2. 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$D$是$BC$的中点,$DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,垂足分别为$E$,$F$,图中的全等三角形共有（）

A.5对
B.4对
C.3对
D.2对

2.A

【分析】
解题时先梳理已知条件：AD⊥BC且D为BC中点，可得AD是等腰△ABC的顶角平分线、底边上的中线和高。我们按照从整体到局部、从大三角形到小三角形的顺序逐一排查全等三角形，每找到一对就验证全等判定条件，避免漏数或重复计数。首先找最大的两个三角形，再找两侧的小直角三角形，最后看线段EF与AD相交形成的更小的三角形即可。
【解析】
我们逐一证明全等三角形：
1. 证明$\boldsymbol{△ ABD ≌ △ ACD}$：
∵$AD ⊥ BC$，
∴$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∵D是BC中点，
∴$BD=CD$，
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases} AD=AD(\mathrm{公共边}) \\ ∠ ADB=∠ ADC \\ BD=CD \end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$，可得$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$，$AB=AC$。
2. 证明$\boldsymbol{△ BDE ≌ △ CDF}$：
∵$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴$∠ BED=∠ CFD=90°$，
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases} ∠ BED=∠ CFD \\ ∠ B=∠ C \\ BD=CD \end{cases}$
∴$△ BDE ≌ △ CDF(\mathrm{AAS})$，可得$BE=CF$，$DE=DF$。
3. 证明$\boldsymbol{△ ADE ≌ △ ADF}$：
∵$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴$∠ AED=∠ AFD=90°$，
在$△ ADE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases} ∠ AED=∠ AFD \\ ∠ EAD=∠ FAD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ ADF(\mathrm{AAS})$，可得$AE=AF$。
设EF与AD交于点G：
4. 证明$\boldsymbol{△ AEG ≌ △ AFG}$：
在$△ AEG$和$△ AFG$中：
$\begin{cases} AE=AF \\ ∠ EAG=∠ FAG \\ AG=AG \end{cases}$
∴$△ AEG ≌ △ AFG(\mathrm{SAS})$，可得$EG=FG$。
5. 证明$\boldsymbol{△ EDG ≌ △ FDG}$：
在$△ EDG$和$△ FDG$中：
$\begin{cases} DE=DF \\ DG=DG(\mathrm{公共边}) \\ EG=FG \end{cases}$
∴$△ EDG ≌ △ FDG(\mathrm{SSS})$。
综上，全等三角形共有5对。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的性质；垂直的定义
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定，需要学生按照有序的思路查找全等三角形，避免漏数，同时要熟练运用全等判定定理结合等腰三角形三线合一的性质解题，对学生的逻辑观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. 已知:如图,点D在AB上,点E在AC上,∠B=∠C,BE与CD相交于点O,AB=AC.
求证:△DOB≌△EOC.

提示:由“ASA”，得△ABE≌△ACD，从而得到AD=AE，所以AB-AD=AC-AE，即DB=EC. 再由“AAS”，得△DOB≌△EOC

【分析】
要证明△DOB≌△EOC，已知∠B=∠C，且对顶角∠DOB=∠EOC，还缺少一组对应边相等的条件。结合已知AB=AC、∠A是△ABE和△ACD的公共角，可先通过ASA证明△ABE≌△ACD，得到AD=AE，再利用线段和差关系推出DB=EC，即可满足AAS的全等判定条件，完成证明。
【解析】
证明：
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A\quad (\mathrm{公共角相等}) \\AB=AC\quad (\mathrm{已知}) \\∠ B=∠ C\quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ ACD\ (\mathrm{ASA})$
$\therefore AD=AE\ (\mathrm{全等三角形对应边相等})$
又$\because AB=AC$
$\therefore AB-AD=AC-AE$，即$DB=EC$
在$△ DOB$和$△ EOC$中：
$\begin{cases}∠ DOB=∠ EOC\quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ B=∠ C\quad (\mathrm{已知}) \\DB=EC\quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore△ DOB≌△ EOC\ (\mathrm{AAS})$
【答案】
证明过程如上，可证得$△ DOB≌△ EOC$。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，需要先证明一组三角形全等，得到目标三角形全等所需的边相等条件，解题时要注意挖掘公共角、对顶角这类隐含条件，锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

4. 图①是乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，此时秋千绳索与地面垂直. 如图②，秋千的转轴O到地面的距离OA＝3 m，点C是乐乐在荡秋千的过程中摆动到达的最高处，过点C作CE⊥OA，垂足为E，此时点C到OA的距离CE＝2 m. 当乐乐从C处摆到B处时，恰好BO⊥CO，过点B作BD⊥OA，垂足为D.

（1）请你直接判断OB与OC是否相等？
（2）求证：∠BOD＝∠OCE.
（3）求OD的长.

