登录
活动一:试一试 议一议
在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ B=∠ E$，$∠ C=∠ F$，添加一个条件________，可使$△ ABC≌△ DEF$。说一说你所选用的判定方法。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ B=∠ E$，$∠ C=∠ F$，添加一个条件________，可使$△ ABC≌△ DEF$。说一说你所选用的判定方法。
答案
BC=EF或AB=DE或AC=DF(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆全等三角形的判定定理，本题已知△ABC和△DEF有两个角对应相等（∠B=∠E，∠C=∠F），此时适用的全等判定为ASA（两角及其夹边对应相等）和AAS（两角及其中一角的对边对应相等），因此只需添加一组对应边相等的条件即可证明两三角形全等，可选的对应边包括两角的夹边，或任意一角的对边。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，可任选以下一个条件添加：
1. 添加条件BC=EF：BC是∠B和∠C的夹边，EF是∠E和∠F的夹边，满足“两角及其夹边对应相等”，根据ASA判定定理，可证△ABC≌△DEF。
2. 添加条件AB=DE：AB是∠C的对边，DE是∠F的对边，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，根据AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF。
3. 添加条件AC=DF：AC是∠B的对边，DF是∠E的对边，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，根据AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF。
【答案】
BC=EF或AB=DE或AC=DF(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定、ASA判定、AAS判定
【点评】
本题为开放性基础题，考查对全等三角形判定定理的灵活运用，已知两角对应相等时，只需补充任意一组对应边相等即可判定全等，解题时需注意边的对应关系，避免错写非对应边。
【难度系数】
0.8
首先回忆全等三角形的判定定理，本题已知△ABC和△DEF有两个角对应相等（∠B=∠E，∠C=∠F），此时适用的全等判定为ASA（两角及其夹边对应相等）和AAS（两角及其中一角的对边对应相等），因此只需添加一组对应边相等的条件即可证明两三角形全等，可选的对应边包括两角的夹边，或任意一角的对边。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，可任选以下一个条件添加：
1. 添加条件BC=EF：BC是∠B和∠C的夹边，EF是∠E和∠F的夹边，满足“两角及其夹边对应相等”，根据ASA判定定理，可证△ABC≌△DEF。
2. 添加条件AB=DE：AB是∠C的对边，DE是∠F的对边，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，根据AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF。
3. 添加条件AC=DF：AC是∠B的对边，DF是∠E的对边，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，根据AAS判定定理，可证△ABC≌△DEF。
【答案】
BC=EF或AB=DE或AC=DF(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定、ASA判定、AAS判定
【点评】
本题为开放性基础题，考查对全等三角形判定定理的灵活运用，已知两角对应相等时，只需补充任意一组对应边相等即可判定全等，解题时需注意边的对应关系，避免错写非对应边。
【难度系数】
0.8
活动二:做一做 比一比
如图1-15,AE=AF,∠EAM=∠FAN,AB=AC.求证:△ABE≌△ACF.
你还能证明BN=CM吗?与同学比较所用方法,看看哪种方法更简捷.
图1-15
如图1-15,AE=AF,∠EAM=∠FAN,AB=AC.求证:△ABE≌△ACF.
你还能证明BN=CM吗?与同学比较所用方法,看看哪种方法更简捷.
