1. 如图,在$△ ABD$中,$AD=AB$,$∠ DAB=90°$,在$△ ACE$中,$AC=AE$,$∠ EAC=90°$,$CD$,$BE$相交于点$F$,有下列四个结论:
①$DC=BE$,②$∠ BDC=∠ BEC$,③$DC⊥ BE$,④$FA$平分$∠ DFE$,其中,正确的结论有 ()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

1.B

【分析】
本题是共顶点等腰直角三角形的手拉手模型类题目，解题思路如下：首先观察到△DAB和△EAC是共顶点A的等腰直角三角形，可先通过SAS证明△DAC≌△BAE，利用全等性质直接判断结论①；再通过全等的对应角相等结合对顶角性质，推导夹角为90°判断结论③；对于结论②，结合等腰直角三角形的45°底角，可发现该结论仅特殊情况成立，普遍不成立；对于结论④，利用全等三角形面积相等、对应边相等，推导得到A到DC、BE的距离相等，结合角平分线的判定定理即可判断。
【解析】
解：逐一分析结论：
1. 判断①：
∵∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即$∠ DAC=∠ BAE$，
又
∵$AD=AB$，$AC=AE$，
∴$△ DAC≌△ BAE$（SAS），
∴$DC=BE$，故①正确。
2. 判断②：
∵△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，
∴$∠ ADB=∠ AEC=45°$，
由△DAC≌△BAE得$∠ ADC=∠ ABE$，若$∠ BDC=∠ BEC$，则需$∠ ADC=∠ AEB$，该关系并非普遍成立，故②错误。
3. 判断③：
设AB与DC交于点G，
∵△DAC≌△BAE，
∴$∠ ADC=∠ ABE$，
又
∵$∠ DGA=∠ BGF$（对顶角相等），
在△DGA中$∠ ADC+∠ DGA+90°=180°$，在△BGF中$∠ ABE+∠ BGF+∠ BFG=180°$，
∴$∠ BFG=90°$，即$DC⊥BE$，故③正确。
4. 判断④：
过点A作$AM⊥DC$于M，$AN⊥BE$于N，
∵△DAC≌△BAE，
∴$S_{△ DAC}=S_{△ BAE}$，
又
∵$DC=BE$，
∴$\frac{1}{2}DC· AM=\frac{1}{2}BE· AN$，得$AM=AN$，
∵AM、AN分别是点A到∠DFE两边的距离，
∴FA平分∠DFE，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型考题，解题核心是先识别共顶点等角的全等三角形，再利用全等的性质推导边、角关系，判断结论时要注意区分普遍成立和仅特殊情况成立的结论，避免惯性思维出错。
【难度系数】
0.6

2.如图,在$△ ABC$中,分别以$AC$、$BC$为边作等边三角形$ACD$和等边三角形$BCE$,连接$AE$、$BD$交于点$O$,则$∠ AOB$的度数为________.

2.$120°$

【分析】
看到题目中出现两个共顶点的等边三角形，首先想到等边三角形三边相等、内角为60°的性质，尝试证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和或对顶角的性质推导所求角的度数。第一步：根据等边三角形性质得到边相等和角相等，推出两个三角形全等的条件；第二步：证明全等后得到对应角相等；第三步：利用三角形内角和与对顶角相等推导∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD + ∠ACB = ∠BCE + ∠ACB，即∠DCB=∠ACE，
在△DCB和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AC=DC\\∠DCB=∠ACE\\BC=EC\end{array} $
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，
设AC与BD交于点H，在△DCH和△OAH中：
∠CDH=∠OAH，∠DHC=∠AHO（对顶角相等），
∴∠AOH=∠DCH=60°（三角形内角和为180°，两组角对应相等则第三组角相等），
∴∠AOB=180° - ∠AOH=180° - 60°=120°。
【答案】
$120°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于典型的“手拉手”全等模型问题，解题的核心是利用等边三角形的性质构造全等三角形，再通过角的等量代换推导所求角度，熟练掌握全等三角形的判定方法和特殊三角形的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7

3.如图,C是线段BA上方一点,以AB,AC为边,分别在AB上方,AC左侧作等边△ABD,△ACE,连接CD,连接BE并延长交CD于点H.求证:∠BHD=60°.