4.（1）
∵ OB与OC表示相同的秋千绳，
∴ OB=OC （2）
∵ CE⊥OA，BO⊥CO，BD⊥OA，垂足分别为E,O,D,
∴ ∠BDO=∠OEC=∠BOC=90°,
∵ ∠BOD+∠COE=90°,∠OCE+∠COE=90°,
∴ ∠BOD=∠OCE （3）在△BOD和△OCE中，
$\begin{cases}∠BOD=∠OCE,\\∠BDO=∠OEC,\\OB=OC,\end{cases}$
∴ △BOD≌△OCE(AAS).
∴ OD=CE=2 m.
∴ OD的长为2 m

【分析】
（1）思考第一问时，明确OB和OC均为秋千的绳索，属于同一根绳索摆动得到的，长度自然相同，可直接判断相等；
（2）思考第二问时，先从已知的垂直条件推导得到多个直角，要证∠BOD=∠OCE，可利用同角的余角相等的性质：两个角都与∠COE互余，即可推出两角相等；
（3）思考第三问时，要求OD的长度，可观察OD所在的△BOD与已知长度的线段CE所在的△OCE的关系，结合已证的一组角相等、两组直角相等，加上第一问得到的OB=OC，可用AAS判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，得到OD=CE，代入CE的长度即可得到结果。
【解析】
（1）解：
∵ OB与OC是同一秋千的绳索，长度相等，
∴ OB=OC。
（2）证明：
∵ CE⊥OA，BO⊥CO，BD⊥OA，垂足分别为E、O、D，
∴ ∠BDO=∠OEC=∠BOC=90°，
∴ ∠BOD + ∠COE = 90°，∠OCE + ∠COE = 90°，
∴ ∠BOD=∠OCE。
（3）解：在△BOD和△OCE中，
$\begin{cases}∠BOD=∠OCE \\∠BDO=∠OEC \\OB=OC\end{cases}$
∴ △BOD≌△OCE（AAS），
∴ OD=CE，
∵ CE=2 m，
∴ OD=2 m。
【答案】
（1）OB=OC；（2）∠BOD=∠OCE，证明成立；（3）OD的长为2 m
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中荡秋千的场景出题，将实际问题转化为几何问题，解题关键是利用垂直关系得到相等的角，再结合边相等证明三角形全等，进而求出对应线段的长度，能锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8

如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,且$AB＞BC$.点$D$在边$BC$上,点$E,F$在线段$AD$上.$∠ 1$,$∠ 2$分别是$△ ABE$,$△ CAF$的外角,且$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$.
(1) 求证:$△ ABE≌△ CAF$.
(2) 若$CD=2BD$,$△ ABC$的面积为$12$,则$△ ABE$与$△ CDF$的面积之和为.

(1) 因为∠1=∠2，所以∠BEA=∠AFC. 又因为∠1=∠ABE+∠BAE，∠BAE+∠CAF=∠BAC，∠1=∠BAC，所以∠CAF=∠ABE. 又因为AB=AC，所以可得△ABE≌△CAF (2) 8

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CAF，已知AB=AC，需先推导两组对应角相等：首先由∠1=∠2可得它们的邻补角∠AEB=∠AFC；再结合三角形外角性质和已知∠1=∠BAC，推导得出∠ABE=∠CAF，即可用AAS判定全等。
(2) 先根据CD=2BD，结合同高三角形的面积比等于底的比，求出△ACD的面积；再利用全等三角形面积相等的性质，将△ABE的面积替换为△CAF的面积，可得所求面积和等于△ACD的面积，即可得结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ 180°-∠1=180°-∠2，即∠AEB=∠CFA。
∵ ∠1是△ABE的外角，
∴ ∠1=∠ABE+∠BAE。
又
∵ ∠BAC=∠BAE+∠CAF，且已知∠1=∠BAC，
∴ ∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF，
∴ ∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFA \\∠ABE=∠CAF \\AB=AC\end{array} $
∴ △ABE≌△CAF（AAS）。
(2) 解：
∵ CD=2BD，
∴ BD:CD=1:2。
△ABD和△ACD共享从A到BC的高，面积比等于底的比BD:CD=1:2，
∵ $S_{△ABC}=12$，
∴ $S_{△ACD}=12×\frac{2}{1+2}=8$。
由(1)知△ABE≌△CAF，
∴ $S_{△ABE}=S_{△CAF}$，
∴ $S_{△ABE}+S_{△CDF}=S_{△CAF}+S_{△CDF}=S_{△ACD}=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形的综合题，第一问侧重考查全等判定的角的推导，需要熟练运用外角性质转化角的关系；第二问的核心是利用全等的面积相等进行等量转化，结合同高三角形的面积规律快速求解，是全等章节的典型题型。
【难度系数】
0.7