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1.如图，$\odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆，则点 O 是$△ ABC$ 的(
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
).A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目考查三角形内切圆圆心（即内心）的性质：第一步回忆三角形内切圆的定义，内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离都等于内切圆半径；第二步结合角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由此可推导出该圆心同时在三角形三个内角的角平分线上，最后对应选项判断即可。
【解析】
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆
∴点$O$到$△ ABC$三条边的距离相等，都等于$\odot O$的半径
根据角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在该角的角平分线上，可知点$O$在$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的角平分线上，即点$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点。
对选项逐一分析：
A选项：三条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心（外心），不符合要求；
B选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，符合要求；
C选项：三条中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
D选项：三条高的交点是三角形的垂心，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义，角平分线的判定，三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形内心、外心、重心、垂心的定义和性质，熟记各类特殊点对应的特征即可快速解题，是三角形与圆结合部分的基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目考查三角形内切圆圆心（即内心）的性质：第一步回忆三角形内切圆的定义，内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离都等于内切圆半径；第二步结合角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，由此可推导出该圆心同时在三角形三个内角的角平分线上，最后对应选项判断即可。
【解析】
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心。
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆
∴点$O$到$△ ABC$三条边的距离相等，都等于$\odot O$的半径
根据角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在该角的角平分线上，可知点$O$在$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的角平分线上，即点$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点。
对选项逐一分析：
A选项：三条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心（外心），不符合要求；
B选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆圆心，符合要求；
C选项：三条中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
D选项：三条高的交点是三角形的垂心，不符合要求。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义，角平分线的判定，三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形内心、外心、重心、垂心的定义和性质，熟记各类特殊点对应的特征即可快速解题，是三角形与圆结合部分的基础考点。
【难度系数】
0.9
2.如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别切$AB$，$BC$，$AC$于点$D$，$E$，$F$，$∠ B=42°$，$P$是$\overset{\frown}{EF}$上一点，则$∠ DPE$的度数是(
A.$42°$
B.$48°$
C.$58°$
D.$69°$
D
).A.$42°$
B.$48°$
C.$58°$
D.$69°$
答案
2.D
解析
【分析】
要求∠DPE的度数，我们可以按以下思路推导：1. 连接圆心O与切点D、E，根据切线性质可知切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥AB、OE⊥BC，得到两个直角；2. 在四边形ODBE中，利用四边形内角和为360°，结合已知∠B=42°，可求出圆心角∠DOE的度数；3. ∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DPE的度数。
【解析】
连接OD、OE。
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，即∠ODB=∠OEB=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，已知∠B=42°，
∴ ∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 42° = 138°。
∵ ∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠DPE = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×138° = 69°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆的基础考题，核心是通过连接切点与圆心构造辅助线，结合切线性质和圆周角定理求解，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
要求∠DPE的度数，我们可以按以下思路推导：1. 连接圆心O与切点D、E，根据切线性质可知切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥AB、OE⊥BC，得到两个直角；2. 在四边形ODBE中，利用四边形内角和为360°，结合已知∠B=42°，可求出圆心角∠DOE的度数；3. ∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠DPE的度数。
【解析】
连接OD、OE。
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是AB、BC边上的切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，即∠ODB=∠OEB=90°。
在四边形ODBE中，内角和为360°，已知∠B=42°，
∴ ∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 42° = 138°。
∵ ∠DPE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠DPE = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×138° = 69°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆的基础考题，核心是通过连接切点与圆心构造辅助线，结合切线性质和圆周角定理求解，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
3.《九章算术》中记载:“今有勾八步,股一十五步.问勾中容圆径几何?”译文:今有一个直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形内切圆的直径是多少?书中给出的算法译文如下:如图,根据勾、股,求得弦长.用勾、股、弦相加作为除数,用勾乘股,再乘2作为被除数,商即为该直角三角形内切圆的直径,求得该直径等于
(
A.3步
B.4步
C.5步
D.6步
(
D
)(注:“步”为长度单位).A.3步
B.4步
C.5步
D.6步
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，直角三角形的三边满足勾股定理，我们先通过已知的勾、股长度求出斜边（弦）的长度；接下来既可以直接使用题干给出的算法计算内切圆直径，也可以用直角三角形内切圆半径的计算公式求解，最终得到直径长度后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 利用勾股定理计算弦长：
弦长 = $\sqrt{勾^2 + 股^2}$ = $\sqrt{8^2 + 15^2}$ = $\sqrt{64+225}$ = $\sqrt{289}$ = 17（步）
2. 按照题干给出的算法计算内切圆直径：
除数为勾、股、弦的和：$8+15+17=40$
被除数为勾×股×2：$8×15×2=240$
内切圆直径 = 被除数÷除数 = $240÷40=6$（步）
也可通过直角三角形内切圆半径公式验证：$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{8+15-17}{2}=3$步，直径为$2r=6$步，结果一致。
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形内切圆计算
【点评】本题结合我国古代数学典籍内容命题，既考查了勾股定理的基础应用，也考查了直角三角形内切圆的相关计算，解题时既可以直接使用题干给出的算法，也可以用所学的内切圆性质求解，难度较低。
【难度系数】0.8
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，直角三角形的三边满足勾股定理，我们先通过已知的勾、股长度求出斜边（弦）的长度；接下来既可以直接使用题干给出的算法计算内切圆直径，也可以用直角三角形内切圆半径的计算公式求解，最终得到直径长度后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 利用勾股定理计算弦长：
弦长 = $\sqrt{勾^2 + 股^2}$ = $\sqrt{8^2 + 15^2}$ = $\sqrt{64+225}$ = $\sqrt{289}$ = 17（步）
2. 按照题干给出的算法计算内切圆直径：
除数为勾、股、弦的和：$8+15+17=40$
被除数为勾×股×2：$8×15×2=240$
内切圆直径 = 被除数÷除数 = $240÷40=6$（步）
也可通过直角三角形内切圆半径公式验证：$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{8+15-17}{2}=3$步，直径为$2r=6$步，结果一致。
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形内切圆计算
【点评】本题结合我国古代数学典籍内容命题，既考查了勾股定理的基础应用，也考查了直角三角形内切圆的相关计算，解题时既可以直接使用题干给出的算法，也可以用所学的内切圆性质求解，难度较低。
【难度系数】0.8
