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4.已知$△ ABC$的周长为$l$，其内切圆的半径为$r$，则$△ ABC$的面积为(
A.$\frac{1}{2}rl$
B.$\frac{1}{2}π rl$
C.$rl$
D.$π rl$
A
).A.$\frac{1}{2}rl$
B.$\frac{1}{2}π rl$
C.$rl$
D.$π rl$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离都等于内切圆半径r。要求三角形的总面积，可采用分割法：连接内心与三角形的三个顶点，将原三角形拆分为3个小三角形，每个小三角形的高均为r，底分别对应原三角形的三条边，分别计算3个小三角形的面积再求和，结合周长公式即可推导出原三角形的面积。
【解析】
设△ABC的三条边长分别为a、b、c，由题意得周长$l=a+b+c$。
连接内切圆圆心O与三个顶点A、B、C，将△ABC分割为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$三个小三角形。
∵内切圆与三角形各边相切，
∴点O到AB、BC、AC的距离均等于内切圆半径r，即三个小三角形的高均为r。
根据三角形面积公式，三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}cr$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ar$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}br$
则△ABC的总面积为：
$S=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br=\frac{1}{2}r(a+b+c)$
代入$a+b+c=l$，可得$S=\frac{1}{2}rl$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心解题思路是利用分割法将大三角形转化为多个等高的小三角形，结合周长公式即可快速得出结论，该结论是三角形内切圆问题中的常用结论，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形内切圆的性质：内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离都等于内切圆半径r。要求三角形的总面积，可采用分割法：连接内心与三角形的三个顶点，将原三角形拆分为3个小三角形，每个小三角形的高均为r，底分别对应原三角形的三条边，分别计算3个小三角形的面积再求和，结合周长公式即可推导出原三角形的面积。
【解析】
设△ABC的三条边长分别为a、b、c，由题意得周长$l=a+b+c$。
连接内切圆圆心O与三个顶点A、B、C，将△ABC分割为$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$三个小三角形。
∵内切圆与三角形各边相切，
∴点O到AB、BC、AC的距离均等于内切圆半径r，即三个小三角形的高均为r。
根据三角形面积公式，三个小三角形的面积分别为：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}cr$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}ar$，$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}br$
则△ABC的总面积为：
$S=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}=\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br=\frac{1}{2}r(a+b+c)$
代入$a+b+c=l$，可得$S=\frac{1}{2}rl$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心解题思路是利用分割法将大三角形转化为多个等高的小三角形，结合周长公式即可快速得出结论，该结论是三角形内切圆问题中的常用结论，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
5.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AB是直径，$\odot D$是$△ ABC$的内切圆，连接AD，BD，则$∠ ADB$的度数为(
A.$120°$
B.$135°$
C.$145°$
D.$150°$
B
).A.$120°$
B.$135°$
C.$145°$
D.$150°$
答案
5.B
解析
【分析】
首先从已知条件入手推导：1. AB是⊙O的直径，根据圆周角定理可推出∠ACB=90°，进而得到△ABC中两个锐角的和为90°；2. ⊙D是△ABC的内切圆，可知D是三角形的内心，即三条角平分线的交点，因此AD、BD分别平分∠CAB和∠CBA，可算出△ADB中两个底角的和；最后利用三角形内角和定理即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
∴在△ABC中，∠CAB + ∠CBA = 180° - ∠ACB = 180° - 90° = 90°。
∵⊙D是△ABC的内切圆，
∴点D是△ABC的内心，即AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴∠DAB = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠DBA = $\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠DAB + ∠DBA = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠CBA) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
在△ADB中，根据三角形内角和为180°，
∴∠ADB = 180° - (∠DAB + ∠DBA) = 180° - 45° = 135°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心是利用直径的性质和三角形内心的性质得到角的数量关系，再结合三角形内角和求解，解题时要准确识别性质对应的图形特征，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件入手推导：1. AB是⊙O的直径，根据圆周角定理可推出∠ACB=90°，进而得到△ABC中两个锐角的和为90°；2. ⊙D是△ABC的内切圆，可知D是三角形的内心，即三条角平分线的交点，因此AD、BD分别平分∠CAB和∠CBA，可算出△ADB中两个底角的和；最后利用三角形内角和定理即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
∴在△ABC中，∠CAB + ∠CBA = 180° - ∠ACB = 180° - 90° = 90°。
∵⊙D是△ABC的内切圆，
∴点D是△ABC的内心，即AD平分∠CAB，BD平分∠CBA，
∴∠DAB = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠DBA = $\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠DAB + ∠DBA = $\frac{1}{2}$(∠CAB + ∠CBA) = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
在△ADB中，根据三角形内角和为180°，
∴∠ADB = 180° - (∠DAB + ∠DBA) = 180° - 45° = 135°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，核心是利用直径的性质和三角形内心的性质得到角的数量关系，再结合三角形内角和求解，解题时要准确识别性质对应的图形特征，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
