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1.已知实数$x,y$满足$|x-4|+\sqrt{y-8}=0$,则以$x,y$的值为两边长的等腰三角形的周长是（
A.20或16
B.20
C.16
D.以上答案均不对
B
）A.20或16
B.20
C.16
D.以上答案均不对
答案
1.B
解析
【分析】
首先，绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可先求出x、y的具体值。接下来以x、y为两边长构造等腰三角形时，要分两种情况讨论：x为腰长、y为底边长，或者y为腰长、x为底边长，最后必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算出正确周长。
【解析】
解：
∵$|x-4|≥0$，$\sqrt{y-8}≥0$，且$|x-4|+\sqrt{y-8}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$x-4=0$，$y-8=0$
解得$x=4$，$y=8$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①若腰长为4，底边长为8，此时三边长为4、4、8
∵$4+4=8$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴无法构成三角形，该情况舍去；
②若腰长为8，底边长为4，此时三边长为8、8、4
∵$4+8＞8$，$8+8＞4$，满足三角形三边关系，
∴该情况成立
此时三角形周长为$8+8+4=20$
综上，等腰三角形的周长为20。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是求出x、y的值后，仅根据等腰三角形两腰相等的性质直接计算两种情况的周长，忽略了验证三边是否能构成三角形，分类讨论后一定要对结果进行验证，避免错选。
【难度系数】
0.6
首先，绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此可先求出x、y的具体值。接下来以x、y为两边长构造等腰三角形时，要分两种情况讨论：x为腰长、y为底边长，或者y为腰长、x为底边长，最后必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况后即可计算出正确周长。
【解析】
解：
∵$|x-4|≥0$，$\sqrt{y-8}≥0$，且$|x-4|+\sqrt{y-8}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$x-4=0$，$y-8=0$
解得$x=4$，$y=8$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
①若腰长为4，底边长为8，此时三边长为4、4、8
∵$4+4=8$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴无法构成三角形，该情况舍去；
②若腰长为8，底边长为4，此时三边长为8、8、4
∵$4+8＞8$，$8+8＞4$，满足三角形三边关系，
∴该情况成立
此时三角形周长为$8+8+4=20$
综上，等腰三角形的周长为20。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题易错点是求出x、y的值后，仅根据等腰三角形两腰相等的性质直接计算两种情况的周长，忽略了验证三边是否能构成三角形，分类讨论后一定要对结果进行验证，避免错选。
【难度系数】
0.6
2.已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则该等腰三角形的腰长为 （
A.3
B.8
C.3或8
D.8或5.5
D
）A.3
B.8
C.3或8
D.8或5.5
答案
2.D
解析
【分析】
等腰三角形的两条腰长度相等，题目未明确边长8是腰还是底边，因此需分两种情况计算，同时计算后要验证三边是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不符合的情况要舍去。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若边长8为腰长：
此时底边长 = 周长 - 2×腰长 = 19 - 2×8 = 3
三边长为8、8、3，满足8+3＞8，符合三角形三边关系，腰长为8成立。
2. 若边长8为底边长：
此时腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (19 - 8)÷2 = 5.5
三边长为5.5、5.5、8，满足5.5+5.5＞8，符合三角形三边关系，腰长为5.5成立。
综上，该等腰三角形的腰长为8或5.5。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型习题，易错点是忽略已知边的类型未分类讨论，或计算后未验证三边是否符合构成三角形的条件，掌握分类讨论思想和三边验证步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的两条腰长度相等，题目未明确边长8是腰还是底边，因此需分两种情况计算，同时计算后要验证三边是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），不符合的情况要舍去。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若边长8为腰长：
此时底边长 = 周长 - 2×腰长 = 19 - 2×8 = 3
三边长为8、8、3，满足8+3＞8，符合三角形三边关系，腰长为8成立。
2. 若边长8为底边长：
此时腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (19 - 8)÷2 = 5.5
三边长为5.5、5.5、8，满足5.5+5.5＞8，符合三角形三边关系，腰长为5.5成立。
综上，该等腰三角形的腰长为8或5.5。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型习题，易错点是忽略已知边的类型未分类讨论，或计算后未验证三边是否符合构成三角形的条件，掌握分类讨论思想和三边验证步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3.等腰三角形中有一个角等于$40°$,则这个等腰三角形的顶角度数为 （
A.$40°$
B.$100°$
C.40或$70°$
D.$40°$或$100°$
D
）A.$40°$
B.$100°$
C.40或$70°$
