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活动一:做一做 议一议
如图1-19，线段AB的垂直平分线l与AB交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB。线段PA与PB一定相等吗？为什么？
图1-19
如图1-19，线段AB的垂直平分线l与AB交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB。线段PA与PB一定相等吗？为什么？
图1-19
答案
当点P与点O重合时,显然PA=PB;当点P与点O不重合时,因为OP是线段AB的垂直平分线,所以AO=BO,∠POA=∠POB=90°.通过“SAS”,可证△POA≌△POB,所以PA与PB相等。
解析
【分析】
要判断线段PA与PB是否相等，首先考虑点P在垂直平分线l上的位置有两种情况：①点P与AB和l的交点O重合；②点P与O不重合。当P与O重合时，结合垂直平分线定义可直接得PA=PB；当P与O不重合时，可通过证明PA、PB所在的△POA和△POB全等，利用全等三角形对应边相等得到PA=PB，全等条件可由线段垂直平分线的定义推导得出。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P与点O重合时，此时PA=OA，PB=OB，因为l是AB的垂直平分线，所以O是AB的中点，OA=OB，故PA=PB；
2. 当点P与点O不重合时，因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以AO=BO，且l⊥AB，因此∠POA=∠POB=90°。
在△POA和△POB中：
$\{\begin{array}{l}AO=BO\\ ∠ POA=∠ POB\\ OP=OP(\mathrm{公共边})\end{array} $
所以△POA≌△POB（SAS），根据全等三角形对应边相等，可得PA=PB。
综上，无论点P在l上的哪个位置，PA与PB都相等。
【答案】
当点P与点O重合时,显然PA=PB;当点P与点O不重合时,因为OP是线段AB的垂直平分线,所以AO=BO,∠POA=∠POB=90°.通过“SAS”,可证△POA≌△POB,所以PA与PB相等。
【知识点】
线段垂直平分线定义；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质定理的推导题，解题时需注意对任意点P的位置进行分类讨论，熟练运用三角形全等的判定方法是解题的关键，掌握该推导过程有助于后续直接运用线段垂直平分线的性质快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断线段PA与PB是否相等，首先考虑点P在垂直平分线l上的位置有两种情况：①点P与AB和l的交点O重合；②点P与O不重合。当P与O重合时，结合垂直平分线定义可直接得PA=PB；当P与O不重合时，可通过证明PA、PB所在的△POA和△POB全等，利用全等三角形对应边相等得到PA=PB，全等条件可由线段垂直平分线的定义推导得出。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P与点O重合时，此时PA=OA，PB=OB，因为l是AB的垂直平分线，所以O是AB的中点，OA=OB，故PA=PB；
2. 当点P与点O不重合时，因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以AO=BO，且l⊥AB，因此∠POA=∠POB=90°。
在△POA和△POB中：
$\{\begin{array}{l}AO=BO\\ ∠ POA=∠ POB\\ OP=OP(\mathrm{公共边})\end{array} $
所以△POA≌△POB（SAS），根据全等三角形对应边相等，可得PA=PB。
综上，无论点P在l上的哪个位置，PA与PB都相等。
【答案】
当点P与点O重合时,显然PA=PB;当点P与点O不重合时,因为OP是线段AB的垂直平分线,所以AO=BO,∠POA=∠POB=90°.通过“SAS”,可证△POA≌△POB,所以PA与PB相等。
【知识点】
线段垂直平分线定义；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质定理的推导题，解题时需注意对任意点P的位置进行分类讨论，熟练运用三角形全等的判定方法是解题的关键，掌握该推导过程有助于后续直接运用线段垂直平分线的性质快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 如图1-20①，若点Q在线段AB上，且QA=QB，则点Q是线段AB的
中点
，点Q在线段AB的垂直平分线
上。答案
1. 中点 垂直平分线
解析
【分析】
解题时先看第一个空的已知条件：点Q在线段AB上，且QA=QB，结合线段中点的定义，满足“在线段上、将线段分成两条相等线段”这两个条件的点就是线段的中点，可直接得出第一空结论。再思考第二个空：回忆线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，点Q满足QA=QB，因此可推出点Q的位置。
【解析】
1. 第一空：根据线段中点的定义，若一个点在线段上，且把该线段分成两条长度相等的线段，那么这个点叫做这条线段的中点。已知点Q在线段AB上，且QA=QB，因此点Q是线段AB的中点。