6.(2025,宁夏,13)如图,⊙O是△ABC的内切圆,∠A=54°,则∠BOC=
117
°.答案
6.117
解析
【分析】
首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。解题思路为：先根据三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
117
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查对三角形内心性质的理解，结合角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。解题思路为：先根据三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=54°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
117
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查对三角形内心性质的理解，结合角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.(2025,西宁,13)如图,四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形,且$AB=9$,$CD=15$,则四边形ABCD的周长为
48
.答案
7.48
解析
【分析】
本题考查圆外切四边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆圆外切四边形的核心性质：对边之和相等；四边形的周长为四条边长度之和，结合性质可知周长等于两组对边和的2倍，代入已知边长计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，
∴根据圆外切四边形的性质可得：$AB+CD=AD+BC$，
已知$AB=9$，$CD=15$，
∴$AB+CD=9+15=24$，即$AD+BC=24$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=24+24=48$。
【答案】
48
【知识点】
1.圆外切四边形的性质
2.四边形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，核心是对圆外切四边形性质的直接运用，牢记性质就能快速得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题考查圆外切四边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆圆外切四边形的核心性质：对边之和相等；四边形的周长为四条边长度之和，结合性质可知周长等于两组对边和的2倍，代入已知边长计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，
∴根据圆外切四边形的性质可得：$AB+CD=AD+BC$，
已知$AB=9$，$CD=15$，
∴$AB+CD=9+15=24$，即$AD+BC=24$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(AD+BC)=24+24=48$。
【答案】
48
【知识点】
1.圆外切四边形的性质
2.四边形周长计算
【点评】
本题是基础类题型，核心是对圆外切四边形性质的直接运用，牢记性质就能快速得出结果，计算量小。
【难度系数】
0.8
8.如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,OC,IA.若∠CAI=35°,则∠BOC的度数为
140
°.答案
8.140
解析
【分析】
首先回忆三角形内心的定义与性质：内心是三角形内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，结合已知∠CAI=35°即可求出∠BAC的度数；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，代入∠BAC的度数即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC和∠BAC都是弧BC所对的角，
∴根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
【答案】
140
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握三角形内心、外心的相关性质以及圆周角定理，先通过角平分线的性质得到圆周角的度数，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形内心的定义与性质：内心是三角形内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC，结合已知∠CAI=35°即可求出∠BAC的度数；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，代入∠BAC的度数即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，∠BOC和∠BAC都是弧BC所对的角，
∴根据圆周角定理可得∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
【答案】
140
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是熟练掌握三角形内心、外心的相关性质以及圆周角定理，先通过角平分线的性质得到圆周角的度数，再利用圆周角与圆心角的数量关系求解即可。
【难度系数】
0.8
9.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$\odot O$的切线$DE$与$AB$，$AC$分别交于点$D$，$E$，若$△ ABC$的周长为7，$△ ADE$的周长为3，则$BC$边的长为
2
。答案
9.2
解析
【分析】
解题时首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先对△ADE的周长做等量转化：把DE拆为两段切线长，替换后可得出△ADE的周长等于2倍的点A到内切圆的切线长；再对△ABC的周长拆分，将AB、AC上的线段按切点拆分后，可发现△ABC的周长等于△ADE的周长与2倍BC长的和，代入已知的两个周长数值就能求出BC的长度。
【解析】
设$\odot O$与AB边切于点M，与BC边切于点P，与AC边切于点N，DE与$\odot O$切于点Q。
根据切线长定理可得：
$BM=BP$，$CN=CP$，$DM=DQ$，$EN=EQ$，$AM=AN$。
先计算$△ ADE$的周长：
$C_{△ ADE}=AD+DE+AE=AD+DQ+QE+AE$，
将$DQ=DM$、$QE=EN$代入得：
$C_{△ ADE}=AD+DM+EN+AE=AM+AN=2AM$，
已知$C_{△ ADE}=3$，因此$2AM=3$。
再计算$△ ABC$的周长：
$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=(AM+BM)+(AN+CN)+BC$，
代入$AM+AN=3$、$BM=BP$、$CN=CP$得：
$C_{△ ABC}=3 + (BP+CP) + BC = 3 + BC + BC = 3+2BC$，
已知$C_{△ ABC}=7$，列方程：
$3+2BC=7$，
解得$BC=2$。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题重点考查切线长定理的实际应用，核心解题技巧是利用切线长相等对三角形周长做等量代换，消去未知线段，建立待求边长BC和已知周长的关系，掌握切线长定理就能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
解题时首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先对△ADE的周长做等量转化：把DE拆为两段切线长，替换后可得出△ADE的周长等于2倍的点A到内切圆的切线长；再对△ABC的周长拆分，将AB、AC上的线段按切点拆分后，可发现△ABC的周长等于△ADE的周长与2倍BC长的和，代入已知的两个周长数值就能求出BC的长度。
