1. 如图，$∠ ACB=∠ ADB=90°$,要使$△ ABC≌△ BAD$,还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上,并在括号内填上判定全等的理由.
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（第1题）

1. (1) $AC=BD(HL)$ (2) $AD=BC(HL)$ (3) $∠ CAB=∠ DBA(AAS)$ (4) $∠ CBA=∠ DAB(AAS)$

【分析】
首先梳理已知条件：△ABC和△BAD均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，且AB为两个三角形的公共边，可得AB=BA，即目前已有一组角相等、一组边相等。接下来结合全等判定定理推导需补充的条件：①若用直角三角形特有的HL判定，只需补充一组直角边相等即可；②若用一般三角形的AAS判定，只需再补充一组锐角相等即可。
【解析】
已知∠ACB=∠ADB=90°，AB是△ABC和△BAD的公共边，故AB=BA。
(1) 补充条件AC=BD：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，$\{\begin{array}{l}AC=BD\\AB=BA\end{array} $，根据HL可判定Rt△ABC≌Rt△BAD。
(2) 补充条件AD=BC：
在Rt△ABC和Rt△BAD中，$\{\begin{array}{l}BC=AD\\AB=BA\end{array} $，根据HL可判定Rt△ABC≌Rt△BAD。
(3) 补充条件∠CAB=∠DBA：
在△ABC和△BAD中，$\{\begin{array}{l}∠ ACB=∠ ADB\\∠ CAB=∠ DBA\\AB=BA\end{array} $，根据AAS可判定△ABC≌△BAD。
(4) 补充条件∠CBA=∠DAB：
在△ABC和△BAD中，$\{\begin{array}{l}∠ ACB=∠ ADB\\∠ CBA=∠ DAB\\AB=BA\end{array} $，根据AAS可判定△ABC≌△BAD。
【答案】
(1) $AC=BD(HL)$ (2) $AD=BC(HL)$ (3) $∠CAB=∠DBA(AAS)$ (4) $∠CBA=∠DAB(AAS)$
【知识点】
HL判定定理，AAS判定定理，全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放型的全等判定题目，解题的关键是先挖掘出公共边相等这一隐含条件，再结合已知的等角，对应不同的全等判定定理补充缺失的条件，能有效考查对全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD=AC$，$DE⊥ AB$，交$BC$于点$E$。若$∠ B=28°$，则$∠ AEC=\_\_\_\_\_\_°$。

59

【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 由∠C=90°、DE⊥AB可得△ACE和△ADE均为直角三角形，结合AD=AC、公共边AE，可通过HL定理证明两三角形全等，得到AE平分∠CAB；2. 利用直角三角形两锐角互余先求出∠CAB的度数，再得到∠CAE的度数；3. 最后在Rt△ACE中再次利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AEC的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=28°$，
∴$∠ CAB=90°-∠ B=90°-28°=62°$。
∵$DE⊥ AB$，
∴$∠ ADE=90°=∠ C$，
在$\mathrm{Rt}△ACE$和$\mathrm{Rt}△ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AE=AE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACE≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$，
∴$∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×62°=31°$，
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ AEC=90°-∠ CAE=90°-31°=59°$。
【答案】
59
【知识点】
HL判定三角形全等，直角三角形两锐角互余，角平分线定义
【点评】
本题属于全等三角形与直角三角形角度计算的综合基础题，解题的核心是通过证明全等得到角平分线的结论，再结合直角三角形的角度性质逐步推导，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

3. 已知:如图,点A,D,B,F在一条直线上,AC=FE,AD=FB,∠C=∠E=90°.
求证:AC//EF.

