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1. A,B,C三点在同一平面内,经过任意两点画直线,共可画 （
A.1条
B.3条
C.1条或3条
D.不能确定
C
）A.1条
B.3条
C.1条或3条
D.不能确定
答案
1. C
解析
【分析】
解题时需要先明确三点的位置关系，题目未说明三点是否共线，因此要分两种情况讨论：第一种是三点共线的情况，第二种是三点不共线的情况，分别计算两种情况下可画出的直线数量，再综合得出最终结果。
【解析】
根据直线的性质分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，此时过任意两点画直线，只能画出1条直线；
2. 当A、B、C三点不在同一条直线上时，过点A和B、点A和C、点B和C分别可以画1条直线，共可画出3条直线。
综上，经过任意两点画直线，共可画1条或3条，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，容易遗漏三点共线的情况误选B，解题时要注意若题目没有限定三点的位置关系，需考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时需要先明确三点的位置关系，题目未说明三点是否共线，因此要分两种情况讨论：第一种是三点共线的情况，第二种是三点不共线的情况，分别计算两种情况下可画出的直线数量，再综合得出最终结果。
【解析】
根据直线的性质分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，此时过任意两点画直线，只能画出1条直线；
2. 当A、B、C三点不在同一条直线上时，过点A和B、点A和C、点B和C分别可以画1条直线，共可画出3条直线。
综上，经过任意两点画直线，共可画1条或3条，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，容易遗漏三点共线的情况误选B，解题时要注意若题目没有限定三点的位置关系，需考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，小亮将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，请你用数学知识解释他这样操作的原因是
两点确定一条直线
。答案
2. 两点确定一条直线
解析
【分析】
要解释两个钉子固定衣架的原理，首先回忆直线的相关性质：过一个点可以画出无数条直线，而过两个点只能画出唯一的一条直线。如果只用1个钉子固定衣架，衣架可以绕这个钉子任意转动，位置无法固定；使用两个钉子时，两个钉子对应两个点，这两个点确定的唯一一条直线就是衣架的固定位置，衣架就无法转动，由此可对应到对应的数学原理。
【解析】
如果仅用1个钉子固定衣架，衣架可绕该钉子旋转，无法固定位置；当使用2个钉子固定时，根据直线的基本性质：两点确定一条直线，两个钉子对应的两个点确定了唯一的一条直线，衣架的位置就被固定，不会发生转动，因此该操作的数学原理是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
直线的基本性质
【点评】
本题结合生活中的固定场景，考查对直线基本性质的实际应用，引导学生学会用数学知识解释生活中的常见现象，感受数学的实用性。
【难度系数】
0.9
要解释两个钉子固定衣架的原理，首先回忆直线的相关性质：过一个点可以画出无数条直线，而过两个点只能画出唯一的一条直线。如果只用1个钉子固定衣架，衣架可以绕这个钉子任意转动，位置无法固定；使用两个钉子时，两个钉子对应两个点，这两个点确定的唯一一条直线就是衣架的固定位置，衣架就无法转动，由此可对应到对应的数学原理。
【解析】
如果仅用1个钉子固定衣架，衣架可绕该钉子旋转，无法固定位置；当使用2个钉子固定时，根据直线的基本性质：两点确定一条直线，两个钉子对应的两个点确定了唯一的一条直线，衣架的位置就被固定，不会发生转动，因此该操作的数学原理是两点确定一条直线。
【答案】
两点确定一条直线
【知识点】
直线的基本性质
【点评】
本题结合生活中的固定场景，考查对直线基本性质的实际应用，引导学生学会用数学知识解释生活中的常见现象，感受数学的实用性。
【难度系数】
0.9
3. 如图，乘火车从A站出发，沿途经过3个车站可到达B站，那么在A，B两地之间往返需要安排
20
种不同的车票. 答案
3. 20
解析
【分析】
解题时首先明确总站点数量：起点A、终点B加沿途3个车站，共5个站点。其次要注意车票具有方向性，往返两个站点的车票是不同的，因此先计算单程的不同路段数量（即两点之间的线段总数），再乘以2即可得到往返的总车票数。计数线段时可按从左到右的顺序逐点统计，避免重复或漏数。
【解析】
第一步：计算总站点数，A、C、D、E、B共5个站点。
第二步：计算单程的不同路段数量：
从A出发可到C、D、E、B，共4种路段；
从C出发可到D、E、B，共3种路段；
从D出发可到E、B，共2种路段；
从E出发可到B，共1种路段；
单程总路段数为$4+3+2+1=10$种。
第三步：由于往返车票方向不同，每种路段对应2种不同车票，因此往返总车票数为$10×2=20$种。
【答案】
20
【知识点】
线段计数；搭配问题
【点评】
