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10.(柳州市期末)如图,点M,N均在4×4方格纸的格点(网格线的交点)上,若以MN为边,在方格中取一点P(P在格点上),使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为 (
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
10. C
解析
【分析】
解决本题需分类讨论：首先明确以MN为边构造等腰三角形分两种情况：①MN为等腰三角形的腰，②MN为等腰三角形的底边。先设每个小方格边长为1，用勾股定理算出MN的长度，再分别在两种情况下找符合要求的格点P，最后汇总数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，分两类讨论：
1. MN为等腰三角形的腰
以M为圆心，MN的长度为半径画弧，与格点的交点除N外，共得到2个符合要求的点P；
以N为圆心，MN的长度为半径画弧，与格点的交点除M外，共得到1个符合要求的点P。
2. MN为等腰三角形的底边
作MN的垂直平分线，垂直平分线上的格点满足$MP=NP$，共得到2个符合要求的点P。
综上，符合条件的点P总个数为$2+1+2=5$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的核心是做好分类讨论，避免漏解，注意结合网格的特征找格点，不要忽略MN为底边的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题需分类讨论：首先明确以MN为边构造等腰三角形分两种情况：①MN为等腰三角形的腰，②MN为等腰三角形的底边。先设每个小方格边长为1，用勾股定理算出MN的长度，再分别在两种情况下找符合要求的格点P，最后汇总数量即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，分两类讨论：
1. MN为等腰三角形的腰
以M为圆心，MN的长度为半径画弧，与格点的交点除N外，共得到2个符合要求的点P；
以N为圆心，MN的长度为半径画弧，与格点的交点除M外，共得到1个符合要求的点P。
2. MN为等腰三角形的底边
作MN的垂直平分线，垂直平分线上的格点满足$MP=NP$，共得到2个符合要求的点P。
综上，符合条件的点P总个数为$2+1+2=5$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题解题的核心是做好分类讨论，避免漏解，注意结合网格的特征找格点，不要忽略MN为底边的情况。
【难度系数】
0.6
11.(教材第150页例4改编)如图,有一轮船由西向东航行,在A处测得北偏东$75°$方向有一灯塔P,继续航行30海里后到达B处,又测得灯塔P在北偏东$60°$的方向上.如果轮船航行方向不变,则灯塔P与轮船之间的最近距离是
15
海里.答案
11. 15
解析
【分析】
要求灯塔P与轮船的最近距离，本质是求点P到直线AB的垂线段长度。首先根据方位角计算△ABP的内角度数，通过角度关系判定△ABP为等腰三角形，得到BP的长度，再结合直角三角形中30°角的性质即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，则PC的长即为灯塔P与轮船之间的最近距离。
由方位角的定义可得：
$∠ PAB = 90° - 75° = 15°$，
$∠ PBC = 90° - 60° = 30°$，
∵$∠ PBC$是△ABP的外角，
∴$∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAB = 30° - 15° = 15°$，
∴$∠ PAB = ∠ APB$，根据等角对等边可得：
$BP = AB = 30$海里，
在Rt△PBC中，$∠ PCB=90°$，$∠ PBC=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$PC = \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}×30 = 15$海里。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的判定，直角三角形的性质，方位角的应用
【点评】
本题是方位角结合几何性质的常规应用题，解题的关键是正确作垂线段构造直角三角形，通过角度关系推导得到等腰三角形，进而结合直角三角形的性质求解，解题时注意方位角的角度换算不要出错。
【难度系数】
0.7
要求灯塔P与轮船的最近距离，本质是求点P到直线AB的垂线段长度。首先根据方位角计算△ABP的内角度数，通过角度关系判定△ABP为等腰三角形，得到BP的长度，再结合直角三角形中30°角的性质即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，则PC的长即为灯塔P与轮船之间的最近距离。
由方位角的定义可得：
$∠ PAB = 90° - 75° = 15°$，
$∠ PBC = 90° - 60° = 30°$，
∵$∠ PBC$是△ABP的外角，
∴$∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAB = 30° - 15° = 15°$，
∴$∠ PAB = ∠ APB$，根据等角对等边可得：
$BP = AB = 30$海里，
在Rt△PBC中，$∠ PCB=90°$，$∠ PBC=30°$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得：
$PC = \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}×30 = 15$海里。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的判定，直角三角形的性质，方位角的应用