D.$40°$或$100°$
答案
3.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅说明等腰三角形有一个角是40°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下顶角的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求，最终确定答案。
【解析】
解：已知等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
① 若已知的40°角为顶角：
此时顶角度数直接为40°，两个底角均为(180°-40°)÷2=70°，符合三角形内角和规律，该情况成立；
② 若已知的40°角为底角：
此时顶角的度数为180° - 40°×2 = 180° - 80° = 100°，另一个底角也为40°，符合三角形内角和规律，该情况成立。
综上，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形角度计算，核心是分类讨论思想的运用，当题目未明确已知角是顶角还是底角时，必须分情况讨论，避免漏解，同时计算后要验证是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅说明等腰三角形有一个角是40°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算两种情况下顶角的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求，最终确定答案。
【解析】
解：已知等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
① 若已知的40°角为顶角：
此时顶角度数直接为40°，两个底角均为(180°-40°)÷2=70°，符合三角形内角和规律，该情况成立；
② 若已知的40°角为底角：
此时顶角的度数为180° - 40°×2 = 180° - 80° = 100°，另一个底角也为40°，符合三角形内角和规律，该情况成立。
综上，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形角度计算，核心是分类讨论思想的运用，当题目未明确已知角是顶角还是底角时，必须分情况讨论，避免漏解，同时计算后要验证是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
4.已知等腰三角形$ABC$中，$AD⊥ BC$交线段$BC$于点$D$，且$AD=\frac{1}{2}BC$，则等腰三角形$ABC$的底角的度数为（
A.$45°$
B.$75°$
C.$45°$或$75°$
D.$60°$
C
）A.$45°$
B.$75°$
C.$45°$或$75°$
D.$60°$
答案
4.C
解析
【分析】
解决本题需要分情况讨论等腰三角形中BC边的角色，结合等腰三角形和直角三角形的性质计算底角度数：第一步先考虑BC为等腰三角形底边的情况，利用三线合一和AD与BC的长度关系推导底角；第二步再考虑BC为等腰三角形腰的情况，结合直角三角形中直角边是斜边一半对应的角度规律计算顶角，再推导底角；最后汇总所有符合条件的底角度数即可。
【解析】
本题需分两种情况讨论：
1. 当BC为等腰$△ ABC$的底边时，$AB=AC$。
$\because AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
又$\because AD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AD=BD=CD$。
$\because ∠ ADB=90°$，$△ ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=45°$，即此时底角为$45°$。
2. 当BC为等腰$△ ABC$的腰时，不妨设$AB=BC$。
$\because AD⊥ BC$于点$D$，且$AD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，直角边$AD$为斜边$AB$的一半，
$\therefore ∠ B=30°$。
$\because AB=BC$，
$\therefore$底角$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
综上，等腰三角形$ABC$的底角度数为$45°$或$75°$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；直角三角形性质；分类讨论
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形的边可分为底边和腰两类，需分情况讨论求解，避免因考虑不全漏解，同时要熟练运用等腰三角形和直角三角形的角度相关性质。
【难度系数】
0.6
解决本题需要分情况讨论等腰三角形中BC边的角色，结合等腰三角形和直角三角形的性质计算底角度数：第一步先考虑BC为等腰三角形底边的情况，利用三线合一和AD与BC的长度关系推导底角；第二步再考虑BC为等腰三角形腰的情况，结合直角三角形中直角边是斜边一半对应的角度规律计算顶角，再推导底角；最后汇总所有符合条件的底角度数即可。
【解析】
本题需分两种情况讨论：
1. 当BC为等腰$△ ABC$的底边时，$AB=AC$。
$\because AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
又$\because AD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AD=BD=CD$。
$\because ∠ ADB=90°$，$△ ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ B=∠ C=45°$，即此时底角为$45°$。
2. 当BC为等腰$△ ABC$的腰时，不妨设$AB=BC$。
$\because AD⊥ BC$于点$D$，且$AD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，直角边$AD$为斜边$AB$的一半，
$\therefore ∠ B=30°$。
$\because AB=BC$，
$\therefore$底角$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
综上，等腰三角形$ABC$的底角度数为$45°$或$75°$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质；直角三角形性质；分类讨论
