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6. (1) 一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),两条直线可以把平面分成几个部分? 三条直线可以把平面分成几个部分? 试画图说明；
(2) 四条直线最多可以把平面分成几个部分? 试画出示意图,并说明这四条直线的位置关系；
(3) 平面上有$n$条直线. 每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的$n$条直线分一个平面所成的区域最多,记为$a_n$,试研究$a_n$与$n$之间的关系.
(2) 四条直线最多可以把平面分成几个部分? 试画出示意图,并说明这四条直线的位置关系；
(3) 平面上有$n$条直线. 每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的$n$条直线分一个平面所成的区域最多,记为$a_n$,试研究$a_n$与$n$之间的关系.
答案
6. (1) 3个或4个 4个或6个或7个 图略 (2) 11个 图略 四条直线两两相交,且无三线共点 (3) $a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$
解析
【分析】
(1) 解决两条直线分平面的问题时，需分两种情况讨论：两条直线平行、两条直线相交，分别计数即可；解决三条直线分平面的问题时，要全面考虑所有可能的位置关系：三条直线互相平行、两条平行第三条与它们相交、三条直线交于同一点、三条直线两两相交且无三线共点，逐类统计区域数量。
(2) 要让四条直线分平面的区域最多，需保证新增的每条直线都和之前所有直线相交，且没有三条直线交于同一点，此时新增区域数最多，累加即可得到最大值，同时明确对应直线的位置关系。
(3) 从n=1、2、3、4的特殊情况入手，寻找每次新增直线时增加的区域数的规律，通过累加求和推导$a_n$和n的关系。
【解析】
(1) ①两条直线的情况：
当两条直线互相平行时，可将平面分成3个部分；当两条直线相交时，可将平面分成4个部分，因此两条直线可以把平面分成3个或4个部分。
②三条直线的情况：
当三条直线互相平行时，可将平面分成4个部分；当有两条直线平行，第三条直线与这两条平行直线都相交时，可将平面分成6个部分；当三条直线交于同一点时，可将平面分成6个部分；当三条直线两两相交，且没有三条直线交于同一点时，可将平面分成7个部分，因此三条直线可以把平面分成4个或6个或7个部分。（图略）
(2) 要使分平面的区域最多，需每条新画的直线都与之前所有直线相交，且无三线共点：
1条直线最多分平面2个部分，2条直线最多分$2+2=4$个部分，3条直线最多分$4+3=7$个部分，4条直线最多分$7+4=11$个部分。
因此四条直线最多可以把平面分成11个部分，此时四条直线的位置关系是：两两相交，且没有三条直线交于同一点。（图略）
(3) 由最多分平面的区域数规律可得：
$a_1=2=1+1$
$a_2=4=1+1+2$
$a_3=7=1+1+2+3$
$a_4=11=1+1+2+3+4$
……
以此类推，n条直线最多分平面的区域数：
$a_n=1+(1+2+3+\dots+n)$
根据求和公式，$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此$a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
(1) 3个或4个；4个或6个或7个，图略
(2) 11个，图略，四条直线两两相交，且无三线共点
(3) $a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
直线分平面规律；相交线性质；归纳探究
【点评】
本题考查分类讨论思想与归纳推理能力，解题时需要全面考虑直线的不同位置关系，通过从特殊到一般的推导过程总结规律，有助于提升逻辑思维与探究能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解决两条直线分平面的问题时，需分两种情况讨论：两条直线平行、两条直线相交，分别计数即可；解决三条直线分平面的问题时，要全面考虑所有可能的位置关系：三条直线互相平行、两条平行第三条与它们相交、三条直线交于同一点、三条直线两两相交且无三线共点，逐类统计区域数量。
(2) 要让四条直线分平面的区域最多，需保证新增的每条直线都和之前所有直线相交，且没有三条直线交于同一点，此时新增区域数最多，累加即可得到最大值，同时明确对应直线的位置关系。
(3) 从n=1、2、3、4的特殊情况入手，寻找每次新增直线时增加的区域数的规律，通过累加求和推导$a_n$和n的关系。
【解析】
(1) ①两条直线的情况：
当两条直线互相平行时，可将平面分成3个部分；当两条直线相交时，可将平面分成4个部分，因此两条直线可以把平面分成3个或4个部分。
②三条直线的情况：
当三条直线互相平行时，可将平面分成4个部分；当有两条直线平行，第三条直线与这两条平行直线都相交时，可将平面分成6个部分；当三条直线交于同一点时，可将平面分成6个部分；当三条直线两两相交，且没有三条直线交于同一点时，可将平面分成7个部分，因此三条直线可以把平面分成4个或6个或7个部分。（图略）
(2) 要使分平面的区域最多，需每条新画的直线都与之前所有直线相交，且无三线共点：
1条直线最多分平面2个部分，2条直线最多分$2+2=4$个部分，3条直线最多分$4+3=7$个部分，4条直线最多分$7+4=11$个部分。
因此四条直线最多可以把平面分成11个部分，此时四条直线的位置关系是：两两相交，且没有三条直线交于同一点。（图略）
(3) 由最多分平面的区域数规律可得：
$a_1=2=1+1$
$a_2=4=1+1+2$
$a_3=7=1+1+2+3$
$a_4=11=1+1+2+3+4$
……
以此类推，n条直线最多分平面的区域数：
$a_n=1+(1+2+3+\dots+n)$
根据求和公式，$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，因此$a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$。
【答案】
(1) 3个或4个；4个或6个或7个，图略
(2) 11个，图略，四条直线两两相交，且无三线共点
(3) $a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
直线分平面规律；相交线性质；归纳探究
【点评】
本题考查分类讨论思想与归纳推理能力，解题时需要全面考虑直线的不同位置关系，通过从特殊到一般的推导过程总结规律，有助于提升逻辑思维与探究能力。
【难度系数】
0.6
7. (1) 观察思考
如图，线段AB上有两个点C,D，请分别写出以点A,B,C,D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
(2) 模型构建
如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
(3) 拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
如图，线段AB上有两个点C,D，请分别写出以点A,B,C,D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
(2) 模型构建
如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
(3) 拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
答案
7. (1)
∵以点A为左端点向右的线段有:线段AC,AD,AB,以点C为左端点向右的线段有线段CD,CB,以点D为左端点的线段有线段DB,
∴共有3+2+1=6(条)线段.