2. 第二空：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知QA=QB，因此点Q在线段AB的垂直平分线上，也可结合线段垂直平分线的定义（过线段中点且垂直于线段的直线是线段的垂直平分线），中点必然在垂直平分线上，得到相同结论。
【答案】
中点 垂直平分线
【知识点】
线段中点的定义；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握线段中点、线段垂直平分线的相关定义和判定，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时先看第一个空的已知条件：点Q在线段AB上，且QA=QB，结合线段中点的定义，满足“在线段上、将线段分成两条相等线段”这两个条件的点就是线段的中点，可直接得出第一空结论。再思考第二个空：回忆线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，点Q满足QA=QB，因此可推出点Q的位置。
【解析】
1. 第一空：根据线段中点的定义，若一个点在线段上，且把该线段分成两条长度相等的线段，那么这个点叫做这条线段的中点。已知点Q在线段AB上，且QA=QB，因此点Q是线段AB的中点。
2. 第二空：根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知QA=QB，因此点Q在线段AB的垂直平分线上，也可结合线段垂直平分线的定义（过线段中点且垂直于线段的直线是线段的垂直平分线），中点必然在垂直平分线上，得到相同结论。
【答案】
中点 垂直平分线
【知识点】
线段中点的定义；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握线段中点、线段垂直平分线的相关定义和判定，即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图1-20②，若点Q在线段AB外，且QA=QB，则点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
图1-20
图1-20
答案
2. 在.提示:证△AQM≌△BQM
解析
【分析】
要判断点Q是否在线段AB的垂直平分线上，可先过点Q作AB的垂线，设垂足为M，只需证明M是AB的中点（即AM=BM），即可说明QM既垂直于AB又平分AB，即QM是AB的垂直平分线，进而得到Q在AB的垂直平分线上。要证AM=BM，可通过证明△AQM与△BQM全等来推导：已知QA=QB，QM为公共边，且两个三角形均为直角三角形，可利用HL定理证明全等，从而得到对应边AM=BM。
【解析】
过点Q作$QM ⊥ AB$，垂足为$M$，则$∠ AMQ = ∠ BMQ = 90°$，$△ AQM$和$△ BQM$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AQM$和$\mathrm{Rt}△ BQM$中：
$\begin{cases}QA = QB(\mathrm{已知}) \\QM = QM(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AQM ≌ \mathrm{Rt}△ BQM (\mathrm{HL})$，
$\therefore AM = BM$，即$QM$垂直且平分线段$AB$，
$\therefore$点$Q$在线段$AB$的垂直平分线上。
【答案】
点$Q$在线段$AB$的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查线段垂直平分线判定的推导逻辑，通过作垂直辅助线构造全等三角形是解题的关键，能帮助学生掌握几何证明的辅助线构造方法，加深对线段垂直平分线判定定理的理解。
【难度系数】
0.8
要判断点Q是否在线段AB的垂直平分线上，可先过点Q作AB的垂线，设垂足为M，只需证明M是AB的中点（即AM=BM），即可说明QM既垂直于AB又平分AB，即QM是AB的垂直平分线，进而得到Q在AB的垂直平分线上。要证AM=BM，可通过证明△AQM与△BQM全等来推导：已知QA=QB，QM为公共边，且两个三角形均为直角三角形，可利用HL定理证明全等，从而得到对应边AM=BM。
【解析】
过点Q作$QM ⊥ AB$，垂足为$M$，则$∠ AMQ = ∠ BMQ = 90°$，$△ AQM$和$△ BQM$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AQM$和$\mathrm{Rt}△ BQM$中：
$\begin{cases}QA = QB(\mathrm{已知}) \\QM = QM(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AQM ≌ \mathrm{Rt}△ BQM (\mathrm{HL})$，
$\therefore AM = BM$，即$QM$垂直且平分线段$AB$，
$\therefore$点$Q$在线段$AB$的垂直平分线上。
【答案】
点$Q$在线段$AB$的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形全等判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查线段垂直平分线判定的推导逻辑，通过作垂直辅助线构造全等三角形是解题的关键，能帮助学生掌握几何证明的辅助线构造方法，加深对线段垂直平分线判定定理的理解。
【难度系数】
0.8