【解析】
设$\odot O$与AB边切于点M，与BC边切于点P，与AC边切于点N，DE与$\odot O$切于点Q。
根据切线长定理可得：
$BM=BP$，$CN=CP$，$DM=DQ$，$EN=EQ$，$AM=AN$。
先计算$△ ADE$的周长：
$C_{△ ADE}=AD+DE+AE=AD+DQ+QE+AE$，
将$DQ=DM$、$QE=EN$代入得：
$C_{△ ADE}=AD+DM+EN+AE=AM+AN=2AM$，
已知$C_{△ ADE}=3$，因此$2AM=3$。
再计算$△ ABC$的周长：
$C_{△ ABC}=AB+AC+BC=(AM+BM)+(AN+CN)+BC$，
代入$AM+AN=3$、$BM=BP$、$CN=CP$得：
$C_{△ ABC}=3 + (BP+CP) + BC = 3 + BC + BC = 3+2BC$，
已知$C_{△ ABC}=7$，列方程：
$3+2BC=7$，
解得$BC=2$。
【答案】
2
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题重点考查切线长定理的实际应用，核心解题技巧是利用切线长相等对三角形周长做等量代换，消去未知线段，建立待求边长BC和已知周长的关系，掌握切线长定理就能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
10.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB$为$\odot O$的直径，点$E$为$△ ABC$的内心，$AE$的延长线交$\odot O$于点$D$，连接$BD$.若$AB=5$，$BE=\sqrt{10}$，则$AD$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
10.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. AB是直径，可推出∠ADB=90°，得到直角三角形ADB；2. 点E是内心，可得AE、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线；3. 结合圆周角性质和三角形外角性质，推导得出∠DBE=∠DEB，即BD=DE，可知△BDE是等腰直角三角形，用BE的长度求出BD，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵E为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，即∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE。
∵∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠CBD，故∠BAD=∠CBD。
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE，
又
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，
∴∠DEB=∠DBE，即BD=DE。
在Rt△BDE中，BD=DE，BE=√10，由勾股定理得：
$BD^2+DE^2=BE^2$，即$2BD^2=10$，
解得$BD=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
在Rt△ADB中，AB=5，BD=√5，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$，
∴$AD^2=5^2 - (\sqrt{5})^2=25-5=20$，
∴$AD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的综合题，解题的核心是通过角的等量关系推导出BD=DE，进而求出BD的长度，再用勾股定理求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：1. AB是直径，可推出∠ADB=90°，得到直角三角形ADB；2. 点E是内心，可得AE、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线；3. 结合圆周角性质和三角形外角性质，推导得出∠DBE=∠DEB，即BD=DE，可知△BDE是等腰直角三角形，用BE的长度求出BD，最后在Rt△ADB中用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵E为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，即∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE。
∵∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠CBD，故∠BAD=∠CBD。
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE，
又
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，
∴∠DEB=∠DBE，即BD=DE。
在Rt△BDE中，BD=DE，BE=√10，由勾股定理得：
$BD^2+DE^2=BE^2$，即$2BD^2=10$，
解得$BD=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
在Rt△ADB中，AB=5，BD=√5，由勾股定理得：
$AD^2+BD^2=AB^2$，
∴$AD^2=5^2 - (\sqrt{5})^2=25-5=20$，
∴$AD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的综合题，解题的核心是通过角的等量关系推导出BD=DE，进而求出BD的长度，再用勾股定理求解，对知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11.(2025,攀枝花,22)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，$∠ DOE=120°$，$∠ EOF=150°$。
(1)求$△ ABC$的三个内角的大小；
(2)设$\odot O$的直径为$d$，求证：$d=AB+AC-BC$。
(1)求$△ ABC$的三个内角的大小；
(2)设$\odot O$的直径为$d$，求证：$d=AB+AC-BC$。
答案
11.(1)【解】$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,
$\therefore AB⊥ OD,BC⊥ OE,CA⊥ OF.$
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°.$
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°,$
$\therefore ∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°,$
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°.$
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°.$
(2)【证明】$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,
$\therefore AD=AF,BD=BE,CE=CF.$
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC.$
$\therefore AD+AF=AB+AC-BD-CF=AB+AC-BC,$
即 $2AF=AB+AC-BC.$
$\because ∠ ODA=∠ OFA=∠ A=90°,$
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形.
