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二、填空题
4. 如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为 $4π$ 的圆，那么它的左视图的高是
4. 如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为 $4π$ 的圆，那么它的左视图的高是
$2\sqrt{3}$
。答案
4. $2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：第一步，先根据俯视图的圆面积求出圆锥底面圆的半径；第二步，结合主视图是等边三角形的条件，得出等边三角形的边长等于底面圆的直径，即圆锥的母线长等于底面直径；第三步，明确左视图的高就是圆锥的高线，最终利用勾股定理或等边三角形高的计算公式求出结果即可。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$ r $：
1. 由俯视图是面积为$ 4π $的圆，根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，可得：
$ π r^2 = 4π $，解得$ r=2 $（半径为正数，舍去负解），因此底面圆的直径为$ 2r=4 $。
2. 因为圆锥的主视图是等边三角形，所以等边三角形的边长等于底面圆的直径，即圆锥的母线长$ l=4 $。
3. 圆锥左视图的高就是圆锥的高线，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，根据勾股定理：
$ h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥的三视图；圆的面积计算；勾股定理
【点评】
本题属于三视图与立体几何结合的基础题，解题的核心是明确圆锥各部分参数与三视图对应边长的关系，计算量小，是三视图类题型的常考方向。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：第一步，先根据俯视图的圆面积求出圆锥底面圆的半径；第二步，结合主视图是等边三角形的条件，得出等边三角形的边长等于底面圆的直径，即圆锥的母线长等于底面直径；第三步，明确左视图的高就是圆锥的高线，最终利用勾股定理或等边三角形高的计算公式求出结果即可。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$ r $：
1. 由俯视图是面积为$ 4π $的圆，根据圆的面积公式$ S=π r^2 $，可得：
$ π r^2 = 4π $，解得$ r=2 $（半径为正数，舍去负解），因此底面圆的直径为$ 2r=4 $。
2. 因为圆锥的主视图是等边三角形，所以等边三角形的边长等于底面圆的直径，即圆锥的母线长$ l=4 $。
3. 圆锥左视图的高就是圆锥的高线，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，根据勾股定理：
$ h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥的三视图；圆的面积计算；勾股定理
【点评】
本题属于三视图与立体几何结合的基础题，解题的核心是明确圆锥各部分参数与三视图对应边长的关系，计算量小，是三视图类题型的常考方向。
【难度系数】
0.7
5. 如图是由五个大小相同的小正方体堆成的立体图形，该立体图形右侧的图是它的
俯视图
。答案
5. 俯视图.
解析
【分析】
要判断该平面图形是立体图形的哪种视图，首先明确三视图的观察角度：主视图是从物体正前方观察得到的图形，左视图是从物体左侧观察得到的图形，俯视图是从物体正上方观察得到的图形。接下来逐一对比：先想象从正面看该立体，能看到下层3个小正方形、上层中间1个小正方形，和题图右侧图形不符；再想象从左面看，能看到下层2个小正方形、上层左侧1个小正方形，也和题图不符；最后想象从正上方往下看，能看到靠上一行3个横向排列的小正方形，靠下一行最右侧1个小正方形，和题图右侧图形完全匹配，即可判断视图类型。
【解析】
首先明确三视图的定义：
1. 主视图：从几何体正前方观察得到的平面图形，该立体的主视图为下层3个小正方形横向排列，上层中间有1个小正方形，与题图右侧图形不符；
2. 左视图：从几何体左侧观察得到的平面图形，该立体的左视图为下层2个小正方形横向排列，上层左侧有1个小正方形，与题图右侧图形不符；
3. 俯视图：从几何体正上方观察得到的平面图形，该立体的俯视图为上方一行3个小正方形横向排列，下方一行最右侧有1个小正方形，与题图右侧图形完全一致。
因此该图是立体图形的俯视图。
【答案】
