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活动一:想一想 议一议
如图1-17,舞台背景中有两个直角三角形装饰板,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但因每个三角形都有一条直角边被舞台灯具遮住无法测量,你有什么办法吗？
图1-17
如图1-17,舞台背景中有两个直角三角形装饰板,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但因每个三角形都有一条直角边被舞台灯具遮住无法测量,你有什么办法吗？
图1-17
答案
解：
可按如下方法判断两个直角三角形是否全等：
分别测量两个直角三角形未被灯具遮挡的直角边的长度，以及两个直角三角形斜边的长度。
若两个直角三角形对应的未被遮挡的直角边长度相等，且对应的斜边长度也相等，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL），即可判定这两个直角三角形全等；若上述两组对应边长度不全相等，则两个直角三角形不全等。
答：通过测量两个直角三角形未被遮挡的直角边和斜边的长度，验证是否满足HL全等条件，即可判断这两个直角三角形是否全等。
可按如下方法判断两个直角三角形是否全等：
分别测量两个直角三角形未被灯具遮挡的直角边的长度，以及两个直角三角形斜边的长度。
若两个直角三角形对应的未被遮挡的直角边长度相等，且对应的斜边长度也相等，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL），即可判定这两个直角三角形全等；若上述两组对应边长度不全相等，则两个直角三角形不全等。
答：通过测量两个直角三角形未被遮挡的直角边和斜边的长度，验证是否满足HL全等条件，即可判断这两个直角三角形是否全等。
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否全等，首先明确二者均为直角三角形，天然具备直角对应相等的条件。已知每个三角形各有一条直角边被遮挡无法测量，无法使用需要两条直角边的全等判定方法，此时可联想到直角三角形特有的全等判定定理HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。两个三角形的斜边和未被遮挡的直角边都可以直接测量，因此只需测量这两组边的长度，对应比较后即可用HL定理判定是否全等。
【解析】
解：判断方法如下：
1. 分别测量两个直角三角形未被遮挡的直角边的长度，以及两个直角三角形斜边的长度；
2. 对应比较测量得到的边长：若两个直角三角形对应的未被遮挡的直角边长度相等，且对应的斜边长度也相等，根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，即可判定这两个直角三角形全等；若上述两组对应边长度不全相等，则两个直角三角形不全等。
【答案】
通过测量两个直角三角形未被遮挡的直角边和斜边的长度，验证是否满足HL全等条件，即可判断这两个直角三角形是否全等。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查直角三角形全等的判定，需要结合实际可测量的条件灵活选择合适的判定定理，能锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要判断两个直角三角形是否全等，首先明确二者均为直角三角形，天然具备直角对应相等的条件。已知每个三角形各有一条直角边被遮挡无法测量，无法使用需要两条直角边的全等判定方法，此时可联想到直角三角形特有的全等判定定理HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。两个三角形的斜边和未被遮挡的直角边都可以直接测量，因此只需测量这两组边的长度，对应比较后即可用HL定理判定是否全等。
【解析】
解：判断方法如下：
1. 分别测量两个直角三角形未被遮挡的直角边的长度，以及两个直角三角形斜边的长度；
2. 对应比较测量得到的边长：若两个直角三角形对应的未被遮挡的直角边长度相等，且对应的斜边长度也相等，根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，即可判定这两个直角三角形全等；若上述两组对应边长度不全相等，则两个直角三角形不全等。
【答案】
