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活动一:忆一忆,说一说
1. 请你列举生活中常见的三角形形状的物体.
2. 你是如何定义三角形的?
3. 如图1-1,三角形可以表示为
图1-1
1. 请你列举生活中常见的三角形形状的物体.
2. 你是如何定义三角形的?
3. 如图1-1,三角形可以表示为
△ABC
,三条边分别为AB,BC,AC
,三个内角分别为∠A,∠B,∠C
,AB 的对角为∠C
,∠B 的对边为AC
.图1-1
答案
1. 三角尺2. 由三条线段组成的封闭图形 3. △ABC AB,BC,AC ∠A,∠B,∠C ∠C AC
解析
【分析】
本题围绕三角形的基础概念设置问题，解题思路如下：第1题结合生活经验列举即可，只要外形为三角形的物体都符合要求；第2题回忆三角形的定义核心要素：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接、封闭平面图形，结合要素就能准确表述定义；第3题考查三角形的基础标识规则：①三角形用三个顶点的大写字母加△符号表示；②三角形的边是相邻两个顶点连接而成的线段；③三角形的内角是三个顶点处对应的角；④某条边的对角是不包含在这条边端点里的顶点对应的角，某个角的对边是不经过这个角顶点的边，按照上述规则逐一对应填写即可。
【解析】
1. 生活中三角形形状的物体示例：自行车三角架、三角尺、红领巾、房屋三角屋顶等，答案不唯一，合理即可。
2. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭平面图形叫做三角形。
3. 观察图形可知三角形三个顶点为A、B、C，因此三角形表示为△ABC；三条边为相邻顶点组成的线段AB、BC、AC；三个内角分别为顶点A、B、C对应的∠A、∠B、∠C；边AB的端点为A、B，剩余顶点为C，因此AB的对角为∠C；∠B的顶点为B，不经过点B的边为AC，因此∠B的对边为AC。
【答案】
1. 略
2. 略
3. $△ ABC$；$AB,BC,AC$；$∠ A,∠ B,∠ C$；$∠ C$；$AC$
【知识点】
三角形的定义；三角形的表示；三角形边与角的对应关系
【点评】
本题是三角形的基础入门题，侧重考查对基础概念的识记和理解，难度较低，熟练掌握相关基础概念即可快速解题，相关概念也是后续学习三角形性质、判定等知识的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题围绕三角形的基础概念设置问题，解题思路如下：第1题结合生活经验列举即可，只要外形为三角形的物体都符合要求；第2题回忆三角形的定义核心要素：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接、封闭平面图形，结合要素就能准确表述定义；第3题考查三角形的基础标识规则：①三角形用三个顶点的大写字母加△符号表示；②三角形的边是相邻两个顶点连接而成的线段；③三角形的内角是三个顶点处对应的角；④某条边的对角是不包含在这条边端点里的顶点对应的角，某个角的对边是不经过这个角顶点的边，按照上述规则逐一对应填写即可。
【解析】
1. 生活中三角形形状的物体示例：自行车三角架、三角尺、红领巾、房屋三角屋顶等，答案不唯一，合理即可。
2. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭平面图形叫做三角形。
3. 观察图形可知三角形三个顶点为A、B、C，因此三角形表示为△ABC；三条边为相邻顶点组成的线段AB、BC、AC；三个内角分别为顶点A、B、C对应的∠A、∠B、∠C；边AB的端点为A、B，剩余顶点为C，因此AB的对角为∠C；∠B的顶点为B，不经过点B的边为AC，因此∠B的对边为AC。
【答案】
1. 略
2. 略
3. $△ ABC$；$AB,BC,AC$；$∠ A,∠ B,∠ C$；$∠ C$；$AC$
【知识点】
三角形的定义；三角形的表示；三角形边与角的对应关系
【点评】
本题是三角形的基础入门题，侧重考查对基础概念的识记和理解，难度较低，熟练掌握相关基础概念即可快速解题，相关概念也是后续学习三角形性质、判定等知识的核心基础。
【难度系数】
0.9
活动二:画一画,议一议
1. 阅读课本第4页的“尝试”,回答下列问题.
（1）是不是任意三条线段都能组成一个三角形？
（2）三条线段满足什么条件才能组成一个三角形？
由此得出三角形的三条边之间的关系：
2. 三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？你能证明吗？
1. 阅读课本第4页的“尝试”,回答下列问题.