本题结合生活实际考查线段计数的应用，易错点是忽略车票的方向性，误将结果算成单程的10种，解题时要注意区分有无方向的计数需求。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确总站点数量：起点A、终点B加沿途3个车站，共5个站点。其次要注意车票具有方向性，往返两个站点的车票是不同的，因此先计算单程的不同路段数量（即两点之间的线段总数），再乘以2即可得到往返的总车票数。计数线段时可按从左到右的顺序逐点统计，避免重复或漏数。
【解析】
第一步：计算总站点数，A、C、D、E、B共5个站点。
第二步：计算单程的不同路段数量：
从A出发可到C、D、E、B，共4种路段；
从C出发可到D、E、B，共3种路段；
从D出发可到E、B，共2种路段；
从E出发可到B，共1种路段；
单程总路段数为$4+3+2+1=10$种。
第三步：由于往返车票方向不同，每种路段对应2种不同车票，因此往返总车票数为$10×2=20$种。
【答案】
20
【知识点】
线段计数；搭配问题
【点评】
本题结合生活实际考查线段计数的应用，易错点是忽略车票的方向性，误将结果算成单程的10种，解题时要注意区分有无方向的计数需求。
【难度系数】
0.7
4. 观察下列图形并阅读图形下面的相关文字.
猜想：
（1）5条直线相交最多有几个交点？
（2）6条直线相交最多有几个交点？
（3）n条直线相交最多有几个交点？
猜想：
（1）5条直线相交最多有几个交点？
（2）6条直线相交最多有几个交点？
（3）n条直线相交最多有几个交点？
答案
4. (1) 10个 (2) 15个 (3) $\frac{n(n-1)}{2}$个
解析
【分析】
要解决直线相交最多交点的问题，首先明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且不存在3条及以上直线交于同一点。我们从已知的数量找规律：2条直线最多1个交点；3条直线时，第3条直线最多和前2条各交1点，新增2个交点，总交点数为1+2=3；4条直线时，第4条直线最多和前3条各交1点，新增3个交点，总交点数为3+3=6。以此类推，每新增1条直线，最多新增的交点数等于已有直线的数量，因此n条直线最多交点数就是1到(n-1)的连续整数之和，按此规律即可计算对应结果。
【解析】
(1) 已知4条直线相交最多有6个交点，加入第5条直线时，它最多和前4条直线各产生1个交点，新增4个交点，因此5条直线最多交点数为：$6+4=10$（个）。
(2) 5条直线最多有10个交点，加入第6条直线时，它最多和前5条直线各产生1个交点，新增5个交点，因此6条直线最多交点数为：$10+5=15$（个）。
(3) 对n条直线，第2条直线和第1条相交新增1个交点，第3条和前2条相交新增2个交点，……，第n条和前(n-1)条相交新增(n-1)个交点，因此最多总交点数为$1+2+3+\dots+(n-1)$。根据求和公式：首项加末项的和乘项数除以2，可得和为$\frac{(1+n-1)×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$（个）。
【答案】
(1) 10个 (2) 15个 (3) $\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】
直线相交性质，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是理解最多交点的前提条件，通过从特殊到一般的归纳推导，找到交点数和直线数量的关系，总结出通用公式，有助于锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
要解决直线相交最多交点的问题，首先明确“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且不存在3条及以上直线交于同一点。我们从已知的数量找规律：2条直线最多1个交点；3条直线时，第3条直线最多和前2条各交1点，新增2个交点，总交点数为1+2=3；4条直线时，第4条直线最多和前3条各交1点，新增3个交点，总交点数为3+3=6。以此类推，每新增1条直线，最多新增的交点数等于已有直线的数量，因此n条直线最多交点数就是1到(n-1)的连续整数之和，按此规律即可计算对应结果。
【解析】
(1) 已知4条直线相交最多有6个交点，加入第5条直线时，它最多和前4条直线各产生1个交点，新增4个交点，因此5条直线最多交点数为：$6+4=10$（个）。
(2) 5条直线最多有10个交点，加入第6条直线时，它最多和前5条直线各产生1个交点，新增5个交点，因此6条直线最多交点数为：$10+5=15$（个）。
(3) 对n条直线，第2条直线和第1条相交新增1个交点，第3条和前2条相交新增2个交点，……，第n条和前(n-1)条相交新增(n-1)个交点，因此最多总交点数为$1+2+3+\dots+(n-1)$。根据求和公式：首项加末项的和乘项数除以2，可得和为$\frac{(1+n-1)×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$（个）。
【答案】
(1) 10个 (2) 15个 (3) $\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】
直线相交性质，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，解题核心是理解最多交点的前提条件，通过从特殊到一般的归纳推导，找到交点数和直线数量的关系，总结出通用公式，有助于锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
5. 平面上有$ n $个点，其中任意三个点都不在同一条直线上，若过其中两点画一条直线.