俯视图
【知识点】
1. 几何体三视图
2. 视图识别
【点评】
本题是三视图识别的基础题，主要考查学生对几何体不同方向投影的掌握，解题时可通过空间想象，或逐行逐列统计正方形的位置和数量的方法快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断该平面图形是立体图形的哪种视图，首先明确三视图的观察角度：主视图是从物体正前方观察得到的图形，左视图是从物体左侧观察得到的图形，俯视图是从物体正上方观察得到的图形。接下来逐一对比：先想象从正面看该立体，能看到下层3个小正方形、上层中间1个小正方形，和题图右侧图形不符；再想象从左面看，能看到下层2个小正方形、上层左侧1个小正方形，也和题图不符；最后想象从正上方往下看，能看到靠上一行3个横向排列的小正方形，靠下一行最右侧1个小正方形，和题图右侧图形完全匹配，即可判断视图类型。
【解析】
首先明确三视图的定义：
1. 主视图：从几何体正前方观察得到的平面图形，该立体的主视图为下层3个小正方形横向排列，上层中间有1个小正方形，与题图右侧图形不符；
2. 左视图：从几何体左侧观察得到的平面图形，该立体的左视图为下层2个小正方形横向排列，上层左侧有1个小正方形，与题图右侧图形不符；
3. 俯视图：从几何体正上方观察得到的平面图形，该立体的俯视图为上方一行3个小正方形横向排列，下方一行最右侧有1个小正方形，与题图右侧图形完全一致。
因此该图是立体图形的俯视图。
【答案】
俯视图
【知识点】
1. 几何体三视图
2. 视图识别
【点评】
本题是三视图识别的基础题，主要考查学生对几何体不同方向投影的掌握，解题时可通过空间想象，或逐行逐列统计正方形的位置和数量的方法快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标的数据，这个几何体的体积为
$18π$
.答案
6. $18π$.
解析
【分析】
解题时第一步需要根据三视图的特征还原几何体：主视图和左视图为矩形、俯视图为带圆心的圆，符合圆柱的三视图特征，因此该几何体是圆柱。第二步回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积等于底面积乘高，公式为$V=π r^2 h$，其中$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。第三步需要从三视图标注的数据中提取底面圆的半径和圆柱的高，代入公式计算即可得到体积。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为圆柱。
根据图中标注的数据，可得圆柱的底面半径$r=3$，高$h=2$。
根据圆柱体积公式：
$V = S_{\mathrm{底}} × h = π r^2 h$
代入数据计算：
$V = π × 3^2 × 2 = 18π$
【答案】
$18π$
【知识点】
三视图还原几何体；圆柱体积计算
【点评】
本题主要考查三视图的识别和几何体体积的计算，解题的核心是正确判断几何体的形状，准确从三视图中提取所需的几何参数，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.75
解题时第一步需要根据三视图的特征还原几何体：主视图和左视图为矩形、俯视图为带圆心的圆，符合圆柱的三视图特征，因此该几何体是圆柱。第二步回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积等于底面积乘高，公式为$V=π r^2 h$，其中$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。第三步需要从三视图标注的数据中提取底面圆的半径和圆柱的高，代入公式计算即可得到体积。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为圆柱。
根据图中标注的数据，可得圆柱的底面半径$r=3$，高$h=2$。
根据圆柱体积公式：
$V = S_{\mathrm{底}} × h = π r^2 h$
代入数据计算：
$V = π × 3^2 × 2 = 18π$
【答案】
$18π$
【知识点】
三视图还原几何体；圆柱体积计算
【点评】
本题主要考查三视图的识别和几何体体积的计算，解题的核心是正确判断几何体的形状，准确从三视图中提取所需的几何参数，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.75
7. 一个直四棱柱的三视图及有关数据(单位：cm)如图所示. 若其俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为
80
cm².答案
7. 80.
