1 如图，$\mathrm{Rt}△ OAB$ 的顶点 $A(-2,4)$ 在抛物线 $y=ax^2$ 上，点 $D$ 在 $y$ 轴上，$\mathrm{Rt}△ OCD ≌ \mathrm{Rt}△ OAB$，边 $CD$ 与该抛物线交于点 $P$，则点 $P$ 的坐标为（）

A.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
B.$(2,2)$
C.$(\sqrt{2},2)$
D.$(2,\sqrt{2})$

C

2 如图，抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 与一直线相交于$A(-1,0),C(2,3)$两点，与$y$轴交于点$N$，其顶点为$D$。
（1）求抛物线及直线$AC$对应的函数表达式；
（2）若$P$是抛物线上位于直线$AC$上方的一个动点，求$△ APC$面积的最大值。

（1）由抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 过 $A(-1,0)$,$C(2,3)$ 两点,得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-4+2b+c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$所以抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$. 设直线 $AC$ 对应的函数表达式为 $y=kx+n$. 将点 $A(-1,0)$,$C(2,3)$ 的坐标代入,得$\begin{cases}-k+n=0,\\2k+n=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\n=1.\end{cases}$所以直线 $AC$ 对应的函数表达式为 $y=x+1$
（2）如图,过点 P 作 $PH⊥ x$ 轴于点 H,交 AC 于点 Q,过点 C 作 $CG⊥ x$ 轴于点 G,设 $Q(x,x+1)$,则 $P(x,-x^2+2x+3)$,所以 $PQ=(-x^2+2x+3)-(x+1)=-x^2+x+2$. 又因为 $S_{△ APC}=S_{△ APQ}+S_{△ CPQ}=\dfrac{1}{2}PQ· AG=\dfrac{1}{2}(-x^2+x+2)×3=-\dfrac{3}{2}(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{27}{8}$,所以当 $x=\dfrac{1}{2}$ 时,$△ APC$ 的面积取得最大值,为$\dfrac{27}{8}$

3 如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OC 与 x 轴正半轴的夹角为 $15°$,点 B 在抛物线 $y=ax^2(a＜0)$ 上,则 a 的值为 ()

A.$-\frac{2}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$

B

4 如图，P是抛物线$y=x^2 - x - 4$在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为（）

A.10
B.8
C.7.5
D.$5\sqrt{3}$

A

5 如图,菱形OABC的顶点O,A,C在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$上,其中O为坐标原点,对角线OB在y轴上,且OB=2,则菱形OABC的面积为.

$2\sqrt{3}$

6 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x-4$ 交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.P为线段BC下方抛物线上的任意一点,一动点G从点P出发,沿适当路径以每秒1个单位的速度运动到y轴上的点M,再沿适当路径以每秒1个单位的速度运动到x轴上的点N,最后沿x轴以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动到点B.当四边形ACPB的面积最大时,求运动时间t的最小值. (第6题)

$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{1}{3}x-4$,令 $x=0$,则 $y=-4$,令 $y=0$,则 $x=-3$ 或 $x=4$,故点 A,B,C 的坐标分别为$(-3,0)$,$(4,0)$,$(0,-4)$. 所以直线 BC 对应的函数表达式为 $y=x-4$. 因为 $S_{四边形ACPB}=S_{△ ABC}+S_{△ PBC}$,$S_{△ ABC}$ 为定值,所以只要 $S_{△ PBC}$取得最大值,四边形 ACPB 的面积即为最大. 如图,过点 P 作 $PS⊥ x$ 轴交 BC 于点 S. 设 $P(m,\dfrac{1}{3}m^2-\dfrac{1}{3}m-4)$,$0＜m＜4$,则 $S(m,m-4)$,$S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}× OB· PS=\dfrac{1}{2}×4×(m-4-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{1}{3}m+4)=-\dfrac{2}{3}m^2+\dfrac{8}{3}m=-\dfrac{2}{3}(m-2)^2+\dfrac{8}{3}$. 因为$-\dfrac{2}{3}＜0$,所以当 $m=2$ 时,$S_{△ PBC}$ 有最大值,即四边形 ACPB 的面积有最大值. 所以 $P(2,-\dfrac{10}{3})$. 作点 P 关于 y 轴的对称点 $P'$,可得 $P'(-2,-\dfrac{10}{3})$,过点 B 作 $BK⊥ BC$ 交 y 轴于点 K,作 $P'H⊥ BK$ 于点 H,交 y 轴于点 M,交 x 轴于点 N,则此时运动时间 t 的值最小. 易得$△ BNH$ 为等腰直角三角形,所以 $t=PM+MN+\dfrac{\sqrt{2}}{2}BN=P'M+MN+HN=P'H$. 因为 $∠ KBO=45°$,$∠ KOB=90°$,所以 $∠ OKB=45°$. 所以 $KO=OB$. 因为 $B(4,0)$,所以 $K(0,4)$. 所以易得直线 BK 对应的函数表达式为 $y=-x+4$①. 因为 $P'H⊥ BK$,$BC⊥ BK$,所以 $P'H// BC$. 所以易得直线 $P'H$ 对应的函数表达式为 $y=x-\dfrac{4}{3}$②. 联立①②,解得$\begin{cases}x=\dfrac{8}{3},\\y=\dfrac{4}{3}.\end{cases}$ 故 $H(\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3})$. 所以 $t=P'H=\sqrt{(-2-\dfrac{8}{3})^2+(-\dfrac{10}{3}-\dfrac{4}{3})^2}=\dfrac{14\sqrt{2}}{3}$. 所以运动时间 t 的最小值为$\dfrac{14\sqrt{2}}{3}$