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形的边可分为底边和腰两类，需分情况讨论求解，避免因考虑不全漏解，同时要熟练运用等腰三角形和直角三角形的角度相关性质。
【难度系数】
0.6
5. 已知等腰三角形的一个外角为 $130°$，则它的顶角的度数为
50°或80°
.答案
5.50°或80°
解析
【分析】
解题时首先要明确：三角形的外角与相邻内角互补，且等腰三角形的内角分为顶角和底角两类，已知外角对应的内角既可能是顶角也可能是底角，因此需要分类讨论。首先先求出外角对应的内角度数，再分别假设该内角为顶角、底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算顶角，最后验证两种情况均符合三角形性质即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为$130°$，
∴与该外角相邻的内角度数为$180° - 130° = 50°$，分两种情况讨论：
① 若$50°$是等腰三角形的顶角，则顶角的度数为$50°$；
② 若$50°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，
可得顶角的度数为$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，因此顶角为$50°$或$80°$。
【答案】
$50°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时要注意未知属性的角（既可能是顶角也可能是底角）需要分情况讨论，得出结果后要验证是否符合三角形的构成规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：三角形的外角与相邻内角互补，且等腰三角形的内角分为顶角和底角两类，已知外角对应的内角既可能是顶角也可能是底角，因此需要分类讨论。首先先求出外角对应的内角度数，再分别假设该内角为顶角、底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算顶角，最后验证两种情况均符合三角形性质即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为$130°$，
∴与该外角相邻的内角度数为$180° - 130° = 50°$，分两种情况讨论：
① 若$50°$是等腰三角形的顶角，则顶角的度数为$50°$；
② 若$50°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，
可得顶角的度数为$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，因此顶角为$50°$或$80°$。
【答案】
$50°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论导致漏解，解题时要注意未知属性的角（既可能是顶角也可能是底角）需要分情况讨论，得出结果后要验证是否符合三角形的构成规则。
【难度系数】
0.7
6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$48°$,则该等腰三角形的底角的度数为
69°或21°
。答案
6.69°或21°
解析
【分析】
本题未给出具体图形，等腰三角形的类型不明确，需分类讨论两种情况：①等腰三角形为锐角三角形，此时一腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时一腰上的高在三角形外部。先结合直角三角形两锐角互余的性质求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知腰上的高与另一腰的夹角为$48°$，高与腰垂直，夹角为$90°$，因此顶角度数为$90° - 48° = 42°$。
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$，可得底角度数为：
$\frac{180° - 42°}{2}=69°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
已知腰上的高与另一腰的夹角为$48°$，高与腰垂直，夹角为$90°$，因此顶角的外角度数为$90° - 48° = 42°$，则顶角度数为$180° - 42° = 138°$。
同理可得底角度数为：
$\frac{180° - 138°}{2}=21°$。
综上，该等腰三角形底角的度数为$69°$或$21°$。
【答案】
$69°$或$21°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形类型的不确定性，仅考虑高在三角形内部的情况导致漏解，解答无图的几何题时要注意多解的可能性，结合分类讨论思想全面分析问题。
【难度系数】
0.6
本题未给出具体图形，等腰三角形的类型不明确，需分类讨论两种情况：①等腰三角形为锐角三角形，此时一腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时一腰上的高在三角形外部。先结合直角三角形两锐角互余的性质求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知腰上的高与另一腰的夹角为$48°$，高与腰垂直，夹角为$90°$，因此顶角度数为$90° - 48° = 42°$。
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为$180°$，可得底角度数为：
$\frac{180° - 42°}{2}=69°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
已知腰上的高与另一腰的夹角为$48°$，高与腰垂直，夹角为$90°$，因此顶角的外角度数为$90° - 48° = 42°$，则顶角度数为$180° - 42° = 138°$。
同理可得底角度数为：
$\frac{180° - 138°}{2}=21°$。
综上，该等腰三角形底角的度数为$69°$或$21°$。
【答案】
$69°$或$21°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形类型的不确定性，仅考虑高在三角形内部的情况导致漏解，解答无图的几何题时要注意多解的可能性，结合分类讨论思想全面分析问题。
【难度系数】
0.6
7. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$50°$，求$∠ B$的度数.
