登录
【例1】在$△ ABC$中，$AB=AC=a$，$∠ B=15°$，则$△ ABC$的面积为（
A.$\frac{1}{2}a^2$
B.$\frac{1}{3}a^2$
C.$\frac{1}{4}a^2$
D.$a^2$
C
）A.$\frac{1}{2}a^2$
B.$\frac{1}{3}a^2$
C.$\frac{1}{4}a^2$
D.$a^2$
答案
解:如图
,过点B作BD⊥CA,交CA的延长线于点D,则∠BDA=90°.∵ AB = AC = a,∠ABC=15°,
∴ ∠C=∠ABC=15°.
∴ ∠DAB=∠ABC+∠C=30°.
∴ BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}a$.
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a^2$.
解析
【分析】
要求△ABC的面积，可利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$求解。已知腰长$AC=a$，可将AC作为底，只需计算AC边上的高即可。由于△ABC是等腰三角形，底角为15°，我们可以过B作CA延长线的垂线构造直角三角形，结合等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质，可得到含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出高，最后代入公式计算面积即可。
【解析】
如图，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，则∠BDA=90°。
∵ AB = AC = a，∠ABC=15°，
∴ ∠C=∠ABC=15°。
∴ ∠DAB=∠ABC+∠C=30°。
∴ 在$Rt△ ABD$中，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}a$。
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a^2$。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是合理添加辅助线构造含30°角的特殊直角三角形，将求三角形高的问题转化为特殊直角三角形的边长计算问题，考查了几何图形中辅助线的构造能力和基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，可利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$求解。已知腰长$AC=a$，可将AC作为底，只需计算AC边上的高即可。由于△ABC是等腰三角形，底角为15°，我们可以过B作CA延长线的垂线构造直角三角形，结合等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质，可得到含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出高，最后代入公式计算面积即可。
【解析】
如图
，过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，则∠BDA=90°。∵ AB = AC = a，∠ABC=15°，
∴ ∠C=∠ABC=15°。
∴ ∠DAB=∠ABC+∠C=30°。
∴ 在$Rt△ ABD$中，BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}a$。
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a=\frac{1}{4}a^2$。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是合理添加辅助线构造含30°角的特殊直角三角形，将求三角形高的问题转化为特殊直角三角形的边长计算问题，考查了几何图形中辅助线的构造能力和基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【例2】在$△ ABC$中，$AB=AC=15$，$AB$的垂直平分线$DE$分别交$AB$边，$AC$边于点$E$，$D$，连接$BD$.
(1)若$△ BCD$的周长为21，求$BC$的长；
(2)若$∠ A=42°$，求$∠ DBC$的度数.
作图区：
根据题补全图形：
答题区：
(1)若$△ BCD$的周长为21，求$BC$的长；
(2)若$∠ A=42°$，求$∠ DBC$的度数.
作图区：
根据题补全图形：
答题区：
答案
(1)解:
∵DE垂直平分AB,
∴AD=BD.
∵△BCD的周长=BD+CD+BC=21,
∴AC+BC=AD+CD+BC=21.又
∵AC=15,
∴BC=6.
(2)由(1)知AD=BD,
∴∠ABD=∠A=42°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$=69°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=69°-42°=27°.
作图参考
。解析
【分析】
(1) 解题时先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，将△BCD的周长中的BD替换为AD，可发现BD+CD=AD+CD=AC，结合已知的△BCD周长和AC的长度，即可求出BC的长。
(2) 由AD=BD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABD=∠A；再结合AB=AC，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠DBC的度数。
【解析】
(1)
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△BCD的周长为$BD+CD+BC=21$，
将BD替换为AD，可得$AD+CD+BC=21$，
又
∵$AD+CD=AC=15$，
∴$15+BC=21$，解得$BC=6$。
(2) 由(1)可知$AD=BD$，
∴$∠ ABD=∠ A=42°$（等边对等角）。
∵$AB=AC$，
∴△ABC为等腰三角形，底角$∠ ABC=∠ C$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-42°}{2}=69°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=69°-42°=27°$。
【答案】
(1) BC的长为6；
(2) ∠DBC的度数为27°。
作图参考。
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查等量转换的思维，通过线段垂直平分线和等腰三角形的性质实现线段、角度的等量代换，能帮助同学们巩固相关性质的应用，提升几何分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，将△BCD的周长中的BD替换为AD，可发现BD+CD=AD+CD=AC，结合已知的△BCD周长和AC的长度，即可求出BC的长。
(2) 由AD=BD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠ABD=∠A；再结合AB=AC，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，最后用∠ABC减去∠ABD即可得到∠DBC的度数。
【解析】
(1)
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△BCD的周长为$BD+CD+BC=21$，
将BD替换为AD，可得$AD+CD+BC=21$，
又
∵$AD+CD=AC=15$，
∴$15+BC=21$，解得$BC=6$。
(2) 由(1)可知$AD=BD$，
∴$∠ ABD=∠ A=42°$（等边对等角）。
∵$AB=AC$，
∴△ABC为等腰三角形，底角$∠ ABC=∠ C$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-42°}{2}=69°$，
∴$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=69°-42°=27°$。
【答案】
(1) BC的长为6；
(2) ∠DBC的度数为27°。
作图参考
。【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心考查等量转换的思维，通过线段垂直平分线和等腰三角形的性质实现线段、角度的等量代换，能帮助同学们巩固相关性质的应用，提升几何分析能力。
【难度系数】
0.7
【例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$,求顶角的度数.