【点评】
本题是方位角结合几何性质的常规应用题，解题的关键是正确作垂线段构造直角三角形，通过角度关系推导得到等腰三角形，进而结合直角三角形的性质求解，解题时注意方位角的角度换算不要出错。
【难度系数】
0.7
12.【核心素养·模型观念】
(1)【连线构造】如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=15°$，$AB$的垂直平分线交$BC$于$D$，交$AB$于$E$，若$DB=6\mathrm{cm}$，则$AC$=
第(1)题图
第(2)题图
(2)【作垂线构造】如图，$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$BC=18$，点$D$在边$AB$上，$CA=CD$，$BD=7$，则$AD$的长是
(3)【延长两边构造】如图，四边形$ABCD$中，$AD=4$，$BC=1$，$∠ A=30°$，$∠ B=90°$，$∠ ADC=120°$，求$CD$的长。
第(3)题图
(1)【连线构造】如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=15°$，$AB$的垂直平分线交$BC$于$D$，交$AB$于$E$，若$DB=6\mathrm{cm}$，则$AC$=
3
$\mathrm{cm}$。第(1)题图
第(2)题图
(2)【作垂线构造】如图，$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$BC=18$，点$D$在边$AB$上，$CA=CD$，$BD=7$，则$AD$的长是
4
。(3)【延长两边构造】如图，四边形$ABCD$中，$AD=4$，$BC=1$，$∠ A=30°$，$∠ B=90°$，$∠ ADC=120°$，求$CD$的长。
第(3)题图
答案
12.（1）3 （2）4 （3）解：如图
，延长 AD, BC交于点 E. $\because ∠ A=30°, ∠ B=90°$, $\therefore ∠ E=60°$. $\because ∠ ADC=120°$, $\therefore ∠ EDC=60°$. $\therefore △ EDC$ 是等边三角形. 设 $CD=CE=DE=x$, 则 $AE=4+x$, $BE=1+x$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$中, $∠ A=30°$, $\therefore AE=2BE$. $\therefore 2(1+x)=x+4$. 解得 $x=2$. $\therefore CD=2$.解析
【分析】
(1) 题中出现AB的垂直平分线，首先连接AD，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得到AD=BD，再根据三角形外角性质求出∠ADC=30°，最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半即可求出AC的长度。
(2) 已知CA=CD，即△ACD为等腰三角形，过C作AB的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质得到垂足是AD中点，再在Rt△BCE中利用含60°角的直角三角形的性质求出BE的长，进而求出DE的长，即可得到AD的长度。
(3) 已知∠A=30°、∠B=90°，延长AD、BC交于点E，可得到含30°角的Rt△ABE，再根据角度推出△EDC为等边三角形，设CD为未知数，结合AE=2BE的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB=6cm，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，
又
∵∠C=90°，在Rt△ADC中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×6=3cm。
(2) 过点C作CE⊥AB于点E，
∵CA=CD，CE⊥AD，
∴E为AD的中点，即AD=2DE。
在Rt△CEB中，∠B=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×18=9，
∵BD=7，
∴DE=BE-BD=9-7=2，
∴AD=2×2=4。
(3) 如图，延长AD, BC交于点E.
∵∠A=30°, ∠B=90°,
∴∠E=180°-90°-30°=60°，
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=180°-∠ADC=60°,
∴∠E=∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD=CE=DE=x，
则AE=AD+DE=4+x，BE=BC+CE=1+x，
在Rt△ABE中，∠A=30°，
∴AE=2BE，
代入得：2(1+x)=x+4，
解得x=2，即CD=2。
【答案】
(1) 3
(2) 4
(3) 解：如图，延长 AD, BC交于点 E. $\because ∠ A=30°, ∠ B=90°$, $\therefore ∠ E=60°$. $\because ∠ ADC=120°$, $\therefore ∠ EDC=60°$. $\therefore △ EDC$ 是等边三角形. 设 $CD=CE=DE=x$, 则 $AE=4+x$, $BE=1+x$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$中, $∠ A=30°$, $\therefore AE=2BE$. $\therefore 2(1+x)=x+4$. 解得 $x=2$. $\therefore CD=2$.