图1-15
答案
由“SAS”证△ABE≌△ACF，从而得∠E=∠F，再由“ASA”，证△AEM≌△AFN，所以AM=AN. 所以AB-AN=AC-AM，即BN=CM
解析
【分析】
要证明△ABE≌△ACF，已知两组对应边AE=AF、AB=AC，只需证明两边的夹角相等即可。利用已知的∠EAM=∠FAN，两边同时加公共角∠BAC，可得∠EAB=∠FAC，结合已知边用SAS即可完成证明。要证明BN=CM，已知AB=AC，只需证AN=AM即可；可通过证明△AEM≌△AFN得到AM=AN，已有条件AE=AF、∠EAM=∠FAN，结合第一问全等得到的对应角∠E=∠F，用ASA即可证得△AEM≌△AFN，最后通过线段差的关系即可推出BN=CM。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACF：
∵∠EAM=∠FAN（已知）
∴∠EAM + ∠BAC = ∠FAN + ∠BAC，即∠EAB=∠FAC
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF（已知）\\∠EAB=∠FAC（已证）\\AB=AC（已知）\end{array} $
∴△ABE≌△ACF（SAS）
2. 证明BN=CM：
由△ABE≌△ACF，得∠E=∠F（全等三角形对应角相等）
在△AEM和△AFN中：
$\{\begin{array}{l}∠EAM=∠FAN（已知）\\AE=AF（已知）\\∠E=∠F（已证）\end{array} $
∴△AEM≌△AFN（ASA）
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）
又
∵AB=AC（已知）
∴AB - AN = AC - AM，即BN=CM
【答案】
由“SAS”证△ABE≌△ACF，从而得∠E=∠F，再由“ASA”，证△AEM≌△AFN，所以AM=AN. 所以AB-AN=AC-AM，即BN=CM
【知识点】
SAS判定全等，ASA判定全等，全等三角形性质
【点评】
本题属于全等三角形判定与性质的基础综合题，解题时需要梳理清楚已知条件和待证结论的逻辑关联，灵活运用角的和差、线段的和差推导相等关系，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
要证明△ABE≌△ACF，已知两组对应边AE=AF、AB=AC，只需证明两边的夹角相等即可。利用已知的∠EAM=∠FAN，两边同时加公共角∠BAC，可得∠EAB=∠FAC，结合已知边用SAS即可完成证明。要证明BN=CM，已知AB=AC，只需证AN=AM即可；可通过证明△AEM≌△AFN得到AM=AN，已有条件AE=AF、∠EAM=∠FAN，结合第一问全等得到的对应角∠E=∠F，用ASA即可证得△AEM≌△AFN，最后通过线段差的关系即可推出BN=CM。
【解析】
1. 证明△ABE≌△ACF：
∵∠EAM=∠FAN（已知）
∴∠EAM + ∠BAC = ∠FAN + ∠BAC，即∠EAB=∠FAC
在△ABE和△ACF中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF（已知）\\∠EAB=∠FAC（已证）\\AB=AC（已知）\end{array} $
∴△ABE≌△ACF（SAS）
2. 证明BN=CM：
由△ABE≌△ACF，得∠E=∠F（全等三角形对应角相等）
在△AEM和△AFN中：
$\{\begin{array}{l}∠EAM=∠FAN（已知）\\AE=AF（已知）\\∠E=∠F（已证）\end{array} $
∴△AEM≌△AFN（ASA）
∴AM=AN（全等三角形对应边相等）
又
∵AB=AC（已知）
∴AB - AN = AC - AM，即BN=CM
【答案】
由“SAS”证△ABE≌△ACF，从而得∠E=∠F，再由“ASA”，证△AEM≌△AFN，所以AM=AN. 所以AB-AN=AC-AM，即BN=CM
【知识点】
SAS判定全等，ASA判定全等，全等三角形性质
【点评】
本题属于全等三角形判定与性质的基础综合题，解题时需要梳理清楚已知条件和待证结论的逻辑关联，灵活运用角的和差、线段的和差推导相等关系，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
如图1-16，BF=EC，AB=DE，AF=DC. 图中有哪几对全等三角形？任选其中一对说明其全等的理由. 