由$AD=FB$,可得$AB=FD$,再由$AC=FE,∠C=∠E=90°$,根据“HL”得$△ ABC≌△ FDE$,则$∠ A=∠ F$,因此$AC// EF$

【分析】
要证明AC//EF，可通过证明两条直线被AF所截形成的内错角∠A=∠F实现。要证∠A=∠F，可证明∠A和∠F所在的Rt△ABC与Rt△FDE全等。已知两个直角三角形的一组直角边AC=FE，∠C、∠E均为直角，只需再证明斜边相等即可：由AD=FB，两边同时加公共线段DB可得AB=FD，即可用HL定理证明两三角形全等，得到对应角相等，最终证明平行。
【解析】
证明：
∵AD=FB，
∴AD+DB=FB+DB，即$AB=FD$。
∵$∠C=∠E=90°$，
∴△ABC和△FDE都是直角三角形。
在$Rt△ABC$和$Rt△FDE$中：
$\begin{cases}AC=FE \\AB=FD\end{cases}$
∴$Rt△ABC≌Rt△FDE\mathrm{（HL）}$，
∴$∠A=∠F$，
∴$AC//EF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$AC//EF$，得证。
【知识点】
HL判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过线段和差得到全等需要的等边，结合HL判定直角三角形全等，再利用全等的性质得到等角，最终用平行线判定定理得证，解题时要注意规范直角三角形全等的证明书写格式。
【难度系数】
0.85

1. 下列选项中,不能判定两个直角三角形全等的是 （）

A.斜边和一条直角边分别相等
B.两个锐角分别相等
C.一个锐角和斜边分别相等
D.两条直角边分别相等

B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确全等三角形的判定条件，以及直角三角形特有的判定规则，再逐一分析每个选项是否满足全等判定的要求：首先，所有三角形全等判定都至少需要1组对应边相等的条件，仅有角相等只能保证三角形形状相同，不能保证大小相等，因此无法判定全等，接下来我们逐个验证选项对应的判定依据即可。
【解析】
首先明确直角三角形全等的判定方法包括：普通三角形的SSS、SAS、ASA、AAS，以及直角三角形特有的HL（斜边、直角边）判定。
选项A：斜边和一条直角边分别相等，符合HL判定规则，可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；
选项B：两个锐角分别相等，仅能证明两个三角形的三个角对应相等，没有对应边相等的条件，只能说明三角形形状相似，无法判定全等，符合题意；
选项C：一个锐角和斜边分别相等，再加上两个直角相等，符合AAS判定规则，可以判定全等，不符合题意；
选项D：两条直角边分别相等，再加上夹角（直角）相等，符合SAS判定规则，可以判定全等，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的判定条件
【点评】
本题是全等三角形判定的基础考题，重点考查学生对全等判定条件的理解，需要注意所有全等判定都必须包含至少一组对应边相等的条件，仅角相等无法判定全等。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$AB=AE$，$BC=ED$，$∠ B=∠ E$，$AF⊥ CD$，垂足为$F$. 求证：$F$是$CD$的中点.
（第2题）

连接$AC,AD$,由“SAS”,证得$△ ABC≌△ AED$,得到$AC=AD$,再利用“HL”,证得$△ ACF≌△ ADF$,从而$CF=DF$,即$F$是$CD$的中点

【分析】
要证明F是CD的中点，即需证CF=DF。我们可以通过构造全等三角形推导线段相等：首先连接辅助线AC、AD，结合已知的AB=AE、∠B=∠E、BC=ED，可利用SAS判定定理证明△ABC≌△AED，得到AC=AD；再结合AF⊥CD的条件，可通过HL判定定理证明Rt△ACF≌Rt△ADF，从而推出CF=DF，即可得到F是CD中点的结论。
【解析】
证明：连接AC、AD，
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB=AE \\∠ B=∠ E \\BC=ED\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ AED \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AD$。
$\because AF ⊥ CD$，
$\therefore ∠ AFC=∠ AFD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACF$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AF=AF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF ≌ \mathrm{Rt}△ ADF \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore CF=DF$，即F是CD的中点。
【答案】
F是CD的中点
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，要求学生熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能结合已知条件选择合适的判定方法推导待证结论，对辅助线构造的思维能力有基础要求。
【难度系数】
0.8