通过测量两个直角三角形未被遮挡的直角边和斜边的长度，验证是否满足HL全等条件，即可判断这两个直角三角形是否全等。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查直角三角形全等的判定，需要结合实际可测量的条件灵活选择合适的判定定理，能锻炼运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
活动二:想一想 画一画
1. 直角三角形是特殊的三角形，有没有特殊的方法可以判定两个直角三角形全等呢？
2. 完成课本第28页的作图。
图 形
将你画的这个直角三角形与其他同学所画的直角三角形进行比较，你发现了什么？
1. 直角三角形是特殊的三角形，有没有特殊的方法可以判定两个直角三角形全等呢？
2. 完成课本第28页的作图。
图 形
将你画的这个直角三角形与其他同学所画的直角三角形进行比较，你发现了什么？
答案
解：
1. 存在判定两个直角三角形全等的特殊方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，该判定方法可简记为“斜边、直角边”或“HL”。
2. 作图步骤：
① 作∠MCN=90°；
② 在射线CM上截取CB，使CB的长度等于给定的直角边长；
③ 以点B为圆心，给定的斜边长为半径画弧，交射线CN于点A；
④ 连接AB，所得的Rt△ABC即为所求作的直角三角形。
将画出的直角三角形与其他同学按相同条件画出的直角三角形比较，可发现：所有满足相同斜边、直角边长度条件画出的直角三角形都能够完全重合，即这些直角三角形彼此全等。
1. 存在判定两个直角三角形全等的特殊方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，该判定方法可简记为“斜边、直角边”或“HL”。
2. 作图步骤：
① 作∠MCN=90°；
② 在射线CM上截取CB，使CB的长度等于给定的直角边长；
③ 以点B为圆心，给定的斜边长为半径画弧，交射线CN于点A；
④ 连接AB，所得的Rt△ABC即为所求作的直角三角形。
将画出的直角三角形与其他同学按相同条件画出的直角三角形比较，可发现：所有满足相同斜边、直角边长度条件画出的直角三角形都能够完全重合，即这些直角三角形彼此全等。
解析
【分析】
解决第1问时，可先回顾一般三角形全等的判定条件，结合直角三角形有一个直角相等的特殊性，可推导其存在更简便的全等判定方式，再结合第2问的作图探究即可得到结论。第2问作图时，先构造直角确定一个顶点和两条边的方向，再截取已知长度的直角边确定第二个顶点，最后以该顶点为圆心、斜边长为半径画弧，与另一条直角边的交点就是第三个顶点，连接后得到所求三角形；将同条件下作出的三角形进行对比，观察是否能完全重合即可得到结论。
【解析】
1. 直角三角形有特殊的全等判定方法，因为直角三角形已经具备直角相等的固定条件，当斜边和一条直角边对应相等时，就可以判定两个直角三角形全等。
2. 作图时先确定直角，再固定其中一条直角边的长度，最后通过斜边的长度确定第三个顶点的位置，就能得到符合要求的直角三角形；将自己和同学按照相同条件画出的直角三角形叠放，可发现所有三角形都能完全重合。
【答案】
1. 存在判定两个直角三角形全等的特殊方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，该判定方法可简记为“斜边、直角边”或“HL”。
2. 作图步骤：
① 作∠MCN=90°；
② 在射线CM上截取CB，使CB的长度等于给定的直角边长；
③ 以点B为圆心，给定的斜边长为半径画弧，交射线CN于点A；
④ 连接AB，所得的Rt△ABC即为所求作的直角三角形。
将画出的直角三角形与其他同学按相同条件画出的直角三角形比较，可发现：所有满足相同斜边、直角边长度条件画出的直角三角形都能够完全重合，即这些直角三角形彼此全等。
【知识点】
HL判定定理、尺规作图、全等图形概念
【点评】
本题通过探究式问题和动手操作的形式，引导理解直角三角形全等的特殊判定方法，既考察了对HL判定定理的掌握，也锻炼了尺规作图的实操能力，要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
解决第1问时，可先回顾一般三角形全等的判定条件，结合直角三角形有一个直角相等的特殊性，可推导其存在更简便的全等判定方式，再结合第2问的作图探究即可得到结论。第2问作图时，先构造直角确定一个顶点和两条边的方向，再截取已知长度的直角边确定第二个顶点，最后以该顶点为圆心、斜边长为半径画弧，与另一条直角边的交点就是第三个顶点，连接后得到所求三角形；将同条件下作出的三角形进行对比，观察是否能完全重合即可得到结论。
【解析】
1. 直角三角形有特殊的全等判定方法，因为直角三角形已经具备直角相等的固定条件，当斜边和一条直角边对应相等时，就可以判定两个直角三角形全等。