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 含特殊角的直角三角形性质
【点评】
本题组围绕特殊三角形的性质设计，分别对应连线、作垂线、延长边三种常见的几何辅助线构造方法，将已知条件转化到等腰三角形、等边三角形或含特殊角的直角三角形中求解，兼顾基础与能力，能有效锻炼几何辅助线构造思维。
【难度系数】
0.65
(1) 题中出现AB的垂直平分线，首先连接AD，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等得到AD=BD，再根据三角形外角性质求出∠ADC=30°，最后利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半即可求出AC的长度。
(2) 已知CA=CD，即△ACD为等腰三角形，过C作AB的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质得到垂足是AD中点，再在Rt△BCE中利用含60°角的直角三角形的性质求出BE的长，进而求出DE的长，即可得到AD的长度。
(3) 已知∠A=30°、∠B=90°，延长AD、BC交于点E，可得到含30°角的Rt△ABE，再根据角度推出△EDC为等边三角形，设CD为未知数，结合AE=2BE的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB=6cm，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，
又
∵∠C=90°，在Rt△ADC中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×6=3cm。
(2) 过点C作CE⊥AB于点E，
∵CA=CD，CE⊥AD，
∴E为AD的中点，即AD=2DE。
在Rt△CEB中，∠B=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×18=9，
∵BD=7，
∴DE=BE-BD=9-7=2，
∴AD=2×2=4。
(3) 如图
，延长AD, BC交于点E.∵∠A=30°, ∠B=90°,
∴∠E=180°-90°-30°=60°，
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=180°-∠ADC=60°,
∴∠E=∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD=CE=DE=x，
则AE=AD+DE=4+x，BE=BC+CE=1+x，
在Rt△ABE中，∠A=30°，
∴AE=2BE，
代入得：2(1+x)=x+4，
解得x=2，即CD=2。
【答案】
(1) 3
(2) 4
(3) 解：如图
，延长 AD, BC交于点 E. $\because ∠ A=30°, ∠ B=90°$, $\therefore ∠ E=60°$. $\because ∠ ADC=120°$, $\therefore ∠ EDC=60°$. $\therefore △ EDC$ 是等边三角形. 设 $CD=CE=DE=x$, 则 $AE=4+x$, $BE=1+x$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$中, $∠ A=30°$, $\therefore AE=2BE$. $\therefore 2(1+x)=x+4$. 解得 $x=2$. $\therefore CD=2$.【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 含特殊角的直角三角形性质
【点评】
本题组围绕特殊三角形的性质设计，分别对应连线、作垂线、延长边三种常见的几何辅助线构造方法，将已知条件转化到等腰三角形、等边三角形或含特殊角的直角三角形中求解，兼顾基础与能力，能有效锻炼几何辅助线构造思维。
【难度系数】
0.65
1. 如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE//AC交AB于E，AE与BE相等吗？请说明理由。
答案
1. 解:$AE=BE$. 理由如下: $\because AF$ 平分$∠ BAC$, $\therefore ∠ EAD=∠ CAD$. $\because DE // AC$, $\therefore ∠ ADE = ∠ CAD$. $\therefore ∠ EAD=∠ ADE$. $\therefore AE = DE$. $\because BD ⊥ AF$, $\therefore ∠ EDB+∠ ADE=90°$, $∠ EBD+∠ BAD=90°$. $\therefore ∠ BDE=∠ EBD$, $\therefore BE=ED$. $\therefore AE=BE$.
解析
【分析】
要判断AE与BE是否相等，可通过中间线段DE搭建等量关系：首先利用角平分线定义和平行线的性质推导角相等，证明AE=DE；再结合BD⊥AF的条件，利用等角的余角相等推导另一组角相等，证明BE=DE，最后通过等量代换即可得到AE和BE的数量关系。
【解析】
解：$AE=BE$，理由如下：
$\because AF$ 平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAD=∠ CAD$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ CAD$，
$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$，
$\therefore AE = DE$。
$\because BD ⊥ AF$，
$\therefore ∠ EDB+∠ ADE=90°$，$∠ EBD+∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BDE=∠ EBD$，
$\therefore BE=ED$，
$\therefore AE=BE$。
【答案】
$AE=BE$
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 平行线的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是通过角的等量转化得到等腰三角形，再借助中间线段完成等量代换，能够有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要判断AE与BE是否相等，可通过中间线段DE搭建等量关系：首先利用角平分线定义和平行线的性质推导角相等，证明AE=DE；再结合BD⊥AF的条件，利用等角的余角相等推导另一组角相等，证明BE=DE，最后通过等量代换即可得到AE和BE的数量关系。
【解析】
解：$AE=BE$，理由如下：
$\because AF$ 平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAD=∠ CAD$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ CAD$，
$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$，
$\therefore AE = DE$。
$\because BD ⊥ AF$，
$\therefore ∠ EDB+∠ ADE=90°$，$∠ EBD+∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BDE=∠ EBD$，
$\therefore BE=ED$，
$\therefore AE=BE$。
【答案】
$AE=BE$
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 平行线的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，解题核心是通过角的等量转化得到等腰三角形，再借助中间线段完成等量代换，能够有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
2.(柳州二十八中单元卷)如图，$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，E，F分别在BD，AD上，且$DE=CD$，$EF=AC$.求证：$EF// AB$.