答案
解：
①如图1
,当∠A为锐角时,∠B=70°; ②如图2
,当∠A为钝角时,∠B=20°.∴∠B=70°或20°.
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形、线段垂直平分线的性质求解，首先注意题干中“AC所在直线”的表述，说明交点位置存在两种可能：①交点落在线段AC上，此时∠A为锐角；②交点落在CA的延长线上，此时∠A为钝角。先通过垂直平分线与AC相交形成的直角三角形求出∠A（或∠A的补角），再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算∠B的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 如图1，当∠A为锐角时：
∵ AB的垂直平分线与AB垂直，二者和AC相交所得锐角为50°
∴ 在相交形成的直角三角形中，∠A = 90° - 50° = 40°
又
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C
∴ $∠ B = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$
② 如图2，当∠A为钝角时：
AB的垂直平分线与AC所在直线的交点落在CA的延长线上，此时垂直平分线与AB形成直角，相交所得锐角为50°
∴ ∠BAC的补角 = 90° - 50° = 40°
∴ ∠BAC = 180° - 40° = 140°
又
∵ AB=AC，∠B=∠C
∴ $∠ B = \frac{180° - 140°}{2} = 20°$
【答案】
①如图1,当∠A为锐角时,∠B=70°;
②如图2,当∠A为钝角时,∠B=20°.
∴∠B=70°或20°.
【知识点】
等腰三角形性质；线段垂直平分线性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑∠A为锐角的情况导致漏解，解题时需结合几何图形的多种可能性分类讨论，锻炼作图分析和全面思考的能力。
【难度系数】
0.6
本题需结合等腰三角形、线段垂直平分线的性质求解，首先注意题干中“AC所在直线”的表述，说明交点位置存在两种可能：①交点落在线段AC上，此时∠A为锐角；②交点落在CA的延长线上，此时∠A为钝角。先通过垂直平分线与AC相交形成的直角三角形求出∠A（或∠A的补角），再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算∠B的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 如图1
，当∠A为锐角时：∵ AB的垂直平分线与AB垂直，二者和AC相交所得锐角为50°
∴ 在相交形成的直角三角形中，∠A = 90° - 50° = 40°
又
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C
∴ $∠ B = \frac{180° - ∠ A}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$
② 如图2
，当∠A为钝角时：AB的垂直平分线与AC所在直线的交点落在CA的延长线上，此时垂直平分线与AB形成直角，相交所得锐角为50°
∴ ∠BAC的补角 = 90° - 50° = 40°
∴ ∠BAC = 180° - 40° = 140°
又
∵ AB=AC，∠B=∠C
∴ $∠ B = \frac{180° - 140°}{2} = 20°$
【答案】
①如图1
,当∠A为锐角时,∠B=70°; ②如图2
,当∠A为钝角时,∠B=20°.∴∠B=70°或20°.
【知识点】
等腰三角形性质；线段垂直平分线性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑∠A为锐角的情况导致漏解，解题时需结合几何图形的多种可能性分类讨论，锻炼作图分析和全面思考的能力。
【难度系数】
0.6
8.已知等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把三角形分为两个三角形，两个三角形的周长的差是3，求等腰三角形各边的长.
答案
解:如图所示
,等腰△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,设AB=AC=x.∵点D为AC的中点,
∴AD=CD=$\frac{1}{2}x$,BC=24-(AB+AC)=24-2x.①当△ABD的周长大于△BCD的周长时,
∵AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=3,
∴AB-BC=3,即x-(24-2x)=3,解得x=9,24-2x=6,9,9,6能够组成三角形,符合题意;
②当△BCD的周长大于△ABD的周长时,
∵BC+CD+BD-(AB+AD+BD)=3,
∴BC-AB=3,即24-2x-x=3,解得x=7,24-2x=10,7,7,10能够组成三角形,符合题意.综上所述,这个等腰三角形的腰长为9,底边长为6或腰长为7,底边长为10.
