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1. 下列各组线段中,成比例的是 （）
A.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm
B.2 cm,4 cm,6 cm,12 cm
C.3 cm,6 cm,8 cm,12 cm
D.1 cm,2 cm,5 cm,15 cm
A.2 cm,3 cm,4 cm,5 cm
B.2 cm,4 cm,6 cm,12 cm
C.3 cm,6 cm,8 cm,12 cm
D.1 cm,2 cm,5 cm,15 cm
答案
B
解析
【分析】要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d满足a:b = c:d（或ad=bc），则这四条线段成比例。解题时为了方便计算，可先将每组线段按从小到大的顺序排列，再验证最长线段与最短线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，若相等则成比例，反之不成比例。
【解析】判断成比例线段的常用方法：将四条线段按长度从小到大排序后，验证最短×最长 = 中间两线段的乘积是否成立。
A. 排序为2cm,3cm,4cm,5cm，$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，不成比例，排除；
B. 排序为2cm,4cm,6cm,12cm，$2×12=24$，$4×6=24$，乘积相等，即$2:4=6:12$，成比例，符合要求；
C. 排序为3cm,6cm,8cm,12cm，$3×12=36$，$6×8=48$，$36≠48$，不成比例，排除；
D. 排序为1cm,2cm,5cm,15cm，$1×15=15$，$2×5=10$，$15≠10$，不成比例，排除。
【答案】B
【知识点】成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】本题属于基础题，主要考查成比例线段的判断方法，使用“排序后乘积验证法”可以快速准确得出结果，避免因线段顺序混乱导致判断错误。
【难度系数】0.8
【解析】判断成比例线段的常用方法：将四条线段按长度从小到大排序后，验证最短×最长 = 中间两线段的乘积是否成立。
A. 排序为2cm,3cm,4cm,5cm，$2×5=10$，$3×4=12$，$10≠12$，不成比例，排除；
B. 排序为2cm,4cm,6cm,12cm，$2×12=24$，$4×6=24$，乘积相等，即$2:4=6:12$，成比例，符合要求；
C. 排序为3cm,6cm,8cm,12cm，$3×12=36$，$6×8=48$，$36≠48$，不成比例，排除；
D. 排序为1cm,2cm,5cm,15cm，$1×15=15$，$2×5=10$，$15≠10$，不成比例，排除。
【答案】B
【知识点】成比例线段的判定；比例的基本性质
【点评】本题属于基础题，主要考查成比例线段的判断方法，使用“排序后乘积验证法”可以快速准确得出结果，避免因线段顺序混乱导致判断错误。
【难度系数】0.8
2. 五线谱是一种记谱法,通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律。如图2,同一条直线上的三个点$A,B,C$都在平行线上。若$BC=3$,则$AB$的长是 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时先提取题目关键信息：五线谱的五根线是等距离的平行线，点A、B、C在同一条被平行线所截的直线上，已知BC长度求AB。我们可通过平行线分线段成比例定理求解：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，由于平行线等距，因此截得的线段长度之比等于线段所跨的相邻平行线间隔数之比，先数出AB、BC分别跨的间隔数得到比值，再代入BC的长度即可算出AB。
【解析】
解：
∵五线谱的五根平行线为等距平行线，根据平行线分线段成比例定理，同一条直线被平行线截得的线段长度之比等于对应线段所跨的相邻平行线间隔数之比。
观察图形可得，AB跨2个相邻平行线间隔，BC跨3个相邻平行线间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
又
∵$BC=3$，
∴$\frac{AB}{3}=\frac{2}{3}$，解得$AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，线段的比
【点评】
本题结合生活中五线谱的实际背景考查几何定理的应用，解题核心是找准线段与平行线间隔的对应关系，将实际问题转化为几何比例问题求解。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题目关键信息：五线谱的五根线是等距离的平行线，点A、B、C在同一条被平行线所截的直线上，已知BC长度求AB。我们可通过平行线分线段成比例定理求解：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，由于平行线等距，因此截得的线段长度之比等于线段所跨的相邻平行线间隔数之比，先数出AB、BC分别跨的间隔数得到比值，再代入BC的长度即可算出AB。
【解析】
解：
∵五线谱的五根平行线为等距平行线，根据平行线分线段成比例定理，同一条直线被平行线截得的线段长度之比等于对应线段所跨的相邻平行线间隔数之比。
观察图形可得，AB跨2个相邻平行线间隔，BC跨3个相邻平行线间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
又
∵$BC=3$，
∴$\frac{AB}{3}=\frac{2}{3}$，解得$AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
平行线分线段成比例，线段的比
【点评】
本题结合生活中五线谱的实际背景考查几何定理的应用，解题核心是找准线段与平行线间隔的对应关系，将实际问题转化为几何比例问题求解。
【难度系数】
0.8
3. (2024·哈尔滨)如图3,在四边形ABCD中,AD//BC,点E在AB上,EF//AD交CD于点F,若AE:BE=1:2,DF=3,则FC的长为 ()
A.6
B.3
C.5
D.9
A.6
B.3
C.5
D.9
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形，已知AD//BC，EF//AD，根据平行线的传递性可得到AD、EF、BC三条直线互相平行。此时AB、CD两条直线被这组平行线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用条件，因此可得对应线段AE与BE的比等于DF与FC的比，将已知的线段比例和DF的长度代入比例式即可求解FC的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，EF//AD
