活动一:读一读 做一做
阅读课本第6页的“讨论”及《数学实验手册》中“实验2 折纸——认识三角形的‘三线’”，利用附录提供的纸片，分别折出三角形的中线、角平分线和高，并说说自己的发现.

解：
折纸操作方法：
1. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，标记出该边的中点，展开后连接该中点与这条边所对的顶点，对应的折痕就是这条边上的中线。
2. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使角的两边完全重合，展开后过该内角顶点的折痕就是这个内角的角平分线。
3. 折高：沿垂直于三角形某条边的方向折叠，使这条边所对的顶点恰好落在这条边（或边的延长线）上，展开后过该顶点和落点的折痕就是这条边上的高。
发现：
1. 任意三角形都有3条中线、3条角平分线、3条高；
2. 三角形的3条中线全部在三角形内部，且三条中线交于三角形内部同一点；
3. 三角形的3条角平分线全部在三角形内部，且三条角平分线交于三角形内部同一点；
4. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；直角三角形的两条直角边上的高与两条直角边本身重合，三条高的交点就是直角顶点；钝角三角形有2条高在三角形外部，1条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外部同一点。

【分析】
这是一道结合动手操作的几何探究题，解题可按两个思路推进：首先利用折叠的轴对称性质（折叠前后对应部分完全重合），结合三角形中线、角平分线、高的定义设计对应折叠方法：①折中线需要先得到边的中点，可通过使边的两个端点重合折叠得到；②折角平分线需要让角的两边重合，折痕自然平分该角；③折高需要让顶点落在对边（或延长线）上，且折痕与对应边垂直。完成折叠操作后，观察不同类型三角形三类线段的数量、位置、交点特征，归纳总结规律即可。
【解析】
折纸操作方法：
1. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，标记出该边的中点，展开后连接该中点与这条边所对的顶点，对应的折痕就是这条边上的中线。
2. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使角的两边完全重合，展开后过该内角顶点的折痕就是这个内角的角平分线。
3. 折高：沿垂直于三角形某条边的方向折叠，使这条边所对的顶点恰好落在这条边（或边的延长线）上，展开后过该顶点和落点的折痕就是这条边上的高。
操作发现：
1. 任意三角形都有3条中线、3条角平分线、3条高；
2. 三角形的3条中线全部在三角形内部，且三条中线交于三角形内部同一点；
3. 三角形的3条角平分线全部在三角形内部，且三条角平分线交于三角形内部同一点；
4. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；直角三角形的两条直角边上的高与两条直角边本身重合，三条高的交点就是直角顶点；钝角三角形有2条高在三角形外部，1条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外部同一点。
【答案】
折纸操作方法：
1. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，标记出该边的中点，展开后连接该中点与这条边所对的顶点，对应的折痕就是这条边上的中线。
2. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使角的两边完全重合，展开后过该内角顶点的折痕就是这个内角的角平分线。
3. 折高：沿垂直于三角形某条边的方向折叠，使这条边所对的顶点恰好落在这条边（或边的延长线）上，展开后过该顶点和落点的折痕就是这条边上的高。
发现：
1. 任意三角形都有3条中线、3条角平分线、3条高；
2. 三角形的3条中线全部在三角形内部，且三条中线交于三角形内部同一点；
3. 三角形的3条角平分线全部在三角形内部，且三条角平分线交于三角形内部同一点；
4. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高交于三角形内一点；直角三角形的两条直角边上的高与两条直角边本身重合，三条高的交点就是直角顶点；钝角三角形有2条高在三角形外部，1条高在三角形内部，三条高所在的直线交于三角形外部同一点。
【知识点】
1. 三角形“三线”概念
2. 轴对称的性质
3. 实践归纳探究
【点评】
本题属于操作探究类题型，将抽象的几何概念与动手实践相结合，通过折叠操作可直观感知三角形中线、角平分线、高的特征，有利于加深对不同三角形三类线段的分布规律、交点特点的理解，同时能锻炼动手操作能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8

1. 如图1-3,在△ABC中,点F在BC上,连接AF.
(1) 若AF是△ABC的角平分线,则∠=∠=$\frac{1}{2}$∠.
(2) 若AF是△ABC的中线,则==$\frac{1}{2}$;猜想△ABF和△ACF面积的大小关系,并与同学交流你的看法.

