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1. 抛物线$y=2x^2$，$y=-2x^2 -1$，$y=-2x^2 +3$的共同性质有 （
A.开口向上；
B.顶点坐标是$(0,0)$；
C.对称轴是$y$轴；
D.在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
C
）A.开口向上；
B.顶点坐标是$(0,0)$；
C.对称轴是$y$轴；
D.在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
答案
1. C.
解析
【分析】
解题时先明确三个抛物线均为$y=ax^2+k(a≠0)$的形式，我们可以结合该类二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性四个核心性质，逐一验证每个选项是否对三个抛物线都成立，只要有一个抛物线不符合该选项描述就直接排除，最终选出三者共有的性质。
【解析】
我们先分别梳理三个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=2x^2$：$a=2＞0$，开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$x=0$（即$y$轴），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；
2. 抛物线$y=-2x^2-1$：$a=-2＜0$，开口向下，顶点坐标为$(0,-1)$，对称轴为$x=0$（即$y$轴），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；
3. 抛物线$y=-2x^2+3$：$a=-2＜0$，开口向下，顶点坐标为$(0,3)$，对称轴为$x=0$（即$y$轴），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
逐一判断选项：
A选项：后两个抛物线开口向下，不满足共同性质，排除；
B选项：后两个抛物线顶点坐标不是$(0,0)$，不满足共同性质，排除；
C选项：三个抛物线的对称轴均为$y$轴，是共同性质，符合要求；
D选项：后两个抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，不满足共同性质，排除。
由上述内容，选择C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数对称轴判断
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考题，解题时可先明确函数的形式，再对应参数逐一分析性质，用排除法能快速锁定正确答案，需要注意二次项系数$a$的符号对开口方向和增减性的影响。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三个抛物线均为$y=ax^2+k(a≠0)$的形式，我们可以结合该类二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性四个核心性质，逐一验证每个选项是否对三个抛物线都成立，只要有一个抛物线不符合该选项描述就直接排除，最终选出三者共有的性质。
【解析】
我们先分别梳理三个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=2x^2$：$a=2＞0$，开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$x=0$（即$y$轴），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；
2. 抛物线$y=-2x^2-1$：$a=-2＜0$，开口向下，顶点坐标为$(0,-1)$，对称轴为$x=0$（即$y$轴），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小；
3. 抛物线$y=-2x^2+3$：$a=-2＜0$，开口向下，顶点坐标为$(0,3)$，对称轴为$x=0$（即$y$轴），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
逐一判断选项：
A选项：后两个抛物线开口向下，不满足共同性质，排除；
B选项：后两个抛物线顶点坐标不是$(0,0)$，不满足共同性质，排除；
C选项：三个抛物线的对称轴均为$y$轴，是共同性质，符合要求；
D选项：后两个抛物线在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，不满足共同性质，排除。
由上述内容，选择C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数对称轴判断
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考题，解题时可先明确函数的形式，再对应参数逐一分析性质，用排除法能快速锁定正确答案，需要注意二次项系数$a$的符号对开口方向和增减性的影响。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=-x^2+3$的图像大致是 （
A. B. C. D.
C
）A. B. C. D.
答案
2. C.
解析
【分析】
解题时可通过两步筛选正确选项：首先根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，排除开口方向错误的选项；再根据解析式确定抛物线的对称轴和顶点位置，进一步排除不符合特征的选项，即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 判断开口方向：本题函数为$y=-x^2+3$，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，可直接排除开口向上的A、B选项；
2. 判断对称轴与顶点：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,3)$，位于y轴正半轴。观察剩余的C、D选项，D选项的抛物线对称轴在y轴左侧，不符合特征，排除D选项。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数开口方向判断；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数图像类基础题，主要考查$y=ax^2+k$型二次函数的图像特征，掌握二次项系数对开口方向的影响、解析式对应的对称轴与顶点位置的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时可通过两步筛选正确选项：首先根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，排除开口方向错误的选项；再根据解析式确定抛物线的对称轴和顶点位置，进一步排除不符合特征的选项，即可得出答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 判断开口方向：本题函数为$y=-x^2+3$，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，可直接排除开口向上的A、B选项；
2. 判断对称轴与顶点：该函数属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,3)$，位于y轴正半轴。观察剩余的C、D选项，D选项的抛物线对称轴在y轴左侧，不符合特征，排除D选项。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数开口方向判断；二次函数对称轴；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数图像类基础题，主要考查$y=ax^2+k$型二次函数的图像特征，掌握二次项系数对开口方向的影响、解析式对应的对称轴与顶点位置的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 在同一平面直角坐标系中，图像与$y=2x^2+1$的图像关于$x$轴对称的函数为（
