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1. 如图，图中的三角形共有（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
C
解析
【分析】
要正确数出图中三角形的个数，需按照一定的顺序计数，避免重复或遗漏。可以遵循“从小到大、从单个到组合”的规律：先数独立的小三角形，再数由多个区域组合形成的三角形，逐一列举即可。
【解析】
先标记各顶点：底边左端点为A，右端点为B，上方左侧顶点为C，上方右侧顶点为D，线段AD与BC的交点为O。
逐个枚举三角形：
1. 独立小三角形：△AOC、△BOD、△AOB，共3个；
2. 组合形成的三角形：△ABC（由△AOC和△AOB组合而成）、△ABD（由△BOD和△AOB组合而成），共2个。
总个数为$3+2=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题属于基础几何计数题，重点考查对三角形特征的掌握和有序计数的能力，只要按照固定顺序逐个统计，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要正确数出图中三角形的个数，需按照一定的顺序计数，避免重复或遗漏。可以遵循“从小到大、从单个到组合”的规律：先数独立的小三角形，再数由多个区域组合形成的三角形，逐一列举即可。
【解析】
先标记各顶点：底边左端点为A，右端点为B，上方左侧顶点为C，上方右侧顶点为D，线段AD与BC的交点为O。
逐个枚举三角形：
1. 独立小三角形：△AOC、△BOD、△AOB，共3个；
2. 组合形成的三角形：△ABC（由△AOC和△AOB组合而成）、△ABD（由△BOD和△AOB组合而成），共2个。
总个数为$3+2=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义、图形计数
【点评】
本题属于基础几何计数题，重点考查对三角形特征的掌握和有序计数的能力，只要按照固定顺序逐个统计，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 已知三角形的三边长分别是3,5,x,则x的值可以是 （
A.8
B.4
C.2
D.1
B
）A.8
B.4
C.2
D.1
答案
B
解析
【分析】
拿到本题，已知三角形的两条边长，求第三边的可能取值，首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题思路是先根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围，再逐一核对选项，选出在取值范围内的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
即 $2 ＜ x ＜ 8$
逐一判断选项：
A选项8，不满足$x＜8$，不符合；
B选项4，满足$2＜4＜8$，符合；
C选项2，不满足$x＞2$，不符合；
D选项1，不满足$x＞2$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，注意第三边的取值不包含两边之和与两边之差，避免误选边界值，掌握三边关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知三角形的两条边长，求第三边的可能取值，首先回忆三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题思路是先根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围，再逐一核对选项，选出在取值范围内的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
即 $2 ＜ x ＜ 8$
逐一判断选项：
A选项8，不满足$x＜8$，不符合；
B选项4，满足$2＜4＜8$，符合；
C选项2，不满足$x＞2$，不符合；
D选项1，不满足$x＞2$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，注意第三边的取值不包含两边之和与两边之差，避免误选边界值，掌握三边关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 若三角形的三边长分别为4，1−2a，7，则a的取值范围是
-5＜a＜-1
。答案
-5＜a＜-1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边。我们需要把题目给出的三边长代入这个关系，列出关于a的一元一次不等式组，再分别解每个不等式，最后取所有解集的公共部分，就能得到a的取值范围。解题时要注意，解系数为负数的不等式时，不等号方向要改变。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，列出不等式组：
1. 两边为4和7时：
$4 + 7 ＞ 1 - 2a$
$11 ＞ 1 - 2a$
移项得$2a ＞ 1 - 11$
$2a ＞ -10$
解得$a ＞ -5$
2. 两边为4和$1-2a$时：
$4 + (1 - 2a) ＞ 7$
$5 - 2a ＞ 7$
移项得$-2a ＞ 7 - 5$
$-2a ＞ 2$
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得$a ＜ -1$
3. 两边为7和$1-2a$时：
$7 + (1 - 2a) ＞ 4$
$8 - 2a ＞ 4$
移项得$-2a ＞ 4 - 8$
$-2a ＞ -4$
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得$a ＜ 2$
取三个不等式解集的公共部分，可得$-5 ＜ a ＜ -1$。
【答案】
$-5 ＜ a ＜ -1$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是三角形三边关系的常规应用题型，解题的关键是准确根据三边关系列出不等式组，解不等式时要特别注意系数为负时不等号方向的变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边。我们需要把题目给出的三边长代入这个关系，列出关于a的一元一次不等式组，再分别解每个不等式，最后取所有解集的公共部分，就能得到a的取值范围。解题时要注意，解系数为负数的不等式时，不等号方向要改变。
【解析】
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，列出不等式组：
1. 两边为4和7时：
$4 + 7 ＞ 1 - 2a$
$11 ＞ 1 - 2a$
移项得$2a ＞ 1 - 11$
$2a ＞ -10$
解得$a ＞ -5$
2. 两边为4和$1-2a$时：
$4 + (1 - 2a) ＞ 7$
$5 - 2a ＞ 7$
移项得$-2a ＞ 7 - 5$
$-2a ＞ 2$
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得$a ＜ -1$
3. 两边为7和$1-2a$时：
$7 + (1 - 2a) ＞ 4$
$8 - 2a ＞ 4$
移项得$-2a ＞ 4 - 8$
$-2a ＞ -4$
两边同时除以-2，不等号方向改变，解得$a ＜ 2$
取三个不等式解集的公共部分，可得$-5 ＜ a ＜ -1$。
【答案】
$-5 ＜ a ＜ -1$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是三角形三边关系的常规应用题型，解题的关键是准确根据三边关系列出不等式组，解不等式时要特别注意系数为负时不等号方向的变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-2)^2 + |b-4| = 0$，$c$为奇数，求$△ ABC$的周长.