(1) ∠BAF=∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC
(2) BF=CF=$\frac{1}{2}$BC；$S_{△ ABF}=S_{△ ACF}$，理由略

【分析】
(1) 看到“AF是△ABC的角平分线”，首先回忆三角形角平分线的定义：三角形的角平分线会把对应的内角平分为两个相等的小角，因此被平分的是顶点A处的内角∠BAC，得到的两个相等的角为∠BAF和∠CAF，据此即可填空。
(2) 看到“AF是△ABC的中线”，回忆三角形中线的定义：三角形的中线平分对边，因此F是BC的中点，可得到BC被分成两条相等的线段BF、CF。判断两个三角形面积关系时，回忆三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，△ABF和△ACF的底BF=CF，高都是点A到BC的垂线段长度，高相等，因此面积相等。
【解析】
(1) 根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，该角顶点与交点间的线段为角平分线，角平分线平分对应内角，因此AF平分∠BAC，即$∠BAF=∠CAF=\frac{1}{2}∠BAC$。
(2) 根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和对边中点的线段为中线，中线平分对边，因此F为BC中点，即$BF=CF=\frac{1}{2}BC$。
过点A作BC边上的高h，根据三角形面积公式：
$S_{△ABF}=\frac{1}{2}×BF×h$，$S_{△ACF}=\frac{1}{2}×CF×h$
又
∵BF=CF，
∴$S_{△ABF}=S_{△ACF}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BAF}$，$\boldsymbol{∠CAF}$，$\boldsymbol{∠BAC}$
(2) $\boldsymbol{BF}$，$\boldsymbol{CF}$，$\boldsymbol{BC}$；$\boldsymbol{S_{△ABF}=S_{△ACF}}$
【知识点】
三角形角平分线的定义；三角形中线的定义；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对三角形中特殊线段（角平分线、中线）定义的掌握程度，以及运用三角形面积公式判断面积关系的能力，是三角形相关知识的入门内容，需牢固掌握相关概念。
【难度系数】
0.9

2. 分别画出图1-4中各三角形的高，观察各三角形能画出几条高.你发现了什么?

图1-4

都有3条,并且3条高所在的直线相交于同一点 锐角三角形的3条高都在三角形内,直角三角形有2条高与直角边重合,钝角三角形有2条高在三角形外

【分析】
解题时先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高。每个三角形有3个顶点、3组对边，因此我们可以逐个过顶点作对边的高：1. 对锐角三角形，直接过顶点向对边作垂线段即可，高都在三角形内部；2. 对直角三角形，两条直角边互相垂直，因此两条直角边本身就是对应对边的高；3. 对钝角三角形，夹钝角的两条边对应的高需要先延长对边，再作垂线，高会落在三角形外部。作图完成后统计高的数量，再观察高的位置、交点特征即可总结规律。
【解析】
首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
1. 第一个锐角三角形：分别过点A作BC边上的高，过点B作AC边上的高，过点C作AB边上的高，共3条，全部在三角形内部，3条高交于三角形内部一点。
2. 第二个直角三角形：过点A作BC边上的高就是直角边AC，过点B作AC边上的高就是直角边BC，过点C作AB边上的高为斜边AB上的垂线段，共3条，其中2条高与直角边重合，3条高交于直角顶点C。
3. 第三个钝角三角形：过点A作BC边上的高（需延长BC，垂线段在三角形外），过点B作AC边上的高（需延长AC，垂线段在三角形外），过点C作AB边上的高（在三角形内部），共3条，其中2条高在三角形外，3条高所在的直线交于三角形外部一点。
综上观察可得三类三角形高的数量和位置的相关规律。
【答案】
都有3条,并且3条高所在的直线相交于同一点 锐角三角形的3条高都在三角形内,直角三角形有2条高与直角边重合,钝角三角形有2条高在三角形外
【知识点】
三角形高的定义；三角形高的性质
【点评】
本题通过动手作图考查对不同类型三角形高的认识，需要准确掌握高的定义，尤其注意钝角三角形的部分高需要延长对边才能画出，不要误认为高只能在三角形内部，通过作图能更直观理解不同三角形高的位置特征。
【难度系数】
0.8