED=∠ DBE.$
$\therefore DE=DB=3.$
【答案】
DE的长为3
【知识点】
1. 三角形内心的性质 2. 圆周角定理 3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形与圆的综合基础题，解题核心是利用内心性质和圆周角定理完成角的等量代换，进而通过等角对等边得到边的等量关系，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