答案
∵$(a-2)^2+|b-4|=0$,
∴a=2,b=4,由三角形三边关系可得,b-a＜c＜b+a,即2＜c＜6.
∵c是奇数,
∴c=3或5.
∴三角形的周长为9或11
解析
【分析】
解题时首先观察到等式是平方与绝对值相加等于0的形式，我们学过平方和绝对值都具有非负性，只有二者同时为0时和才为0，由此可先求出a、b的长度；接下来需要结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定c的取值范围；再根据“c为奇数”的限定条件筛选出符合要求的c的值，最后分别计算两种情况下三角形的周长即可。
【解析】
解：
∵$(a-2)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，且$(a-2)^2 + |b-4| = 0$
∴$a-2=0$，$b-4=0$
解得$a=2$，$b=4$
根据三角形三边关系，得：$b - a ＜ c ＜ b + a$
代入a、b的值，即$4-2 ＜ c ＜ 4+2$，也就是$2 ＜ c ＜ 6$
又
∵c为奇数
∴c的取值为3或5
当c=3时，△ABC的周长为$2+4+3=9$
当c=5时，△ABC的周长为$2+4+5=11$
【答案】
9或11
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将非负性的应用和三角形三边关系结合考查，解题时需要注意结合题干给出的限定条件筛选符合要求的边长，避免出现漏解或者不符合三边关系的错解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到等式是平方与绝对值相加等于0的形式，我们学过平方和绝对值都具有非负性，只有二者同时为0时和才为0，由此可先求出a、b的长度；接下来需要结合三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定c的取值范围；再根据“c为奇数”的限定条件筛选出符合要求的c的值，最后分别计算两种情况下三角形的周长即可。
【解析】
解：
∵$(a-2)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，且$(a-2)^2 + |b-4| = 0$
∴$a-2=0$，$b-4=0$
解得$a=2$，$b=4$
根据三角形三边关系，得：$b - a ＜ c ＜ b + a$
代入a、b的值，即$4-2 ＜ c ＜ 4+2$，也就是$2 ＜ c ＜ 6$
又
∵c为奇数
∴c的取值为3或5
当c=3时，△ABC的周长为$2+4+3=9$
当c=5时，△ABC的周长为$2+4+5=11$
【答案】
9或11
【知识点】
非负数的性质；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将非负性的应用和三角形三边关系结合考查，解题时需要注意结合题干给出的限定条件筛选符合要求的边长，避免出现漏解或者不符合三边关系的错解。
【难度系数】
0.8
1. 在$△ ABC$中,如果$∠ B - 2∠ C = 90° - ∠ C$,那么$△ ABC$是 （
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
B
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
B
解析
【分析】
解题时首先对题干给出的角的等量关系进行移项化简，得出∠B和∠C的关系，再结合三角形内角都为正数的特点，判断∠B的大小范围，最后根据三角形按角分类的标准确定三角形的类型。
【解析】
已知$∠ B - 2∠ C = 90° - ∠ C$，对等式进行移项整理：
将含$∠ C$的项移到等式右侧，可得$∠ B = 90° - ∠ C + 2∠ C$，
即$∠ B = 90° + ∠ C$。
因为$△ ABC$中任意内角都大于$0°$，所以$∠ C ＞ 0°$，因此$∠ B = 90° + ∠ C ＞ 90°$，即$∠ B$是钝角。
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角的性质
2. 三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查通过角的数量关系判断三角形的类型，解题的关键是正确化简已知等式，得出其中一个内角为钝角即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时首先对题干给出的角的等量关系进行移项化简，得出∠B和∠C的关系，再结合三角形内角都为正数的特点，判断∠B的大小范围，最后根据三角形按角分类的标准确定三角形的类型。
【解析】
已知$∠ B - 2∠ C = 90° - ∠ C$，对等式进行移项整理：
将含$∠ C$的项移到等式右侧，可得$∠ B = 90° - ∠ C + 2∠ C$，
即$∠ B = 90° + ∠ C$。
因为$△ ABC$中任意内角都大于$0°$，所以$∠ C ＞ 0°$，因此$∠ B = 90° + ∠ C ＞ 90°$，即$∠ B$是钝角。
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角的性质
2. 三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查通过角的数量关系判断三角形的类型，解题的关键是正确化简已知等式，得出其中一个内角为钝角即可得出结论。
【难度系数】
0.8
2. 已知$△ ABC$的三边长分别是$a,b,c$,化简$|a-b-c|+|b-c+a|-|c-b-a|$.