答案
有3对，△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC，△EFC≌△BCF，证明略
解析
【分析】
解题时先梳理已知的边相等条件：BF=EC、AB=DE、AF=DC。第一步先找直接满足三边对应相等的三角形，可先确定△ABF和△DEC全等；第二步利用线段和差推导新的等线段：由AF=DC可得AF+FC=DC+FC，即AC=DF，再结合其他等边或由已证全等得到的等角、等边，可推出另外两对全等三角形。证明全等时优先选择条件最直接的一对，用对应判定定理证明即可。
【解析】
解：图中有3对全等三角形，分别是$△ ABC≌△ DEF$，$△ ABF≌△ DEC$，$△ EFC≌△ BCF$。
选$△ ABF≌△ DEC$证明，理由如下：
在$△ ABF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}AF=DC（已知）\\AB=DE（已知）\\BF=EC（已知）\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ DEC$（SSS）。
（也可选择其余两对证明，符合判定定理即可）
【答案】
有3对，$△ ABC≌△ DEF$，$△ ABF≌△ DEC$，$△ EFC≌△ BCF$，证明略
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 线段和差性质
3. 公共边的应用
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定，解题时需先从已知的等边入手，先确定最容易证明的全等三角形，再利用已证全等的结论推导新的等量关系，进而找出所有全等三角形，注意不要遗漏含有公共边的全等三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知的边相等条件：BF=EC、AB=DE、AF=DC。第一步先找直接满足三边对应相等的三角形，可先确定△ABF和△DEC全等；第二步利用线段和差推导新的等线段：由AF=DC可得AF+FC=DC+FC，即AC=DF，再结合其他等边或由已证全等得到的等角、等边，可推出另外两对全等三角形。证明全等时优先选择条件最直接的一对，用对应判定定理证明即可。
【解析】
解：图中有3对全等三角形，分别是$△ ABC≌△ DEF$，$△ ABF≌△ DEC$，$△ EFC≌△ BCF$。
选$△ ABF≌△ DEC$证明，理由如下：
在$△ ABF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}AF=DC（已知）\\AB=DE（已知）\\BF=EC（已知）\end{cases}$
∴$△ ABF≌△ DEC$（SSS）。
（也可选择其余两对证明，符合判定定理即可）
【答案】
有3对，$△ ABC≌△ DEF$，$△ ABF≌△ DEC$，$△ EFC≌△ BCF$，证明略
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 线段和差性质
3. 公共边的应用
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定，解题时需先从已知的等边入手，先确定最容易证明的全等三角形，再利用已证全等的结论推导新的等量关系，进而找出所有全等三角形，注意不要遗漏含有公共边的全等三角形。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在甲、乙、丙3个三角形中，与$△ ABC$全等的图形是 （
A.甲和乙
B.乙和丙
C.乙
D.丙
B
）A.甲和乙
B.乙和丙
C.乙
D.丙
答案
1.B
解析
【分析】要判断哪个三角形和△ABC全等，需结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），先明确△ABC的边角条件，再依次对比甲、乙、丙三个三角形的已知边角条件，逐一验证是否符合判定定理即可。首先明确△ABC的参数：∠B=50°，∠C=58°，∠A=72°，边BC=a（对∠A=72°），边AB=c（对∠C=58°），边AC=b（对∠B=50°），其中∠B的两条夹边为a和c。
【解析】
1. 验证甲三角形：甲的已知条件为50°角，邻边为c，对边为a。△ABC中50°角（∠B）的对边是b≠a，不符合全等判定条件，故甲和△ABC不全等。
2. 验证乙三角形：乙的已知条件为50°角，该角的两条夹边分别为c和a。△ABC中∠B=50°，夹边恰好为a和c，满足“SAS”全等判定条件，故乙和△ABC全等。
3. 验证丙三角形：丙的已知条件为两个角50°、72°，且72°角的对边为a。首先根据三角形内角和计算丙的第三个角为$\boldsymbol{180°-50°-72°=58°}$，△ABC中∠A=72°，其对边为a，同时存在50°、58°的内角，满足“AAS”全等判定条件，故丙和△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等。
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时要准确对应相等的边和角的位置，避免因边、角对应错误判断失误，同时要灵活运用三角形内角和求出未知角辅助判断。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 验证甲三角形：甲的已知条件为50°角，邻边为c，对边为a。△ABC中50°角（∠B）的对边是b≠a，不符合全等判定条件，故甲和△ABC不全等。
2. 验证乙三角形：乙的已知条件为50°角，该角的两条夹边分别为c和a。△ABC中∠B=50°，夹边恰好为a和c，满足“SAS”全等判定条件，故乙和△ABC全等。
3. 验证丙三角形：丙的已知条件为两个角50°、72°，且72°角的对边为a。首先根据三角形内角和计算丙的第三个角为$\boldsymbol{180°-50°-72°=58°}$，△ABC中∠A=72°，其对边为a，同时存在50°、58°的内角，满足“AAS”全等判定条件，故丙和△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等。
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时要准确对应相等的边和角的位置，避免因边、角对应错误判断失误，同时要灵活运用三角形内角和求出未知角辅助判断。
【难度系数】0.7