A.$y=-2x^2+1$；
B.$y=-2x^2-1$；
C.$y=-\frac{1}{2}x^2-1$；
D.$y=-2x^2$。
B
）A.$y=-2x^2+1$；
B.$y=-2x^2-1$；
C.$y=-\frac{1}{2}x^2-1$；
D.$y=-2x^2$。
答案
3. B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。函数图像由无数个点构成，因此两个函数图像关于x轴对称时，所求函数上任意一点(x,y)的对称点(x,-y)一定在原函数图像上，将对称点坐标代入原函数解析式整理，即可得到所求函数的解析式。
【解析】
设所求函数图像上任意一点的坐标为(x,y)，则该点关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
∵两个函数图像关于x轴对称，
∴点(x,-y)在函数$y=2x^2+1$的图像上，将其代入原函数解析式可得：
$-y=2x^2+1$
等式两边同时乘$-1$整理得：
$y=-2x^2-1$
因此符合要求的函数为$y=-2x^2-1$。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；二次函数图像的对称变换
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，解题核心是掌握坐标对称的变换规则，易错点是容易遗漏常数项的符号变化，熟练掌握对称点的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数。函数图像由无数个点构成，因此两个函数图像关于x轴对称时，所求函数上任意一点(x,y)的对称点(x,-y)一定在原函数图像上，将对称点坐标代入原函数解析式整理，即可得到所求函数的解析式。
【解析】
设所求函数图像上任意一点的坐标为(x,y)，则该点关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
∵两个函数图像关于x轴对称，
∴点(x,-y)在函数$y=2x^2+1$的图像上，将其代入原函数解析式可得：
$-y=2x^2+1$
等式两边同时乘$-1$整理得：
$y=-2x^2-1$
因此符合要求的函数为$y=-2x^2-1$。
【答案】
B
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；二次函数图像的对称变换
【点评】
本题考查二次函数的轴对称变换，解题核心是掌握坐标对称的变换规则，易错点是容易遗漏常数项的符号变化，熟练掌握对称点的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 -6$ 的开口向
4. 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2 -6$ 的开口向
下
，对称轴是$y$轴
，顶点是$(0,-6)$
。答案
4. 下；$y$轴；$(0,-6)$.
解析
【分析】
拿到这道题首先识别抛物线解析式属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊顶点式，按照三步思考：①判断开口方向：由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②找对称轴：该类无一次项的二次函数，对称轴是直线$x=0$即$y$轴；③求顶点：将对称轴对应的$x=0$代入解析式求出$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -6$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 解析式中不含$x$的一次项，对应对称轴为直线$x=0$，也就是$y$轴；
3. 把$x=0$代入解析式，得$y=-6$，因此顶点坐标为$(0,-6)$。
【答案】
下；$y$轴；$(0,-6)$
【知识点】
1.二次函数图像性质 2.开口方向判断 3.顶点与对称轴确定
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础考查题，只要熟记二次项系数符号、解析式形式与图像特征的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先识别抛物线解析式属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊顶点式，按照三步思考：①判断开口方向：由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②找对称轴：该类无一次项的二次函数，对称轴是直线$x=0$即$y$轴；③求顶点：将对称轴对应的$x=0$代入解析式求出$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 -6$：
1. 二次项系数$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 解析式中不含$x$的一次项，对应对称轴为直线$x=0$，也就是$y$轴；
3. 把$x=0$代入解析式，得$y=-6$，因此顶点坐标为$(0,-6)$。
【答案】
下；$y$轴；$(0,-6)$
【知识点】
1.二次函数图像性质 2.开口方向判断 3.顶点与对称轴确定
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础考查题，只要熟记二次项系数符号、解析式形式与图像特征的对应关系，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
5. 将$y=-3x^2$的图像向上平移2个单位，得到抛物线
$y=-3x^2+2$
。答案
5. $y=-3x^2+2$.
解析
【分析】
解决本题需要用到二次函数图像上下平移的规律，首先明确函数图像上下平移时，变化的是所有点的纵坐标，遵循“上加下减”的原则：向上平移n个单位，就在原函数解析式的末尾加n；向下平移n个单位，就在原函数解析式的末尾减n。本题是向上平移2个单位，因此只需在原函数解析式的基础上加上2即可得到新的抛物线解析式。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-3x^2$，根据二次函数上下平移“上加下减”的规律：
将图像向上平移2个单位，即给原函数的整体函数值加2，因此平移后得到的抛物线解析式为：
$y=-3x^2+2$
【答案】
$y=-3x^2+2$
【知识点】
二次函数图像平移；函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对二次函数平移规律的掌握，牢记平移法则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题需要用到二次函数图像上下平移的规律，首先明确函数图像上下平移时，变化的是所有点的纵坐标，遵循“上加下减”的原则：向上平移n个单位，就在原函数解析式的末尾加n；向下平移n个单位，就在原函数解析式的末尾减n。本题是向上平移2个单位，因此只需在原函数解析式的基础上加上2即可得到新的抛物线解析式。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-3x^2$，根据二次函数上下平移“上加下减”的规律：
将图像向上平移2个单位，即给原函数的整体函数值加2，因此平移后得到的抛物线解析式为：
$y=-3x^2+2$
【答案】
$y=-3x^2+2$
【知识点】
二次函数图像平移；函数平移“上加下减”法则
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对二次函数平移规律的掌握，牢记平移法则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6. 将$y=2x^2$的图像向