$\therefore OD=AF.$
$\because \odot O$ 的直径为 $d$,OD 为$\odot O$ 的半径,
$\therefore d=2OD=2AF=AB+AC-BC.$
$\therefore AB⊥ OD,BC⊥ OE,CA⊥ OF.$
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°.$
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°,$
$\therefore ∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°,$
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°.$
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°.$
(2)【证明】$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,
$\therefore AD=AF,BD=BE,CE=CF.$
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC.$
$\therefore AD+AF=AB+AC-BD-CF=AB+AC-BC,$
即 $2AF=AB+AC-BC.$
$\because ∠ ODA=∠ OFA=∠ A=90°,$
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形.
$\therefore OD=AF.$
$\because \odot O$ 的直径为 $d$,OD 为$\odot O$ 的半径,
$\therefore d=2OD=2AF=AB+AC-BC.$
解析
【分析】
(1) 求△ABC的内角时，首先利用三角形内切圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，因此四边形ODBE、OECF中各有两个直角，结合已知的圆心角度数，利用四边形内角和为360°即可求出∠B和∠C，再根据三角形内角和为180°即可求出∠A。
(2) 证明线段关系时，先利用切线长定理得到三组相等的切线段，对AB+AC-BC做线段转化，可推出AB+AC-BC=2AF；再结合第一问求出的∠A=90°，和两个直角∠ODA、∠OFA，可证四边形ADOF是矩形，得到AF与半径OD的等量关系，结合直径与半径的关系即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
$\therefore AB⊥ OD,BC⊥ OE,CA⊥ OF$，
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$。
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°,$
$\therefore ∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°,$
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°,$
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-30°=90°$。
(2) 证明：$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
$\therefore AD=AF,BD=BE,CE=CF$，
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$，
$\therefore AD+AF=AB+AC-BD-CF=AB+AC-BC$，
即 $2AF=AB+AC-BC$。
$\because ∠ ODA=∠ OFA=∠ A=90°,$
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形，
$\therefore OD=AF$。
$\because \odot O$ 的直径为 $d$，OD 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore d=2OD=2AF=AB+AC-BC$，原式得证。
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) $d=AB+AC-BC$，证明成立。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，矩形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础常考题，考查了内切圆相关性质定理的应用，解题的关键是熟练掌握切线的性质、切线长定理，结合多边形内角和完成角度与线段的转化。
【难度系数】
0.7
(1) 求△ABC的内角时，首先利用三角形内切圆的切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，因此四边形ODBE、OECF中各有两个直角，结合已知的圆心角度数，利用四边形内角和为360°即可求出∠B和∠C，再根据三角形内角和为180°即可求出∠A。
(2) 证明线段关系时，先利用切线长定理得到三组相等的切线段，对AB+AC-BC做线段转化，可推出AB+AC-BC=2AF；再结合第一问求出的∠A=90°，和两个直角∠ODA、∠OFA，可证四边形ADOF是矩形，得到AF与半径OD的等量关系，结合直径与半径的关系即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
$\therefore AB⊥ OD,BC⊥ OE,CA⊥ OF$，
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$。
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°,$
$\therefore ∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°,$
$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°,$
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-30°=90°$。
(2) 证明：$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
$\therefore AD=AF,BD=BE,CE=CF$，
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$，
$\therefore AD+AF=AB+AC-BD-CF=AB+AC-BC$，
即 $2AF=AB+AC-BC$。
$\because ∠ ODA=∠ OFA=∠ A=90°,$
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形，
$\therefore OD=AF$。
$\because \odot O$ 的直径为 $d$，OD 为$\odot O$ 的半径，
$\therefore d=2OD=2AF=AB+AC-BC$，原式得证。
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) $d=AB+AC-BC$，证明成立。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，矩形的判定
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础常考题，考查了内切圆相关性质定理的应用，解题的关键是熟练掌握切线的性质、切线长定理，结合多边形内角和完成角度与线段的转化。
【难度系数】
0.7
