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6 一种工艺品的进价为每件100元，按标价135元售出，每天可售出100件。据统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价（
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
A
）A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
答案
A
7 如图，AB 的长为 2，C 为线段 AB 上一动点，分别以 AC，BC 为斜边在 AB 的同侧作等腰直角三角形 ACD、等腰直角三角形 BCE，则 DE 长的最小值为
1
。答案
1 解析:设 $AC=x(0＜x＜2)$,则 $BC=2-x$. 因为$△ ACD$是等腰直角三角形,所以 $AD=CD$,$∠ ACD=45°$. 因为在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD^2+CD^2=AC^2$,即 $2CD^2=AC^2$,所以 $CD^2=\dfrac{AC^2}{2}=\dfrac{x^2}{2}$. 同理,可得$∠ ECB=45°$,$CE^2=\dfrac{(2-x)^2}{2}$. 所以$∠ DCE=180°-∠ ACD-∠ ECB=90°$. 所以在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,由勾股定理,得 $DE^2=CD^2+CE^2=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(2-x)^2}{2}=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$. 因为 $1＞0$,$0＜x＜2$,所以当 $x=1$ 时,$DE^2$ 取到最小值,为 1. 所以 $DE$ 长的最小值为 1.
8 [2025 内江]2025 年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 A，B 两款“哪吒”文旅纪念品. 已知购进 A 款 200 个，B 款 300 个，需花费 14 000 元；购进 A 款 100 个，B 款 200 个，需花费 8 000 元.
（1）A，B 两款“哪吒”纪念品每个的进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 12 000 元的资金购进 A，B 两款“哪吒”纪念品共 400 个，那么至少需要购进 B 款“哪吒”纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现当每个 A 款“哪吒”纪念品的售价为 60 元时，可售出 200 个，售价每增加 1 元，销售量将减少 5 个. 设每个 A 款“哪吒”纪念品的售价为 $a(60≤ a≤100)$ 元，该商家销售 A 款“哪吒”纪念品的利润为 W 元，求 W 关于 a 的函数表达式，并求出 W 的最大值.
（1）A，B 两款“哪吒”纪念品每个的进价分别为多少元？
（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 12 000 元的资金购进 A，B 两款“哪吒”纪念品共 400 个，那么至少需要购进 B 款“哪吒”纪念品多少个？
（3）在销售中，该商家发现当每个 A 款“哪吒”纪念品的售价为 60 元时，可售出 200 个，售价每增加 1 元，销售量将减少 5 个. 设每个 A 款“哪吒”纪念品的售价为 $a(60≤ a≤100)$ 元，该商家销售 A 款“哪吒”纪念品的利润为 W 元，求 W 关于 a 的函数表达式，并求出 W 的最大值.
答案
（1）设每个 A 款“哪吒”纪念品的进价为 x 元,每个 B 款“哪吒”纪念品的进价为 y 元. 由题意,得$\begin{cases}200x+300y=14000,\\100x+200y=8000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=40,\\y=20.\end{cases}$所以每个 A 款“哪吒”纪念品的进价为 40 元,每个 B 款“哪吒”纪念品的进价为 20 元
（2）设购进 B 款“哪吒”纪念品 m 个,则购进 A 款“哪吒”纪念品$(400-m)$个. 由题意,得$40(400-m)+20m≤12000$,解得 $m≥200$. 所以 m 的最小值为200. 所以至少需要购进 B 款“哪吒”纪念品 200 个
（3）由题意,得$W=(a-40)[200-5(a-60)]=(a-40)(200-5a+300)=(a-40)(500-5a)=500a-20000-5a^2+200a=-5(a-70)^2+4500$. 因为$-5＜0$,$60≤ a≤100$,所以当 $a=70$时,W 最大,最大值为 4500
（2）设购进 B 款“哪吒”纪念品 m 个,则购进 A 款“哪吒”纪念品$(400-m)$个. 由题意,得$40(400-m)+20m≤12000$,解得 $m≥200$. 所以 m 的最小值为200. 所以至少需要购进 B 款“哪吒”纪念品 200 个
（3）由题意,得$W=(a-40)[200-5(a-60)]=(a-40)(200-5a+300)=(a-40)(500-5a)=500a-20000-5a^2+200a=-5(a-70)^2+4500$. 因为$-5＜0$,$60≤ a≤100$,所以当 $a=70$时,W 最大,最大值为 4500
9 某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现,当销售价格不低于进价时,日销售量 y(盒)与销售价格 x(元/盒)之间满足一次函数关系,y 与 x 的几组对应值如下表:
(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式.
(2) 当糖果的销售价格定为多少时,超市所获的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
(3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果的最大日销售利润为 392 元,求 m 的值.
(1) 求 y 与 x 之间的函数表达式.
(2) 当糖果的销售价格定为多少时,超市所获的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
(3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 m 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果的最大日销售利润为 392 元,求 m 的值.
答案
（1）设 $y=kx+b(k≠0)$. 由题表,得$\begin{cases}12k+b=56,\\14k+b=52,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=80.\end{cases}$所以 $y=-2x+80$
（2）设日销售利润为 w 元. 由题意,得$w=(x-10)(-2x+80)=-2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450$. 因为 $x≥10$,$-2x+80≥0$,所以 $10≤ x≤40$. 又因为$-2＜0$,所以当 $x=25$ 时,w 取得最大值,为 450. 所以当糖果的销售价格定为 25 元/盒时,超市所获的日销售利润最大,最大日销售利润是 450 元
（3）由(2)及题意,得$w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$. 因为最大日销售利润为 392 元,所以$\dfrac{4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392$. 整理,得 $m^2-60m+116=0$,解得 $m_1=2$,$m_2=58$. 当 $m=58$ 时,该糖果的售价为$-\dfrac{100+2×58}{2×(-2)}=54$(元/盒),此时每盒糖果的利润为 $54-10-58=-14$(元),故舍去. 所以 m 的值为 2
（2）设日销售利润为 w 元. 由题意,得$w=(x-10)(-2x+80)=-2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450$. 因为 $x≥10$,$-2x+80≥0$,所以 $10≤ x≤40$. 又因为$-2＜0$,所以当 $x=25$ 时,w 取得最大值,为 450. 所以当糖果的销售价格定为 25 元/盒时,超市所获的日销售利润最大,最大日销售利润是 450 元
（3）由(2)及题意,得$w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$. 因为最大日销售利润为 392 元,所以$\dfrac{4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392$. 整理,得 $m^2-60m+116=0$,解得 $m_1=2$,$m_2=58$. 当 $m=58$ 时,该糖果的售价为$-\dfrac{100+2×58}{2×(-2)}=54$(元/盒),此时每盒糖果的利润为 $54-10-58=-14$(元),故舍去. 所以 m 的值为 2