∴AD//EF//BC
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$
已知AE:BE=1:2，DF=3，代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{3}{FC}$
解得$FC=6$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例、平行线的传递性
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是先确定平行直线组，再准确对应成比例的线段代入计算即可。
【难度系数】
0.85
首先观察图形，已知AD//BC，EF//AD，根据平行线的传递性可得到AD、EF、BC三条直线互相平行。此时AB、CD两条直线被这组平行线所截，符合平行线分线段成比例定理的应用条件，因此可得对应线段AE与BE的比等于DF与FC的比，将已知的线段比例和DF的长度代入比例式即可求解FC的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，EF//AD
∴AD//EF//BC
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AE}{BE}=\frac{DF}{FC}$
已知AE:BE=1:2，DF=3，代入比例式得：
$\frac{1}{2}=\frac{3}{FC}$
解得$FC=6$
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例、平行线的传递性
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题关键是先确定平行直线组，再准确对应成比例的线段代入计算即可。
【难度系数】
0.85
4. 若$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$，则$\frac{x-y}{x}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$
解析
【分析】
本题已知x与y的比值，求分式的值，有两种符合学段要求的常用解题思路：思路1：先将待求分式$\frac{x-y}{x}$拆分变形为$1-\frac{y}{x}$，再直接代入已知的$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$计算即可，该方法步骤更简便；思路2：根据比例的性质设参数，令$x=7k$、$y=3k$（$k≠0$），再将参数代入待求分式，约去参数后即可得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式法
先对待求式变形：$\frac{x-y}{x}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}=1-\frac{y}{x}$
将$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$代入上式，计算得：
$1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$
方法二：参数法
由$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$，可设$x=7k$，$y=3k$（$k≠0$，比例的后项不为0）
将$x=7k$、$y=3k$代入$\frac{x-y}{x}$得：
$\frac{7k-3k}{7k}=\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$（$k≠0$，可直接约去）
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，考察对比例性质的灵活应用，拆分分式的方法可以简化计算步骤，是比例类求值题的常用技巧，熟练掌握后可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题已知x与y的比值，求分式的值，有两种符合学段要求的常用解题思路：思路1：先将待求分式$\frac{x-y}{x}$拆分变形为$1-\frac{y}{x}$，再直接代入已知的$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$计算即可，该方法步骤更简便；思路2：根据比例的性质设参数，令$x=7k$、$y=3k$（$k≠0$），再将参数代入待求分式，约去参数后即可得到结果。
【解析】
方法一：拆分分式法
先对待求式变形：$\frac{x-y}{x}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}=1-\frac{y}{x}$
将$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$代入上式，计算得：
$1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$
方法二：参数法
由$\frac{y}{x}=\frac{3}{7}$，可设$x=7k$，$y=3k$（$k≠0$，比例的后项不为0）
将$x=7k$、$y=3k$代入$\frac{x-y}{x}$得：
$\frac{7k-3k}{7k}=\frac{4k}{7k}=\frac{4}{7}$（$k≠0$，可直接约去）
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，考察对比例性质的灵活应用，拆分分式的方法可以简化计算步骤，是比例类求值题的常用技巧，熟练掌握后可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 若$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}≠0$，则$\frac{x+y-z}{2x+z}$的值是。
答案
$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式且比值不为0的题型，最常用的解题方法是参数法：先设这组比例的比值为参数k（k≠0），再用含k的式子分别表示出x、y、z，最后将其代入待求的代数式中，化简后参数k会相互抵消，即可求出代数式的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），
则$x=2k$，$y=7k$，$z=5k$。
将上述表达式代入$\frac{x+y-z}{2x+z}$得：
分子：$x+y-z=2k+7k-5k=4k$，
分母：$2x+z=2×2k+5k=4k+5k=9k$，
因为$k≠0$，所以$\frac{x+y-z}{2x+z}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
比例的性质；代数式化简求值