解析
【分析】
解题可按以下思路展开：1. 先设等腰三角形腰长为x，结合周长可表示出底边长为24-2x；2. 一腰上的中线分出的两个三角形中，有公共边BD，且中线将腰分为等长的两段AD=CD，因此两个三角形的周长差本质就是腰长与底边长的差；3. 题目未明确哪个三角形周长更大，需分两种情况讨论：腰比底长3，或底比腰长3；4. 求出边长后必须用三角形三边关系检验，舍去无法构成三角形的解。
【解析】
如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，点D为AC的中点，设AB=AC=x。
∵点D为AC的中点，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}x$，$BC=24-(AB+AC)=24-2x$。
①当△ABD的周长大于△BCD的周长时：
$AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=3$，
抵消公共项AD、CD、BD后得$AB-BC=3$，即$x-(24-2x)=3$，
解得$x=9$，此时底边长$24-2x=6$，
三边为9、9、6，满足三角形三边关系，符合题意。
②当△BCD的周长大于△ABD的周长时：
$BC+CD+BD-(AB+AD+BD)=3$，
抵消公共项后得$BC-AB=3$，即$24-2x-x=3$，
解得$x=7$，此时底边长$24-2x=10$，
三边为7、7、10，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
解:如图所示,等腰△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,设AB=AC=x.
∵点D为AC的中点,
∴AD=CD=$\frac{1}{2}x$,BC=24-(AB+AC)=24-2x.①当△ABD的周长大于△BCD的周长时,
∵AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=3,
∴AB-BC=3,即x-(24-2x)=3,解得x=9,24-2x=6,9,9,6能够组成三角形,符合题意;
②当△BCD的周长大于△ABD的周长时,
∵BC+CD+BD-(AB+AD+BD)=3,
∴BC-AB=3,即24-2x-x=3,解得x=7,24-2x=10,7,7,10能够组成三角形,符合题意.综上所述,这个等腰三角形的腰长为9,底边长为6或腰长为7,底边长为10.
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等腰三角形性质和分类讨论思想的应用，解题关键是识别出两个三角形的周长差实质为腰长与底边长的差，求解后注意验证三边是否符合三角形三边关系，避免漏解或出现无效解。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路展开：1. 先设等腰三角形腰长为x，结合周长可表示出底边长为24-2x；2. 一腰上的中线分出的两个三角形中，有公共边BD，且中线将腰分为等长的两段AD=CD，因此两个三角形的周长差本质就是腰长与底边长的差；3. 题目未明确哪个三角形周长更大，需分两种情况讨论：腰比底长3，或底比腰长3；4. 求出边长后必须用三角形三边关系检验，舍去无法构成三角形的解。
【解析】
如图所示
，等腰△ABC中，AB=AC，点D为AC的中点，设AB=AC=x。∵点D为AC的中点，
∴$AD=CD=\frac{1}{2}x$，$BC=24-(AB+AC)=24-2x$。
①当△ABD的周长大于△BCD的周长时：
$AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=3$，
抵消公共项AD、CD、BD后得$AB-BC=3$，即$x-(24-2x)=3$，
解得$x=9$，此时底边长$24-2x=6$，
三边为9、9、6，满足三角形三边关系，符合题意。
②当△BCD的周长大于△ABD的周长时：
$BC+CD+BD-(AB+AD+BD)=3$，
抵消公共项后得$BC-AB=3$，即$24-2x-x=3$，
解得$x=7$，此时底边长$24-2x=10$，
三边为7、7、10，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
解:如图所示
,等腰△ABC中,AB=AC,点D为AC的中点,设AB=AC=x.∵点D为AC的中点,
∴AD=CD=$\frac{1}{2}x$,BC=24-(AB+AC)=24-2x.①当△ABD的周长大于△BCD的周长时,
∵AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=3,
∴AB-BC=3,即x-(24-2x)=3,解得x=9,24-2x=6,9,9,6能够组成三角形,符合题意;
②当△BCD的周长大于△ABD的周长时,
∵BC+CD+BD-(AB+AD+BD)=3,
∴BC-AB=3,即24-2x-x=3,解得x=7,24-2x=10,7,7,10能够组成三角形,符合题意.综上所述,这个等腰三角形的腰长为9,底边长为6或腰长为7,底边长为10.
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等腰三角形性质和分类讨论思想的应用，解题关键是识别出两个三角形的周长差实质为腰长与底边长的差，求解后注意验证三边是否符合三角形三边关系，避免漏解或出现无效解。
【难度系数】
0.6