动脑筋“想一想”：
等腰三角形的角满足什么条件,它的高在三角形内? 满足什么条件,高在三角形外?
作图区:
答题区:
动脑筋“想一想”：
等腰三角形的角满足什么条件,它的高在三角形内? 满足什么条件,高在三角形外?
作图区:
答题区:
答案
解:如图①
,当等腰三角形是钝角三角形时,顶角的度数为180°-(90°-40°)=130°; 如图②
,当等腰三角形是锐角三角形时,顶角的度数为90°-40°=50°.综上所述,顶角的度数为50°或130°.动脑筋答案：当等腰三角形的顶角小于90°时，腰上的高在三角形内；当等腰三角形的顶角大于90°时，腰上的高在三角形外。
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的顶角可能是锐角也可能是钝角，两种情况下一腰上的高的位置不同：锐角等腰三角形的腰上的高在三角形内部，钝角等腰三角形的腰上的高在三角形外部，需要分情况讨论。接下来结合直角三角形两锐角互余、邻补角的性质分别计算两种情况的顶角角度，最后汇总结果即可。动脑筋部分可结合高的位置和顶角的大小对应关系总结规律。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为钝角三角形时，如图①，一腰上的高落在三角形外部：
高与腰的夹角为40°，在高、腰构成的直角三角形中，剩余的锐角为$90°-40°=50°$，该角是等腰三角形顶角的邻补角，因此顶角的度数为$180°-50°=130°$。
2. 当等腰三角形为锐角三角形时，如图②，一腰上的高落在三角形内部：
高、腰构成直角三角形，顶角与40°角是该直角三角形的两个锐角，因此顶角的度数为$90°-40°=50°$。
综上，等腰三角形的顶角度数为$50°$或$130°$。
动脑筋部分：结合上述两种情况的图形特征，可直接总结高的位置和顶角大小的对应关系。
【答案】
解:如图①,当等腰三角形是钝角三角形时,顶角的度数为180°-(90°-40°)=130°; 如图②,当等腰三角形是锐角三角形时,顶角的度数为90°-40°=50°.综上所述,顶角的度数为50°或130°.