(1) 分别取$ n $的值为2,3,4,5，作出满足条件的直线；
(2) 根据(1)的结论，猜想$ n $个点时共可以画多少条直线.
(1) 分别取$ n $的值为2,3,4,5，作出满足条件的直线；
(2) 根据(1)的结论，猜想$ n $个点时共可以画多少条直线.
答案
5. (1) 略 (2) $\frac{n(n-1)}{2}$条
解析
【分析】
解决本题首先要运用直线的基本性质：两点确定一条直线，且题目给出任意三个点不共线，因此不会出现多条点对共线的重复情况。
(1) 对于给定的n值，可依次选取点对连线，注意不要重复计数即可；
(2) 先从n=2、3、4、5的特殊情况中找到数量规律，再通过通用推导验证规律：每个点可与其余n-1个点连线，总计数会把每条直线算2次，因此除以2得到最终结果。
【解析】
(1) 当n=2时，两点确定1条直线，画出1条直线即可；
当n=3时，三个点两两连线，共可画出3条直线；
当n=4时，四个点两两连线，共可画出6条直线；
当n=5时，五个点两两连线，共可画出10条直线。（作图略）
(2) 推导过程：
平面内任意两点确定一条直线，且任意三点不共线，因此过任意两点的直线均不重复。
每个点可以和剩下的$(n-1)$个点各画1条直线，$n$个点共得到$n(n-1)$条直线的计数。
由于每一条直线会被它的两个端点各计算1次，即每条直线被重复计数了2次，因此实际共可以画的直线数量为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
【答案】
(1) 略；(2) $\frac{n(n-1)}{2}$条
【知识点】
两点确定一条直线；规律归纳探究；计数问题
【点评】
本题从特殊情况入手推导通用结论，核心考查对直线基本性质的应用和避免重复计数的逻辑思维，掌握该推导方法后可快速解决同类多点连线计数问题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要运用直线的基本性质：两点确定一条直线，且题目给出任意三个点不共线，因此不会出现多条点对共线的重复情况。
(1) 对于给定的n值，可依次选取点对连线，注意不要重复计数即可；
(2) 先从n=2、3、4、5的特殊情况中找到数量规律，再通过通用推导验证规律：每个点可与其余n-1个点连线，总计数会把每条直线算2次，因此除以2得到最终结果。
【解析】
(1) 当n=2时，两点确定1条直线，画出1条直线即可；
当n=3时，三个点两两连线，共可画出3条直线；
当n=4时，四个点两两连线，共可画出6条直线；
当n=5时，五个点两两连线，共可画出10条直线。（作图略）
(2) 推导过程：
平面内任意两点确定一条直线，且任意三点不共线，因此过任意两点的直线均不重复。
每个点可以和剩下的$(n-1)$个点各画1条直线，$n$个点共得到$n(n-1)$条直线的计数。
由于每一条直线会被它的两个端点各计算1次，即每条直线被重复计数了2次，因此实际共可以画的直线数量为$\frac{n(n-1)}{2}$条。
【答案】
(1) 略；(2) $\frac{n(n-1)}{2}$条
【知识点】
两点确定一条直线；规律归纳探究；计数问题
【点评】
本题从特殊情况入手推导通用结论，核心考查对直线基本性质的应用和避免重复计数的逻辑思维，掌握该推导方法后可快速解决同类多点连线计数问题。
【难度系数】
0.7
