7 如图, 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+mx+n$ 与 $x$ 轴交于$A,B$两点, 与 $y$ 轴交于点$C$, 抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点$D$, 已知 $A(-1,0),C(0,2)$.
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$, 使 $△ PCD$ 是以 $CD$ 为腰的等腰三角形？如果存在, 请直接写出点 $P$ 的坐标；如果不存在, 请说明理由.
（3）若 $E$ 是线段 $BC$ 上的一个动点, 过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $F$, 当点 $E$ 运动到什么位置时, 四边形 $CDBF$ 的面积最大？求出四边形 $CDBF$ 的最大面积及此时点 $E$ 的坐标.

（1）因为点 $A(-1,0)$,$C(0,2)$ 在抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+mx+n$ 上,所以$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}-m+n=0,\\n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{3}{2},\\n=2.\end{cases}$所以抛物线对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2$
（2）存在. 因为抛物线的对称轴为直线 $x=-\dfrac{\dfrac{3}{2}}{2×(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{3}{2}$,所以 $D(\dfrac{3}{2},0)$. 所以 $CD=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{(\dfrac{3}{2})^2+2^2}=\dfrac{5}{2}$. 如图,当 $CP=CD$ 时,则 $P_1(\dfrac{3}{2},4)$;当 $DP=DC$ 时,则 $P_2(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$,$P_3(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{2})$. 综上所述,满足条件的点 P 的坐标为 $(\dfrac{3}{2},4)$ 或 $(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$ 或 $(\dfrac{3}{2},-\dfrac{5}{2})$
（3）当 $y=0$ 时,$-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2=0$,解得 $x_1=-1$,$x_2=4$,则 $B(4,0)$,设直线 BC 对应的函数表达式为 $y=kx+b$,把点 $B(4,0)$,$C(0,2)$ 的坐标代入,得$\begin{cases}4k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=2.\end{cases}$所以直线 BC 对应的函数表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$. 设 $E(x,-\dfrac{1}{2}x+2)(0≤ x≤4)$,则 $F(x,-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2)$,所以 $FE=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{3}{2}x+2-(-\dfrac{1}{2}x+2)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x$. 因为 $S_{△ BCF}=S_{△ BEF}+S_{△ CEF}=\dfrac{1}{2}×4× EF=2(-\dfrac{1}{2}x^2+2x)=-x^2+4x$,又因为 $S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}×2×(4-\dfrac{3}{2})=\dfrac{5}{2}$,所以 $S_{四边形CDBF}=S_{△ BCF}+S_{△ BCD}=-x^2+4x+\dfrac{5}{2}=-(x-2)^2+\dfrac{13}{2}(0≤ x≤4)$. 所以当 $x=2$ 时,$S_{四边形CDBF}$ 有最大值,最大值为$\dfrac{13}{2}$,此时点 E 的坐标为$(2,1)$

8 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点$A(3,0),B(-1,0)$,与y轴交于点C,且$OC=3OB$,顶点为D,连结OD,交AC于点E.
(1) 求抛物线对应的函数表达式;
(2) P为抛物线的AD部分上一动点,过点P作$PF // DE$交AC于点F,探究四边形DPAF面积的最大值及此时点P的坐标.

（1）因为 $A(3,0)$,$B(-1,0)$,所以 $OA=3$,$OB=1$. 因为 $OC=3OB$,所以 $OC=3$. 所以 $C(0,3)$. 因为点 $A(3,0)$,$B(-1,0)$,$C(0,3)$ 在抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 上,所以$\begin{cases}9a+3b+c=0,\\a-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3.\end{cases}$所以抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
（2）因为 $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,所以 $D(1,4)$. 如图,过点 E 作 $EM⊥ OA$ 于点 M,过点 P 作 $PN⊥ OA$ 于点 N,连结 EP. 因为 $DE// PF$,所以 $S_{△ DPF}=S_{△ EPF}$. 所以 $S_{四边形DPAF}=S_{△ APF}+S_{△ DPF}=S_{△ APF}+S_{△ EPF}=S_{△ APE}$. 设 $P(m,-m^2+2m+3)$,$1＜m＜3$,则 $ON=m$,$PN=-m^2+2m+3$. 设直线 AC 对应的函数表达式为 $y=kx+n$,把点 $A(3,0)$,$C(0,3)$ 的坐标代入,得$\begin{cases}n=3,\\3k+n=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\n=3.\end{cases}$所以直线 AC 对应的函数表达式为 $y=-x+3$①. 设直线 OD 对应的函数表达式为 $y=dx$,将 $D(1,4)$ 代入,得 $d=4$. 所以直线 OD 对应的函数表达式为 $y=4x$②. 联立①②,得$\begin{cases}y=4x,\\y=-x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{3}{5},\\y=\dfrac{12}{5}.\end{cases}$所以 $E(\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5})$. 所以 $OM=\dfrac{3}{5}$,$ME=\dfrac{12}{5}$. 所以 $MN=m-\dfrac{3}{5}$. 因为 $NA=3-m$,所以 $S_{△ APE}=S_{四边形EMNP}+S_{△ ANP}-S_{△ AME}=\dfrac{1}{2}(PN+EM)× MN+\dfrac{1}{2}AN· PN-\dfrac{1}{2}AM· ME=\dfrac{1}{2}(-m^2+2m+3+\dfrac{12}{5})×(m-\dfrac{3}{5})+\dfrac{1}{2}(3-m)×(-m^2+2m+3)-\dfrac{1}{2}(3-\dfrac{3}{5})×\dfrac{12}{5}=-\dfrac{6}{5}m^2+\dfrac{18}{5}m=-\dfrac{6}{5}(m-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{10}$. 因为$-\dfrac{6}{5}＜0$,所以当 $m=\dfrac{3}{2}$ 时,$S_{△ APE}$ 取最大值,为$\dfrac{27}{10}$. 所以四边形 DPAF 面积的最大值为$\dfrac{27}{10}$,此时点 P 的坐标为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$