动脑筋答案：当等腰三角形的顶角小于90°时，腰上的高在三角形内；当等腰三角形的顶角大于90°时，腰上的高在三角形外。
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想，易错点是忽略顶角为钝角的情况，仅得到50°这一个结果，解题时要注意结合图形分析高的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形的顶角可能是锐角也可能是钝角，两种情况下一腰上的高的位置不同：锐角等腰三角形的腰上的高在三角形内部，钝角等腰三角形的腰上的高在三角形外部，需要分情况讨论。接下来结合直角三角形两锐角互余、邻补角的性质分别计算两种情况的顶角角度，最后汇总结果即可。动脑筋部分可结合高的位置和顶角的大小对应关系总结规律。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为钝角三角形时，如图①，一腰上的高落在三角形外部：
高与腰的夹角为40°，在高、腰构成的直角三角形中，剩余的锐角为$90°-40°=50°$，该角是等腰三角形顶角的邻补角，因此顶角的度数为$180°-50°=130°$。
2. 当等腰三角形为锐角三角形时，如图②，一腰上的高落在三角形内部：
高、腰构成直角三角形，顶角与40°角是该直角三角形的两个锐角，因此顶角的度数为$90°-40°=50°$。
综上，等腰三角形的顶角度数为$50°$或$130°$。
动脑筋部分：结合上述两种情况的图形特征，可直接总结高的位置和顶角大小的对应关系。
【答案】
解:如图①
,当等腰三角形是钝角三角形时,顶角的度数为180°-(90°-40°)=130°; 如图②,当等腰三角形是锐角三角形时,顶角的度数为90°-40°=50°.综上所述,顶角的度数为50°或130°.动脑筋答案：当等腰三角形的顶角小于90°时，腰上的高在三角形内；当等腰三角形的顶角大于90°时，腰上的高在三角形外。
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想，易错点是忽略顶角为钝角的情况，仅得到50°这一个结果，解题时要注意结合图形分析高的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
【例4】已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，E为BC边上一动点（不与点B，C重合），F为AC边上一动点，且∠AEF=30°，当△AEF为等腰三角形时，∠BEA的度数为
60°或105°
.答案
60°或105°
解析
【分析】
首先根据等腰△ABC的已知条件，先求出△ABC各内角的度数：∠B=∠C=30°，∠BAC=120°。已知△AEF为等腰三角形且∠AEF=30°，需分三种情况讨论等腰△AEF的腰的组合：①AE=AF；②AE=EF；③AF=EF，每种情况结合三角形内角和定理计算对应角的度数，最后舍去不符合“E不与B、C重合，F在AC上”的情况，即可得到∠BEA的度数。
【解析】
∵ AB=AC，∠B=30°
∴ ∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-2×30°=120°
已知△AEF为等腰三角形，且∠AEF=30°，分三种情况讨论：
1. 当AE=AF时：
∠AFE=∠AEF=30°，则∠EAF=180°-2×30°=120°
此时∠EAF与∠BAC重合，即点E与点B重合，不符合E不与B、C重合的条件，舍去该情况。
2. 当AE=EF时：
∠EAF=∠AFE，
∴ ∠EAF=(180°-30°)÷2=75°
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠EAF=120°-75°=45°
在△ABE中，∠BEA=180°-∠B-∠BAE=180°-30°-45°=105°，符合题意。
3. 当AF=EF时：
∠EAF=∠AEF=30°
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠EAF=120°-30°=90°
在△ABE中，∠BEA=180°-∠B-∠BAE=180°-30°-90°=60°，符合题意。
综上，∠BEA的度数为60°或105°。
【答案】
60°或105°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题核心是等腰三角形性质的灵活应用，解题时需对等腰三角形的腰进行全面分类讨论，同时要注意结合题目的限制条件舍去不合理解，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰△ABC的已知条件，先求出△ABC各内角的度数：∠B=∠C=30°，∠BAC=120°。已知△AEF为等腰三角形且∠AEF=30°，需分三种情况讨论等腰△AEF的腰的组合：①AE=AF；②AE=EF；③AF=EF，每种情况结合三角形内角和定理计算对应角的度数，最后舍去不符合“E不与B、C重合，F在AC上”的情况，即可得到∠BEA的度数。
【解析】
∵ AB=AC，∠B=30°
∴ ∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-2×30°=120°
已知△AEF为等腰三角形，且∠AEF=30°，分三种情况讨论：
1. 当AE=AF时：
∠AFE=∠AEF=30°，则∠EAF=180°-2×30°=120°
此时∠EAF与∠BAC重合，即点E与点B重合，不符合E不与B、C重合的条件，舍去该情况。
2. 当AE=EF时：
∠EAF=∠AFE，
∴ ∠EAF=(180°-30°)÷2=75°
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠EAF=120°-75°=45°
在△ABE中，∠BEA=180°-∠B-∠BAE=180°-30°-45°=105°，符合题意。
3. 当AF=EF时：
∠EAF=∠AEF=30°
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠EAF=120°-30°=90°
在△ABE中，∠BEA=180°-∠B-∠BAE=180°-30°-90°=60°，符合题意。
综上，∠BEA的度数为60°或105°。
【答案】
60°或105°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题核心是等腰三角形性质的灵活应用，解题时需对等腰三角形的腰进行全面分类讨论，同时要注意结合题目的限制条件舍去不合理解，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
动脑筋“想一想”：
将等腰三角形AEF按底边的不同考虑，
可分为哪几种情况？结合本题条件，画出的
图形有几种可能？
解析:在等腰三角形AEF中,当EF是底边
时,AE=AF,
∴∠AFE=∠AEF=30°.