（1）是不是任意三条线段都能组成一个三角形？
（2）三条线段满足什么条件才能组成一个三角形？
由此得出三角形的三条边之间的关系：
三角形的任意两边之和大于第三边
.本结论的理论依据是：两点之间的所有连线中,线段最短
.2. 三角形的任意两边之差与第三边有什么关系？你能证明吗？
答案
1.（1）不是 （2）任意两条线段之和大于第三条线段的长 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间的所有连线中,线段最短 2. 三角形的任意两边之差小于第三边,证明略
解析
【分析】
解决第1（1）问时可通过举反例的思路思考：若取长度为1cm、2cm、3cm的三条线段，尝试拼接会发现无法围成封闭的三角形，因此可判断不是任意三条线段都能组成三角形。
解决第1（2）问时可对比能围成和不能围成三角形的线段长度特征：能围成三角形的三条线段中，任意两条的长度和都大于第三条的长度。其原理可结合两点之间的路径规律推导：三角形两个顶点之间，第三边是线段，另外两边是折线，根据两点之间线段最短，即可推出两边之和大于第三边。
解决第2问时，可利用已经得到的“两边之和大于第三边”的结论，结合不等式的基本性质做变形推导，就能得到两边之差和第三边的关系。
【解析】
1. （1）举反例验证：取长度分别为1、2、3的三条线段，其中1+2=3，拼接时三条线段只能重合在同一条直线上，无法围成封闭的三角形，因此不是任意三条线段都能组成三角形。
（2）经过多次拼接尝试可发现：只有当任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度时，才能组成三角形。由此可得三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边。
该结论的理论依据：对于三角形任意两个顶点，连接这两个顶点的第三边是线段，另外两边是连接这两个顶点的折线，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”，可得两边长度之和大于第三边长度。
2. 结论：三角形的任意两边之差小于第三边。
证明：设三角形三边长分别为a、b、c，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$
根据不等式的基本性质移项得：
$a＞c-b$，$b＞c-a$，$a＞b-c$，$c＞b-a$，$b＞a-c$，$c＞a-b$
即三角形任意两边之差小于第三边。
【答案】
1.（1）不是 （2）任意两条线段之和大于第三条线段的长 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间的所有连线中,线段最短 2. 三角形的任意两边之差小于第三边,证明略
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 两点之间线段最短
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础探究题，引导学生通过动手尝试、逻辑推导掌握核心结论，是后续解决三角形边长判断、边长计算等问题的基础。解题时要注意“任意”二字的要求，判断三条线段能否围成三角形时，可简便验证较短两条线段之和大于最长线段即可。
【难度系数】
0.8
解决第1（1）问时可通过举反例的思路思考：若取长度为1cm、2cm、3cm的三条线段，尝试拼接会发现无法围成封闭的三角形，因此可判断不是任意三条线段都能组成三角形。
解决第1（2）问时可对比能围成和不能围成三角形的线段长度特征：能围成三角形的三条线段中，任意两条的长度和都大于第三条的长度。其原理可结合两点之间的路径规律推导：三角形两个顶点之间，第三边是线段，另外两边是折线，根据两点之间线段最短，即可推出两边之和大于第三边。
解决第2问时，可利用已经得到的“两边之和大于第三边”的结论，结合不等式的基本性质做变形推导，就能得到两边之差和第三边的关系。
【解析】
1. （1）举反例验证：取长度分别为1、2、3的三条线段，其中1+2=3，拼接时三条线段只能重合在同一条直线上，无法围成封闭的三角形，因此不是任意三条线段都能组成三角形。
（2）经过多次拼接尝试可发现：只有当任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度时，才能组成三角形。由此可得三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边。
该结论的理论依据：对于三角形任意两个顶点，连接这两个顶点的第三边是线段，另外两边是连接这两个顶点的折线，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”，可得两边长度之和大于第三边长度。
2. 结论：三角形的任意两边之差小于第三边。
证明：设三角形三边长分别为a、b、c，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$a+b＞c$，$a+c＞b$，$b+c＞a$
根据不等式的基本性质移项得：
$a＞c-b$，$b＞c-a$，$a＞b-c$，$c＞b-a$，$b＞a-c$，$c＞a-b$
即三角形任意两边之差小于第三边。
【答案】
1.（1）不是 （2）任意两条线段之和大于第三条线段的长 三角形的任意两边之和大于第三边 两点之间的所有连线中,线段最短 2. 三角形的任意两边之差小于第三边,证明略
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 两点之间线段最短
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础探究题，引导学生通过动手尝试、逻辑推导掌握核心结论，是后续解决三角形边长判断、边长计算等问题的基础。解题时要注意“任意”二字的要求，判断三条线段能否围成三角形时，可简便验证较短两条线段之和大于最长线段即可。
【难度系数】
0.8
活动三:做一做,想一想
1. 如图1-2,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,通过动手操作比较$∠ B$和$∠ C$的大小.