答案
∵△ABC的三边长分别是a,b,c,
∴a-b-c＜0,b-c+a＞0,c-b-a＜0.
∴|a-b-c|+|b-c+a|-|c-b-a|=-(a-b-c)+(b-c+a)+(c-b-a)=-a+b+c+b-c+a+c-b-a=-a+b+c
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此判断每个绝对值内代数式的正负性；再结合绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；最后通过去括号、合并同类项得到化简结果。
【解析】
解：
∵△ABC的三边长分别是a,b,c，
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
b+c＞a，a+b＞c，
∴a-b-c=a-(b+c)＜0，b-c+a=(a+b)-c＞0，c-b-a=c-(a+b)＜0，
∴|a-b-c|+|b-c+a|-|c-b-a|
=-(a-b-c)+(b-c+a)+(c-b-a)
=-a+b+c+b-c+a+c-b-a
=-a+b+c
【答案】
-a+b+c
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的性质、整式的加减
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值和去括号时要注意符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，据此判断每个绝对值内代数式的正负性；再结合绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号；最后通过去括号、合并同类项得到化简结果。
【解析】
解：
∵△ABC的三边长分别是a,b,c，
根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
b+c＞a，a+b＞c，
∴a-b-c=a-(b+c)＜0，b-c+a=(a+b)-c＞0，c-b-a=c-(a+b)＜0，
∴|a-b-c|+|b-c+a|-|c-b-a|
=-(a-b-c)+(b-c+a)+(c-b-a)
=-a+b+c+b-c+a+c-b-a
=-a+b+c
【答案】
-a+b+c
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的性质、整式的加减
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值和去括号时要注意符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
3. 若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”.例如，三边长为6,8,10的三角形是“好运三角形”.
（1）在$△ ABC$中，$AB=2$，$BC=4$，若$△ ABC$为“好运三角形”，求$AC$的长；
（2）已知$△ ABC$的周长为16，$AC=4$，$AB$长为偶数，求出$AB$的范围，并判断$△ ABC$是不是“好运三角形”.
（1）在$△ ABC$中，$AB=2$，$BC=4$，若$△ ABC$为“好运三角形”，求$AC$的长；
（2）已知$△ ABC$的周长为16，$AC=4$，$AB$长为偶数，求出$AB$的范围，并判断$△ ABC$是不是“好运三角形”.
答案
（1）在△ABC中,AB=2,BC=4,
∵BC-AB＜AC＜BC+AB,
∴4-2＜AC＜4+2.
∴2＜AC＜6.
∵△ABC为“好运三角形”,AC为偶数,
∴AC=4 （2）△ABC是“好运三角形”.理由:已知△ABC的周长为16,AC=4.设AB=x(x为偶数),则BC=12-x,依题意得$\begin{cases} x+12-x＞4, \\ x+4＞12-x, \\ 12-x+4＞ x, \end{cases}$解得4＜x＜8.
∵AB的长为偶数,
∴AB=x=6.
∴BC=12-6=6.
∵AC=4,
∴△ABC是“好运三角形”
∵BC-AB＜AC＜BC+AB,
∴4-2＜AC＜4+2.
∴2＜AC＜6.