∴∠EAF=180°−∠AFE−∠AEF=120°.
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°.
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°=∠EAF.
∵点E在BC边上,点F在AC边上,
∴点E与点B重合,点F与点C重合.此种
情况不符合题意,故分“AE是底边”或“AF是
底边”两种情况讨论.(作图略)
答题区:
将等腰三角形AEF按底边的不同考虑，
可分为哪几种情况？结合本题条件，画出的
图形有几种可能？
解析:在等腰三角形AEF中,当EF是底边
时,AE=AF,
∴∠AFE=∠AEF=30°.
∴∠EAF=180°−∠AFE−∠AEF=120°.
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°.
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°=∠EAF.
∵点E在BC边上,点F在AC边上,
∴点E与点B重合,点F与点C重合.此种
情况不符合题意,故分“AE是底边”或“AF是
底边”两种情况讨论.(作图略)
答题区:
答案
①当AE为底边时，AF=EF，
∴∠EAF=∠AEF=30°，
∴∠BEA=∠C+∠EAF=30°+30°=60°；
②当AF为底边时，AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠BEA=∠C+∠EAF=30°+75°=105°。
综上∠BEA的度数为60°或105°。
∴∠EAF=∠AEF=30°，
∴∠BEA=∠C+∠EAF=30°+30°=60°；
②当AF为底边时，AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠BEA=∠C+∠EAF=30°+75°=105°。
综上∠BEA的度数为60°或105°。
解析
【分析】
遇到未明确腰和底边的等腰三角形问题，需先按不同底边进行全分类，再结合题干限定条件排除不符合的情况：首先等腰△AEF共有3种底边情况（EF为底、AE为底、AF为底），先验证EF为底的情况，发现此时E与B重合、F与C重合，不符合题意，因此只需讨论剩余2种情况；每种情况先利用等腰三角形“等边对等角”的性质求对应角度，再结合三角形外角性质计算∠BEA的度数即可。
【解析】
首先排除EF为等腰△AEF底边的情况：此时AE=AF，∠EAF=120°=∠BAC，E与B重合、F与C重合，不符合题意，因此分以下两种情况讨论：
①当AE为底边时，AF=EF，
由等边对等角得∠EAF=∠AEF=30°，
根据三角形外角的性质，∠BEA=∠C+∠EAF=30°+30°=60°；
②当AF为底边时，AE=EF，
由等边对等角得∠EAF=∠EFA，结合三角形内角和为180°，
得$∠ EAF=\frac{180°-∠ AEF}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
根据三角形外角的性质，∠BEA=∠C+∠EAF=30°+75°=105°。
【答案】
∠BEA的度数为60°或105°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需先结合题意排除无效情况，避免多解，同时要熟练运用三角形内角和、外角性质完成角度计算，是几何分类讨论类的典型题型。
【难度系数】
0.6
遇到未明确腰和底边的等腰三角形问题，需先按不同底边进行全分类，再结合题干限定条件排除不符合的情况：首先等腰△AEF共有3种底边情况（EF为底、AE为底、AF为底），先验证EF为底的情况，发现此时E与B重合、F与C重合，不符合题意，因此只需讨论剩余2种情况；每种情况先利用等腰三角形“等边对等角”的性质求对应角度，再结合三角形外角性质计算∠BEA的度数即可。
【解析】
首先排除EF为等腰△AEF底边的情况：此时AE=AF，∠EAF=120°=∠BAC，E与B重合、F与C重合，不符合题意，因此分以下两种情况讨论：
①当AE为底边时，AF=EF，
由等边对等角得∠EAF=∠AEF=30°，
根据三角形外角的性质，∠BEA=∠C+∠EAF=30°+30°=60°；
②当AF为底边时，AE=EF，
由等边对等角得∠EAF=∠EFA，结合三角形内角和为180°，
得$∠ EAF=\frac{180°-∠ AEF}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
根据三角形外角的性质，∠BEA=∠C+∠EAF=30°+75°=105°。
【答案】
∠BEA的度数为60°或105°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时需先结合题意排除无效情况，避免多解，同时要熟练运用三角形内角和、外角性质完成角度计算，是几何分类讨论类的典型题型。
【难度系数】
0.6