答案
2. 证明:过 $E$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 的延长线于点 $G$, 则$∠ DEG=∠ C$, $∠ G=∠ CAD$. 在 $△ DEG$ 和 $△ DCA$ 中, $\begin{cases}∠ GDE=∠ ADC,\\ED=CD,\\∠ DEG=∠ DCA,\end{cases}$ $\therefore △ DEG ≌ △ DCA$. (ASA), $\therefore EG=CA$. $\because EF=AC$, $\therefore EG=EF$. $\therefore ∠ G=∠ EFD=∠ CAD$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$, $\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$. $\therefore ∠ EFD = ∠ BAD$. $\therefore EF // AB$.
解析
【分析】
要证明$EF// AB$，需先证明一组内错角相等，即$∠EFD=∠BAD$。已知AD平分$∠BAC$，可得$∠BAD=∠CAD$，因此只需证$∠EFD=∠CAD$即可。题目给出$DE=CD$、$EF=AC$的条件，现有图形无法直接建立角的关联，因此考虑构造全等三角形转移边与角：过E作AC的平行线交AD的延长线于点G，即可利用ASA证明$△ DEG$与$△ DCA$全等，将AC转化为EG，结合$EF=AC$得到$EG=EF$，进而利用等腰三角形等边对等角得到$∠G=∠EFD$，再结合全等得到的$∠G=∠CAD$，即可串联角的关系完成证明。
【解析】
证明：过$E$作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 的延长线于点 $G$，
则$∠ DEG=∠ C$，$∠ G=∠ CAD$。
在 $△ DEG$ 和 $△ DCA$ 中,
$\begin{cases}∠ GDE=∠ ADC,\\ED=CD,\\∠ DEG=∠ DCA,\end{cases}$
$\therefore △ DEG ≌ △ DCA$（ASA）,
$\therefore EG=CA$。
$\because EF=AC$,
$\therefore EG=EF$,
$\therefore ∠ G=∠ EFD=∠ CAD$。
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$,
$\therefore ∠ EFD = ∠ BAD$,
$\therefore EF // AB$。
【答案】
$EF// AB$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是三角形综合类的典型题型，解题的关键是通过作平行线构造全等三角形，实现边和角的等量转移，再结合角平分线、等腰三角形的性质和平行线的判定定理完成推导，需要熟练掌握三角形相关性质及常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
要证明$EF// AB$，需先证明一组内错角相等，即$∠EFD=∠BAD$。已知AD平分$∠BAC$，可得$∠BAD=∠CAD$，因此只需证$∠EFD=∠CAD$即可。题目给出$DE=CD$、$EF=AC$的条件，现有图形无法直接建立角的关联，因此考虑构造全等三角形转移边与角：过E作AC的平行线交AD的延长线于点G，即可利用ASA证明$△ DEG$与$△ DCA$全等，将AC转化为EG，结合$EF=AC$得到$EG=EF$，进而利用等腰三角形等边对等角得到$∠G=∠EFD$，再结合全等得到的$∠G=∠CAD$，即可串联角的关系完成证明。
【解析】
证明：过$E$作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 的延长线于点 $G$，
则$∠ DEG=∠ C$，$∠ G=∠ CAD$。
在 $△ DEG$ 和 $△ DCA$ 中,
$\begin{cases}∠ GDE=∠ ADC,\\ED=CD,\\∠ DEG=∠ DCA,\end{cases}$
$\therefore △ DEG ≌ △ DCA$（ASA）,
$\therefore EG=CA$。
$\because EF=AC$,
$\therefore EG=EF$,
$\therefore ∠ G=∠ EFD=∠ CAD$。
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$,
$\therefore ∠ EFD = ∠ BAD$,
$\therefore EF // AB$。
【答案】
$EF// AB$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是三角形综合类的典型题型，解题的关键是通过作平行线构造全等三角形，实现边和角的等量转移，再结合角平分线、等腰三角形的性质和平行线的判定定理完成推导，需要熟练掌握三角形相关性质及常见辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