3. 证明: $\because △ ABD, △ ACE$ 均为等边三角形, $\therefore AB = AD, AE = AC$,$∠ CAE=∠ DAB=60°, \therefore ∠ CAE-∠ DAE = ∠ DAB - ∠ DAE$, 即$∠ CAD = ∠ EAB$. 在 $△ CAD$ 和 $△ EAB$ 中, $\begin{cases} AC=AE, \\ ∠ CAD=∠ EAB, \\ AD=AB, \end{cases}$ $\therefore △ CAD ≌ △ EAB, (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ ADC = ∠ ABE. \because ∠ ABE + ∠ DBH + ∠ BDA=120°, \therefore ∠ ADC + ∠ DBH + ∠ BDA = ∠ BDH + ∠ DBH = 120°, \therefore ∠ BHD=180°-(∠ BDH+∠ DBH)=180°-120°=60°.$

【分析】
要证明∠BHD=60°，可按以下思路推导：首先利用等边三角形的性质，得到两组相等的边以及60°的内角，通过角的和差运算推出△CAD和△EAB的夹角相等，即可用SAS证明两三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，将角进行等量代换，得到△BDH中两个内角的和为120°，最后结合三角形内角和为180°，即可求出∠BHD的度数。
【解析】
证明：$\because △ ABD, △ ACE$ 均为等边三角形，
$\therefore AB = AD, AE = AC$,$∠ CAE=∠ DAB=60°$,
$\therefore ∠ CAE-∠ DAE = ∠ DAB - ∠ DAE$，即$∠ CAD = ∠ EAB$.
在 $△ CAD$ 和 $△ EAB$ 中，
$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠ CAD=∠ EAB, \\ AD=AB, \end{cases}$
$\therefore △ CAD ≌ △ EAB (\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ADC = ∠ ABE$.
$\because ∠ ABE + ∠ DBH + ∠ BDA=120°$,
$\therefore ∠ ADC + ∠ DBH + ∠ BDA = ∠ BDH + ∠ DBH = 120°$,
$\therefore ∠ BHD=180°-(∠ BDH+∠ DBH)=180°-120°=60°.$
【答案】
$∠BHD=60°$，得证。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是手拉手全等模型的典型应用，解题关键是借助等边三角形的性质找到全等三角形的边角条件，再通过角的等量代换结合内角和定理求解角度，有助于提升图形观察能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$是两个全等的等腰三角形，$AB=AC=AD=AE$. 延长$BD$、$EC$交于点$F$.
(1)求$∠ BAC$与$∠ F$之间的数量关系；
(2)证明：$△ BCF ≌ △ EDF$.

4. (1) 解: $\because ∠ BAC = ∠ DAE, \therefore ∠ BAD=∠ CAE, \because AB=AC=AD=AE, \therefore △ BAD ≌ △ CAE, (\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ACE = ∠ ABD, \because ∠ ACE + ∠ ACF=180°, \therefore ∠ ABF + ∠ ACF=180°, \therefore ∠ F + ∠ BAC=180°.$
(2) 证明: 由(1) 可知: $∠ ABD = ∠ AEC, \because ∠ ABC = ∠ AED, \therefore ∠ CBF = ∠ DEF, \because ∠ F = ∠ F, BC = ED, \therefore △ BCF ≌ △ EDF. (\mathrm{AAS})$

【分析】
(1) 求解∠BAC与∠F的数量关系时，首先利用两个全等等腰三角形的顶角相等，通过角的和差推导得到相等的夹角∠BAD=∠CAE，结合已知边相等的条件用SAS证明△BAD≌△CAE，得到对应角相等，再结合平角定义和四边形内角和定理，即可推出两个角的数量关系。
(2) 证明△BCF≌△EDF时，首先借助(1)的全等结论得到一组角相等，再结合等腰三角形底角相等的性质，推导得到△BCF和△EDF的一组对应角相等，结合公共角和全等三角形对应边相等的条件，即可用AAS完成全等证明。
【解析】
(1) 解：$\because △ ABC$和$△ ADE$是全等的等腰三角形，
$\therefore ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ DAC = ∠ DAE + ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
又$\because AB=AC=AD=AE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ ABD$，
$\because ∠ ACE + ∠ ACF=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ ABD + ∠ ACF=180°$，即$∠ ABF + ∠ ACF=180°$，
$\because$ 四边形$ABFC$内角和为$360°$，
$\therefore ∠ ABF + ∠ ACF + ∠ BAC + ∠ F=360°$，
代入得$180° + ∠ BAC + ∠ F=360°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ F=180°$。
(2) 证明：由(1)中$△ BAD ≌ △ CAE$可得$∠ ABD = ∠ AEC$，
$\because △ ABC$和$△ ADE$是全等的等腰三角形，
$\therefore ∠ ABC = ∠ AED$，$BC=DE$，
$\therefore ∠ ABC - ∠ ABD = ∠ AED - ∠ AEC$，即$∠ CBF = ∠ DEF$，
在$△ BCF$和$△ EDF$中：
$\begin{cases}∠ CBF=∠ DEF \\∠ F=∠ F \\BC=DE\end{cases}$
$\therefore △ BCF ≌ △ EDF(\mathrm{AAS})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BAC + ∠ F = 180°}$
(2) $△ BCF ≌ △ EDF$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，多边形内角和
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是利用角的和差关系挖掘全等三角形的判定条件，结合全等性质推导角的等量关系，能很好地考查对全等判定、等腰性质的掌握程度和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7