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【例1】用公式法解下列方程：
(1)$4x^2 + 4x - 1 = -10 - 8x$；
(2)$6x^2 + 6 = 4\sqrt{6}x$。
解：
【规律方法】
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”
(1)把一元二次方程化为一般形式。
(2)确定$a,b,c$的值。
(3)计算$b^2 - 4ac$的值。
(4)当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，把$a,b,c$的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程无实数根。
|变式训练|
(1)$4x^2 + 4x - 1 = -10 - 8x$；
(2)$6x^2 + 6 = 4\sqrt{6}x$。
解：
【规律方法】
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”
(1)把一元二次方程化为一般形式。
(2)确定$a,b,c$的值。
(3)计算$b^2 - 4ac$的值。
(4)当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，把$a,b,c$的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程无实数根。
|变式训练|
答案
(1) $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$
(2) 此方程无实数根
(2) 此方程无实数根
1.用公式法解下列方程：
(1)$3x^2 -8x +3=0$；
(2)$2x^2 -2\sqrt{3}x -1=0$。
(1)$3x^2 -8x +3=0$；
(2)$2x^2 -2\sqrt{3}x -1=0$。
答案
(1) $x_1=\frac{4+\sqrt{7}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2}$
【例2】若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + 2x +1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
C
一题多变
（改变条件）若把例2中的“有实数根”改为“无实数根”，则实数a的取值范围是
【规律方法】
利用根的判别式求字母的值
或取值范围的方法
利用根的判别式求待定字母的值或取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断$b^2 -4ac$与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的方程(组)或不等式(组)，最后解方程(组)或不等式(组)。
（改变条件）若把例2中的“有实数根”改为“无实数根”，则实数a的取值范围是
a＞2
.【规律方法】
利用根的判别式求字母的值
或取值范围的方法
利用根的判别式求待定字母的值或取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断$b^2 -4ac$与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的方程(组)或不等式(组)，最后解方程(组)或不等式(组)。
答案
a＞2
2.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 2x +1=0$有两个相等的实数根，则实数$a$的值为（
A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
C
）A.$-4$
B.$-1$
C.$1$
D.$4$
答案
2. C
【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$。
(1)若方程的一个根为2，求实数$m$的值。
(2)试说明无论实数$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
解：
(1)若方程的一个根为2，求实数$m$的值。
(2)试说明无论实数$m$为何值，该方程总有两个不相等的实数根。
解：
答案
(1)$m=-1$.
(2)因为$a=1,b=m,c=-2$,所以$\Delta=b^2-4ac=m^2-4×1×(-2)=m^2+8$.
因为无论$m$取何值,$m^2+8＞0$恒成立,
即无论$m$取何值,$\Delta＞0$恒成立,
所以无论实数$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)因为$a=1,b=m,c=-2$,所以$\Delta=b^2-4ac=m^2-4×1×(-2)=m^2+8$.
因为无论$m$取何值,$m^2+8＞0$恒成立,
即无论$m$取何值,$\Delta＞0$恒成立,
所以无论实数$m$为何值,该方程总有两个不相等的实数根.