(2) $\frac{m(m-1)}{2}$,理由:设线段上有m个点,该线段上共有线段x条,则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1,
∴x=$\frac{m(m-1)}{2}$.
(3) 把8位同学看作直线上的8个点,每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段,直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数,因此一共要进行$\frac{8×(8-1)}{2}$=28(场)比赛.
∵以点A为左端点向右的线段有:线段AC,AD,AB,以点C为左端点向右的线段有线段CD,CB,以点D为左端点的线段有线段DB,
∴共有3+2+1=6(条)线段.
(2) $\frac{m(m-1)}{2}$,理由:设线段上有m个点,该线段上共有线段x条,则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1,
∴x=$\frac{m(m-1)}{2}$.
(3) 把8位同学看作直线上的8个点,每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段,直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数,因此一共要进行$\frac{8×(8-1)}{2}$=28(场)比赛.
解析
【分析】
第(1)问计数线段时，为了避免重复和遗漏，可采用固定左端点、依次向右匹配右端点的方法：先从最左侧的点A开始，数出所有以A为左端点的线段，再依次以右侧的C、D为左端点，数出对应向右的线段，最后相加得到总条数即可。
第(2)问是从特殊点数推导通用规律：当线段上有m个点时，每个点都可以和其余(m-1)个点连成线段，但每条线段会被两个端点各计算1次，因此总数要除以2；也可以通过累加求和的思路，对(m-1)到1的连续整数倒序相加推导得到公式。
第(3)问属于实际应用类问题，可将每位同学看作线段上的一个点，每两位同学之间的一场比赛对应两点之间的一条线段，因此比赛总场数就等于对应点数下的线段总条数，直接代入第(2)问的公式计算即可。
【解析】
(1) 按固定左端点的方法计数：
以点A为左端点向右的线段有：线段AC、AD、AB，共3条；
以点C为左端点向右的线段有：线段CD、CB，共2条；
以点D为左端点向右的线段有：线段DB，共1条；
因此总线段数为$3+2+1=6$条。
(2) 共有$\frac{m(m-1)}{2}$条线段，理由如下：
设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，按左端点计数规律可得：
$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\dots+3+2+1$
将上式倒序书写得：$x=1+2+3+\dots+(m-3)+(m-2)+(m-1)$
两式相加得$2x=m(m-1)$，因此$x=\frac{m(m-1)}{2}$。
(3) 把8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛对应两点之间的一条线段，因此比赛总场数等于8个点构成的线段总条数，代入(2)的公式计算：
总场数$=\frac{8×(8-1)}{2}=28$场。
【答案】
(1) 线段分别为AC、AD、AB、CD、CB、DB，共有6条线段；
(2) $\frac{m(m-1)}{2}$；
(3) 一共要进行28场比赛。
【知识点】
线段计数、规律探究、建模应用
【点评】
本题从基础的线段计数问题出发，引导学生由特殊情况归纳出通用规律，再将规律迁移到实际的单循环比赛问题中，既考查了线段计数的基本方法，也锻炼了归纳总结能力和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问计数线段时，为了避免重复和遗漏，可采用固定左端点、依次向右匹配右端点的方法：先从最左侧的点A开始，数出所有以A为左端点的线段，再依次以右侧的C、D为左端点，数出对应向右的线段，最后相加得到总条数即可。
第(2)问是从特殊点数推导通用规律：当线段上有m个点时，每个点都可以和其余(m-1)个点连成线段，但每条线段会被两个端点各计算1次，因此总数要除以2；也可以通过累加求和的思路，对(m-1)到1的连续整数倒序相加推导得到公式。
第(3)问属于实际应用类问题，可将每位同学看作线段上的一个点，每两位同学之间的一场比赛对应两点之间的一条线段，因此比赛总场数就等于对应点数下的线段总条数，直接代入第(2)问的公式计算即可。
【解析】
(1) 按固定左端点的方法计数：
以点A为左端点向右的线段有：线段AC、AD、AB，共3条；
以点C为左端点向右的线段有：线段CD、CB，共2条；
以点D为左端点向右的线段有：线段DB，共1条；
因此总线段数为$3+2+1=6$条。
(2) 共有$\frac{m(m-1)}{2}$条线段，理由如下：
设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，按左端点计数规律可得：
$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\dots+3+2+1$
将上式倒序书写得：$x=1+2+3+\dots+(m-3)+(m-2)+(m-1)$
两式相加得$2x=m(m-1)$，因此$x=\frac{m(m-1)}{2}$。
(3) 把8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛对应两点之间的一条线段，因此比赛总场数等于8个点构成的线段总条数，代入(2)的公式计算：
总场数$=\frac{8×(8-1)}{2}=28$场。
【答案】
(1) 线段分别为AC、AD、AB、CD、CB、DB，共有6条线段；
(2) $\frac{m(m-1)}{2}$；
(3) 一共要进行28场比赛。
【知识点】
线段计数、规律探究、建模应用
【点评】
本题从基础的线段计数问题出发，引导学生由特殊情况归纳出通用规律，再将规律迁移到实际的单循环比赛问题中，既考查了线段计数的基本方法，也锻炼了归纳总结能力和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