2. 通过刚才的探究,你发现了怎样的结论？
1. 如图1-2,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,通过动手操作比较$∠ B$和$∠ C$的大小.
2. 通过刚才的探究,你发现了怎样的结论？
答案
1. ∠C＞∠B 2. 在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大
解析
【分析】
对于第1问，我们可以通过两种动手操作的思路比较角的大小：一是直接测量法，用量角器分别测量两个角的度数，直接对比数值大小；二是折叠法，利用AB＞AC的条件，通过折叠将AC边重合到AB边上，结合三角形外角的性质推导角的大小关系。对于第2问，结合第1问的操作和结论，观察边的大小与它所对的角的大小的对应关系，归纳出普遍规律即可。
【解析】
1. 方法1（测量法）：取量角器分别测量∠B和∠C的度数，对比测量结果可得∠C的度数大于∠B的度数，即$\boldsymbol{∠C＞∠B}$。
方法2（折叠法）：以∠BAC的角平分线所在直线为折痕折叠△ABC，使AC边落在AB边上，由于AB＞AC，点C会落在AB边内部的点D处，连接CD。由折叠的性质可得∠ACD=∠ADC；又因为∠ADC是△BCD的外角，根据“三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角”，可得∠ADC＞∠B，因此∠ACD＞∠B；而∠ACB＞∠ACD，综上可推出∠ACB＞∠B，即$\boldsymbol{∠C＞∠B}$。
2. 观察第1问的结论：在△ABC中，AB是∠C的对边，AC是∠B的对边，已知AB＞AC，推导得∠C＞∠B，因此可归纳出结论：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。
【答案】
1. $\boldsymbol{∠C＞∠B}$
2. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大
【知识点】
角的大小比较、三角形外角性质、三角形大边对大角
【点评】
本题通过动手实践的方式探究三角形边与角的不等关系，既能提升实践操作能力，也能直观建立边与角的对应规律认知，为后续三角形相关性质的学习做铺垫。
【难度系数】
0.85
对于第1问，我们可以通过两种动手操作的思路比较角的大小：一是直接测量法，用量角器分别测量两个角的度数，直接对比数值大小；二是折叠法，利用AB＞AC的条件，通过折叠将AC边重合到AB边上，结合三角形外角的性质推导角的大小关系。对于第2问，结合第1问的操作和结论，观察边的大小与它所对的角的大小的对应关系，归纳出普遍规律即可。
【解析】
1. 方法1（测量法）：取量角器分别测量∠B和∠C的度数，对比测量结果可得∠C的度数大于∠B的度数，即$\boldsymbol{∠C＞∠B}$。
方法2（折叠法）：以∠BAC的角平分线所在直线为折痕折叠△ABC，使AC边落在AB边上，由于AB＞AC，点C会落在AB边内部的点D处，连接CD。由折叠的性质可得∠ACD=∠ADC；又因为∠ADC是△BCD的外角，根据“三角形的外角大于任意一个和它不相邻的内角”，可得∠ADC＞∠B，因此∠ACD＞∠B；而∠ACB＞∠ACD，综上可推出∠ACB＞∠B，即$\boldsymbol{∠C＞∠B}$。
2. 观察第1问的结论：在△ABC中，AB是∠C的对边，AC是∠B的对边，已知AB＞AC，推导得∠C＞∠B，因此可归纳出结论：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。
【答案】
1. $\boldsymbol{∠C＞∠B}$
2. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大
【知识点】
角的大小比较、三角形外角性质、三角形大边对大角
【点评】
本题通过动手实践的方式探究三角形边与角的不等关系，既能提升实践操作能力，也能直观建立边与角的对应规律认知，为后续三角形相关性质的学习做铺垫。
【难度系数】
0.85