【点评】
本题是比例计算的常规题型，重点考查用参数法处理连比式的能力，计算难度较低，熟练掌握参数法解比例题的技巧即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式且比值不为0的题型，最常用的解题方法是参数法：先设这组比例的比值为参数k（k≠0），再用含k的式子分别表示出x、y、z，最后将其代入待求的代数式中，化简后参数k会相互抵消，即可求出代数式的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），
则$x=2k$，$y=7k$，$z=5k$。
将上述表达式代入$\frac{x+y-z}{2x+z}$得：
分子：$x+y-z=2k+7k-5k=4k$，
分母：$2x+z=2×2k+5k=4k+5k=9k$，
因为$k≠0$，所以$\frac{x+y-z}{2x+z}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
比例的性质；代数式化简求值
【点评】
本题是比例计算的常规题型，重点考查用参数法处理连比式的能力，计算难度较低，熟练掌握参数法解比例题的技巧即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知$a:b=2:3,b:c=3:4$,且$2a+b-c=6$,求$a,b,c$的值。
答案
解：
由$a:b=2:3$，$b:c=3:4$，可得$a:b:c=2:3:4$。
设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k≠0$），将其代入$2a+b-c=6$，得：
$2× 2k + 3k - 4k = 6$
化简得$3k=6$，
解得$k=2$。
$\therefore a=2× 2=4$，$b=3× 2=6$，$c=4× 2=8$。
由$a:b=2:3$，$b:c=3:4$，可得$a:b:c=2:3:4$。
设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k≠0$），将其代入$2a+b-c=6$，得：
$2× 2k + 3k - 4k = 6$
化简得$3k=6$，
解得$k=2$。
$\therefore a=2× 2=4$，$b=3× 2=6$，$c=4× 2=8$。
解析
【分析】
解题时首先观察给出的两个比例式，发现两个比例中b的占比均为3份，因此可直接得到a、b、c三者的连比；接下来利用比例问题中常用的设参数法（即设k法），将a、b、c分别用含参数k的代数式表示；最后将含k的式子代入已知方程2a+b-c=6，求解得到k的值，再回代即可求出a、b、c的数值。
【解析】
解：由$a:b=2:3$，$b:c=3:4$，可得$a:b:c=2:3:4$。
设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k≠0$），将其代入$2a+b-c=6$，得：
$2× 2k + 3k - 4k = 6$
化简得$3k=6$，
解得$k=2$。
$\therefore a=2× 2=4$，$b=3× 2=6$，$c=4× 2=8$。
【答案】
$a=4$，$b=6$，$c=8$
【知识点】
比例的性质、连比化简、参数法解题
【点评】
本题是比例计算的典型基础题，解题关键是通过公共项b将两个独立的比例转化为三个量的连比，再用设参数的方法将多未知量问题转化为一元一次方程求解，方法通用性强，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察给出的两个比例式，发现两个比例中b的占比均为3份，因此可直接得到a、b、c三者的连比；接下来利用比例问题中常用的设参数法（即设k法），将a、b、c分别用含参数k的代数式表示；最后将含k的式子代入已知方程2a+b-c=6，求解得到k的值，再回代即可求出a、b、c的数值。
【解析】
解：由$a:b=2:3$，$b:c=3:4$，可得$a:b:c=2:3:4$。
设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k≠0$），将其代入$2a+b-c=6$，得：
$2× 2k + 3k - 4k = 6$
化简得$3k=6$，
解得$k=2$。
$\therefore a=2× 2=4$，$b=3× 2=6$，$c=4× 2=8$。
【答案】
$a=4$，$b=6$，$c=8$
【知识点】
比例的性质、连比化简、参数法解题
【点评】
本题是比例计算的典型基础题，解题关键是通过公共项b将两个独立的比例转化为三个量的连比，再用设参数的方法将多未知量问题转化为一元一次方程求解，方法通用性强，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
1.(2025·云南)如图4,在$△ ABC$中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且$DE// BC$。若$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,则$\frac{DE}{BC}=$ ()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察图形条件，已知DE//BC，可联想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理，先证明△ADE与△ABC相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，可知DE与BC的比值等于相似比AD与AB的比值，代入已知的比例值即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例可得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用平行线判定三角形相似，以及相似三角形对应边成比例的性质，解题思路直接，是相似三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形条件，已知DE//BC，可联想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定定理，先证明△ADE与△ABC相似；再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，可知DE与BC的比值等于相似比AD与AB的比值，代入已知的比例值即可求出结果。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例可得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用平行线判定三角形相似，以及相似三角形对应边成比例的性质，解题思路直接，是相似三角形章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