2. 作图时先确定直角，再固定其中一条直角边的长度，最后通过斜边的长度确定第三个顶点的位置，就能得到符合要求的直角三角形；将自己和同学按照相同条件画出的直角三角形叠放，可发现所有三角形都能完全重合。
【答案】
1. 存在判定两个直角三角形全等的特殊方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，该判定方法可简记为“斜边、直角边”或“HL”。
2. 作图步骤：
① 作∠MCN=90°；
② 在射线CM上截取CB，使CB的长度等于给定的直角边长；
③ 以点B为圆心，给定的斜边长为半径画弧，交射线CN于点A；
④ 连接AB，所得的Rt△ABC即为所求作的直角三角形。
将画出的直角三角形与其他同学按相同条件画出的直角三角形比较，可发现：所有满足相同斜边、直角边长度条件画出的直角三角形都能够完全重合，即这些直角三角形彼此全等。
【知识点】
HL判定定理、尺规作图、全等图形概念
【点评】
本题通过探究式问题和动手操作的形式，引导理解直角三角形全等的特殊判定方法，既考察了对HL判定定理的掌握，也锻炼了尺规作图的实操能力，要注意HL仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
活动三:试一试 做一做
如图1-18，准备一张等腰三角形纸片$ABC(AB=AC)$，将它沿底边上的高$AD$对折，高$AD$两侧的部分能否完全重合？为什么？
图1-18
如图1-18，准备一张等腰三角形纸片$ABC(AB=AC)$，将它沿底边上的高$AD$对折，高$AD$两侧的部分能否完全重合？为什么？
图1-18
答案
重合. 提示:证$△ ABD≌△ ACD$
解析
【分析】
要判断高AD两侧的部分对折后能否完全重合，本质是判断被AD分开的△ABD和△ACD是否全等，全等的两个图形沿公共边对折后可完全重合。我们可以结合已知条件找全等的依据：已知△ABC是等腰三角形，可得AB=AC，AD是底边上的高，说明△ABD和△ACD都是直角三角形，再结合公共边AD即可证明两个三角形全等，进而得到结论。
【解析】
能完全重合，理由如下：
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD都是直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad (\mathrm{等腰三角形两腰相等})\\ AD=AD\quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
全等的两个三角形沿AD对折后能够完全重合，因此高AD两侧的部分能完全重合。
【答案】
能完全重合，可通过证明△ABD≌△ACD得到结论。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题结合折叠场景考查全等三角形的相关应用，解题核心是明确“折叠后图形重合的本质是对应三角形全等”，熟练掌握直角三角形全等的判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断高AD两侧的部分对折后能否完全重合，本质是判断被AD分开的△ABD和△ACD是否全等，全等的两个图形沿公共边对折后可完全重合。我们可以结合已知条件找全等的依据：已知△ABC是等腰三角形，可得AB=AC，AD是底边上的高，说明△ABD和△ACD都是直角三角形，再结合公共边AD即可证明两个三角形全等，进而得到结论。
【解析】
能完全重合，理由如下：
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD和△ACD都是直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\quad (\mathrm{等腰三角形两腰相等})\\ AD=AD\quad (\mathrm{公共边})\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
全等的两个三角形沿AD对折后能够完全重合，因此高AD两侧的部分能完全重合。
【答案】
能完全重合，可通过证明△ABD≌△ACD得到结论。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题结合折叠场景考查全等三角形的相关应用，解题核心是明确“折叠后图形重合的本质是对应三角形全等”，熟练掌握直角三角形全等的判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