下
平移4
个单位，得到抛物线$y=2(x^2 - 2)$。答案
6. 下；4.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图像平移的核心规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，第一步先将目标抛物线的解析式展开化简，整理为和原抛物线结构一致的形式，再对比两个解析式的差异：若自变量x没有发生加减变化，说明是上下平移，再通过常数项的变化量判断平移方向和单位长度。
【解析】
首先化简目标抛物线的解析式：
$y=2(x^2 - 2) = 2x^2 - 4$
已知原抛物线解析式为$y=2x^2$，根据二次函数上下平移规律：将抛物线向下平移$n$个单位，解析式变为$y=$原解析式$-n$。
对比两个解析式可知，$y=2x^2 - 4$是由$y=2x^2$向下平移4个单位得到的。
【答案】
下；4
【知识点】
1. 二次函数图像平移规律
2. 整式化简
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，易错点是容易混淆式子结构，误将$x^2-2$当成$(x-2)^2$错判为左右平移，解题时先统一两个函数的结构形式，再对应平移规律判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数图像平移的核心规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，第一步先将目标抛物线的解析式展开化简，整理为和原抛物线结构一致的形式，再对比两个解析式的差异：若自变量x没有发生加减变化，说明是上下平移，再通过常数项的变化量判断平移方向和单位长度。
【解析】
首先化简目标抛物线的解析式：
$y=2(x^2 - 2) = 2x^2 - 4$
已知原抛物线解析式为$y=2x^2$，根据二次函数上下平移规律：将抛物线向下平移$n$个单位，解析式变为$y=$原解析式$-n$。
对比两个解析式可知，$y=2x^2 - 4$是由$y=2x^2$向下平移4个单位得到的。
【答案】
下；4
【知识点】
1. 二次函数图像平移规律
2. 整式化简
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，易错点是容易混淆式子结构，误将$x^2-2$当成$(x-2)^2$错判为左右平移，解题时先统一两个函数的结构形式，再对应平移规律判断即可。
【难度系数】
0.7
7. 抛物线 $ y = -2x^2 + 1 $ 上有两点 $ (x_1, y_1) $、$ (x_2, y_2) $。若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $，则 $ y_1 $
＜
$ y_2 $。（填“＜”、“＞”或“=”）答案
7. ＜.
解析
【分析】
要判断两个点的函数值大小，首先分析给定抛物线的基本性质：对于二次函数$y=ax^2+h$，对称轴为y轴（$x=0$），当$a＜0$时抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$的区域）$y$随$x$的增大而减小。结合题目给出的$x_1＞x_2＞0$的条件，就可以根据增减性推导$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2+1$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 根据二次函数增减性：开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$x_1＞x_2＞0$，两个点都在对称轴右侧，且$x_1$更大，因此对应的函数值$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1.二次函数增减性 2.抛物线图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确抛物线的开口方向、对称轴，再结合自变量的取值范围判断函数值大小，掌握二次函数的增减性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断两个点的函数值大小，首先分析给定抛物线的基本性质：对于二次函数$y=ax^2+h$，对称轴为y轴（$x=0$），当$a＜0$时抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$的区域）$y$随$x$的增大而减小。结合题目给出的$x_1＞x_2＞0$的条件，就可以根据增减性推导$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2+1$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴）；
2. 根据二次函数增减性：开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$x_1＞x_2＞0$，两个点都在对称轴右侧，且$x_1$更大，因此对应的函数值$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1.二次函数增减性 2.抛物线图像性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确抛物线的开口方向、对称轴，再结合自变量的取值范围判断函数值大小，掌握二次函数的增减性是解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 若抛物线 $ y=2x^2 $ 与抛物线 $ y=ax^2+2 $ 的开口方向和开口大小相同，则 $ a= $
2
.答案
8. 2.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次函数中二次项系数$a$的作用：$a$的符号决定抛物线的开口方向，$|a|$的大小决定抛物线的开口大小。当两个抛物线的开口方向和开口大小都相同时，它们的二次项系数相等，结合题中给出的已知抛物线的系数，即可求出$a$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向，$|a|$的大小决定抛物线的开口大小。
已知抛物线$y=2x^2$的二次项系数为2，它和抛物线$y=ax^2+2$的开口方向、开口大小均相同，因此二者的二次项系数相等，即$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次项系数的几何意义
2. 抛物线开口性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次函数中二次项系数对抛物线开口特征的影响，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先需要明确二次函数中二次项系数$a$的作用：$a$的符号决定抛物线的开口方向，$|a|$的大小决定抛物线的开口大小。当两个抛物线的开口方向和开口大小都相同时，它们的二次项系数相等，结合题中给出的已知抛物线的系数，即可求出$a$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，二次项系数$a$的符号决定抛物线的开口方向，$|a|$的大小决定抛物线的开口大小。
已知抛物线$y=2x^2$的二次项系数为2，它和抛物线$y=ax^2+2$的开口方向、开口大小均相同，因此二者的二次项系数相等，即$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次项系数的几何意义
2. 抛物线开口性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次函数中二次项系数对抛物线开口特征的影响，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