解析
【分析】
要计算直四棱柱的侧面积，首先明确直四棱柱侧面积公式为：侧面积=底面周长×侧棱长（高）。首先需要先求底面菱形的边长：由三视图可知，俯视图菱形的两条对角线长分别对应主视图的底边长4cm和左视图的底边长3cm，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理算出菱形边长，即可得到底面周长，再乘以侧棱长8cm就能求出侧面积。
【解析】
1. 确定底面菱形的对角线长度：由三视图可得，俯视图菱形的两条对角线长分别为4cm、3cm。
2. 计算菱形的边长：菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为$4÷2=2\mathrm{cm}$、$3÷2=1.5\mathrm{cm}$，根据勾股定理，菱形边长$a=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5\mathrm{cm}$。
3. 计算底面周长：菱形四条边长度相等，因此底面周长$C=4×2.5=10\mathrm{cm}$。
4. 计算侧面积：直四棱柱的侧棱长为8cm，侧面积$S=C× h=10×8=80\mathrm{cm}^2$。
【答案】
80
【知识点】
三视图识别，菱形的性质，直棱柱侧面积计算
【点评】
本题结合三视图考查几何图形的性质和侧面积计算，解题的关键是根据三视图准确提取底面菱形的对角线长度，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算直四棱柱的侧面积，首先明确直四棱柱侧面积公式为：侧面积=底面周长×侧棱长（高）。首先需要先求底面菱形的边长：由三视图可知，俯视图菱形的两条对角线长分别对应主视图的底边长4cm和左视图的底边长3cm，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理算出菱形边长，即可得到底面周长，再乘以侧棱长8cm就能求出侧面积。
【解析】
1. 确定底面菱形的对角线长度：由三视图可得，俯视图菱形的两条对角线长分别为4cm、3cm。
2. 计算菱形的边长：菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为$4÷2=2\mathrm{cm}$、$3÷2=1.5\mathrm{cm}$，根据勾股定理，菱形边长$a=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5\mathrm{cm}$。
3. 计算底面周长：菱形四条边长度相等，因此底面周长$C=4×2.5=10\mathrm{cm}$。
4. 计算侧面积：直四棱柱的侧棱长为8cm，侧面积$S=C× h=10×8=80\mathrm{cm}^2$。
【答案】
80
【知识点】
三视图识别，菱形的性质，直棱柱侧面积计算
【点评】
本题结合三视图考查几何图形的性质和侧面积计算，解题的关键是根据三视图准确提取底面菱形的对角线长度，熟练掌握相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图是所给三棱柱的三视图，若在$△ PMN$中，$∠ MPN=90°$，$PN=4$，$\sin∠ PMN=\frac{4}{5}$，则$EH=$
$\frac{12}{5}$
。答案
8. $\frac{12}{5}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确三视图的对应关系：左视图的边EH的长度等于俯视图中Rt△PMN斜边MN上的高。解题时先在Rt△PMN中利用正弦三角函数的定义求出斜边MN的长度，再用勾股定理求出另一条直角边PM的长度，最后通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高，即可得到EH的值。
【解析】
在$Rt△ PMN$中，$∠ MPN=90°$，
由三角函数定义得：$\sin∠ PMN=\frac{PN}{MN}=\frac{4}{5}$，
已知$PN=4$，代入得$\frac{4}{MN}=\frac{4}{5}$，解得$MN=5$。
由勾股定理得：$PM=\sqrt{MN^2-PN^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设$Rt△ PMN$斜边$MN$上的高为$h$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}· PM· PN=\frac{1}{2}· MN· h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=\frac{12}{5}$。
根据三视图的对应规律，左视图的宽$EH$等于俯视图中$△ PMN$斜边$MN$上的高，因此$EH=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
三视图的对应关系、解直角三角形、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是建立三视图边长和俯视图三角形边长的对应关系，结合三角函数和面积法即可快速求解，易错点是容易混淆三视图对应的线段长度。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确三视图的对应关系：左视图的边EH的长度等于俯视图中Rt△PMN斜边MN上的高。解题时先在Rt△PMN中利用正弦三角函数的定义求出斜边MN的长度，再用勾股定理求出另一条直角边PM的长度，最后通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高，即可得到EH的值。
【解析】
在$Rt△ PMN$中，$∠ MPN=90°$，
由三角函数定义得：$\sin∠ PMN=\frac{PN}{MN}=\frac{4}{5}$，
已知$PN=4$，代入得$\frac{4}{MN}=\frac{4}{5}$，解得$MN=5$。
由勾股定理得：$PM=\sqrt{MN^2-PN^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
设$Rt△ PMN$斜边$MN$上的高为$h$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2}· PM· PN=\frac{1}{2}· MN· h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=\frac{12}{5}$。
根据三视图的对应规律，左视图的宽$EH$等于俯视图中$△ PMN$斜边$MN$上的高，因此$EH=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
三视图的对应关系、解直角三角形、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是建立三视图边长和俯视图三角形边长的对应关系，结合三角函数和面积法即可快速求解，易错点是容易混淆三视图对应的线段长度。
【难度系数】
0.6