∵△ABC为“好运三角形”,AC为偶数,
∴AC=4 （2）△ABC是“好运三角形”.理由:已知△ABC的周长为16,AC=4.设AB=x(x为偶数),则BC=12-x,依题意得$\begin{cases} x+12-x＞4, \\ x+4＞12-x, \\ 12-x+4＞ x, \end{cases}$解得4＜x＜8.
∵AB的长为偶数,
∴AB=x=6.
∴BC=12-6=6.
∵AC=4,
∴△ABC是“好运三角形”
解析
【分析】
（1）求解三角形未知边长首先考虑三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，先求出AC的取值范围，再结合“好运三角形”三边长均为偶数的要求，在取值范围内筛选出符合条件的偶数即可得到AC的长。
（2）已知三角形周长和其中一边长，先设AB的长为偶数x，通过周长公式表示出BC的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，求解得到AB的取值范围，结合AB为偶数的条件确定AB的具体值，进而得到BC的长度，最后验证三边是否均为偶数，即可判断是否为“好运三角形”。
【解析】
（1）在△ABC中，AB=2，BC=4，
根据三角形三边关系得：$BC-AB＜AC＜BC+AB$，
代入边长计算得：$4-2＜AC＜4+2$，即$2＜AC＜6$，
∵△ABC为“好运三角形”，三边长均为偶数，
∴AC的长为偶数，在$2＜AC＜6$范围内的偶数只有4，故$AC=4$。
（2）已知△ABC的周长为16，AC=4，设$AB=x$（x为偶数），则$BC=16-4-x=12-x$，
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases} x+(12-x)＞4 \\ x+4＞12-x \\ (12-x)+4＞ x \end{cases}$
分别解不等式：
第一个不等式化简得$12＞4$，恒成立；
第二个不等式移项得$2x＞8$，解得$x＞4$；
第三个不等式移项得$2x＜16$，解得$x＜8$；
综上不等式组的解集为$4＜x＜8$，即AB的范围是$4＜AB＜8$。
∵AB的长为偶数，
∴$x=6$，即$AB=6$，
则$BC=12-6=6$，
此时△ABC三边长为4、6、6，均为偶数，
∴△ABC是“好运三角形”。
【答案】
（1）AC的长为4；
（2）AB的范围是$4＜AB＜8$，△ABC是“好运三角形”。
【知识点】
三角形三边关系、不等式组应用、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练运用三边关系列出不等式确定边长范围，再结合偶数的限制条件筛选出符合要求的边长，侧重考查学生对基础知识点的运用能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.8
（1）求解三角形未知边长首先考虑三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，先求出AC的取值范围，再结合“好运三角形”三边长均为偶数的要求，在取值范围内筛选出符合条件的偶数即可得到AC的长。
（2）已知三角形周长和其中一边长，先设AB的长为偶数x，通过周长公式表示出BC的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，求解得到AB的取值范围，结合AB为偶数的条件确定AB的具体值，进而得到BC的长度，最后验证三边是否均为偶数，即可判断是否为“好运三角形”。
【解析】
（1）在△ABC中，AB=2，BC=4，
根据三角形三边关系得：$BC-AB＜AC＜BC+AB$，
代入边长计算得：$4-2＜AC＜4+2$，即$2＜AC＜6$，
∵△ABC为“好运三角形”，三边长均为偶数，
∴AC的长为偶数，在$2＜AC＜6$范围内的偶数只有4，故$AC=4$。
（2）已知△ABC的周长为16，AC=4，设$AB=x$（x为偶数），则$BC=16-4-x=12-x$，
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases} x+(12-x)＞4 \\ x+4＞12-x \\ (12-x)+4＞ x \end{cases}$
分别解不等式：
第一个不等式化简得$12＞4$，恒成立；
第二个不等式移项得$2x＞8$，解得$x＞4$；
第三个不等式移项得$2x＜16$，解得$x＜8$；
综上不等式组的解集为$4＜x＜8$，即AB的范围是$4＜AB＜8$。
∵AB的长为偶数，
∴$x=6$，即$AB=6$，
则$BC=12-6=6$，
此时△ABC三边长为4、6、6，均为偶数，
∴△ABC是“好运三角形”。
【答案】
（1）AC的长为4；
（2）AB的范围是$4＜AB＜8$，△ABC是“好运三角形”。
【知识点】
三角形三边关系、不等式组应用、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练运用三边关系列出不等式确定边长范围，再结合偶数的限制条件筛选出符合要求的边长，侧重考查学生对基础知识点的运用能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.8
