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12.在桌上搭有一些大小相同的小立方块,其从正面和从左面看到的形状图如图所示,则要搭出这样的图形至少需要
6
个小立方块,最多需要16
个小立方块。答案
12. 6 16
解析
【分析】
解题时先通过两个视图提取关键信息：正视图能得到几何体的列数和每列的最大层数，左视图能得到几何体的行数和每行的最大层数。我们分层（底层、上层）分别计算小立方块的最多、最少数量，再相加得到总数量的最值即可：
1. 先看正视图：共4列，从左到右每列最大层数为2、2、1、1；
2. 再看左视图：共3行（前后方向），从左到右每行最大层数为2、1、2；
3. 计算最值时，最少数量要满足“行列都有覆盖即可”，最多数量要满足“符合层高要求的位置全放”。
【解析】
一、计算最少小立方块数量
1. 底层：需要同时覆盖4列、3行，最少放置4个小立方块即可满足底层的正视图、左视图要求；
2. 上层：仅需在同时满足“正视图前两列、左视图第1和第3行”的位置各放1个，共2个就满足两层的视图要求；
3. 最少总数：$4+2=6$个。
二、计算最多小立方块数量
1. 底层：所有4列3行的位置都可以放置，共$4×3=12$个；
2. 上层：所有符合“正视图前两列、左视图第1和第3行”的位置都放置，共$2×2=4$个；
3. 最多总数：$12+4=16$个。
【答案】
6；16
【知识点】
三视图判断几何体；几何体的视图
【点评】
本题需要结合正视图和左视图的信息分层分析小立方块的数量，核心是理解正视图对应列高、左视图对应行高的规律，熟练后就能快速推算最值。
【难度系数】
0.65
解题时先通过两个视图提取关键信息：正视图能得到几何体的列数和每列的最大层数，左视图能得到几何体的行数和每行的最大层数。我们分层（底层、上层）分别计算小立方块的最多、最少数量，再相加得到总数量的最值即可：
1. 先看正视图：共4列，从左到右每列最大层数为2、2、1、1；
2. 再看左视图：共3行（前后方向），从左到右每行最大层数为2、1、2；
3. 计算最值时，最少数量要满足“行列都有覆盖即可”，最多数量要满足“符合层高要求的位置全放”。
【解析】
一、计算最少小立方块数量
1. 底层：需要同时覆盖4列、3行，最少放置4个小立方块即可满足底层的正视图、左视图要求；
2. 上层：仅需在同时满足“正视图前两列、左视图第1和第3行”的位置各放1个，共2个就满足两层的视图要求；
3. 最少总数：$4+2=6$个。
二、计算最多小立方块数量
1. 底层：所有4列3行的位置都可以放置，共$4×3=12$个；
2. 上层：所有符合“正视图前两列、左视图第1和第3行”的位置都放置，共$2×2=4$个；
3. 最多总数：$12+4=16$个。
【答案】
6；16
【知识点】
三视图判断几何体；几何体的视图
【点评】
本题需要结合正视图和左视图的信息分层分析小立方块的数量，核心是理解正视图对应列高、左视图对应行高的规律，熟练后就能快速推算最值。
【难度系数】
0.65
13.如图所示的是一个正方体骰子的表面展开图,请根据要求回答问题:
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么几点在正面?
(2)如果5点在下面,那么几点在上面?
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么几点在正面?
(2)如果5点在下面,那么几点在上面?
答案
解:(1)如果1点在上面,3点在左面,那么2点在正面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
解析
【分析】
解决本题的核心是先确定正方体展开图的相对面，用到“一四一”型展开图的相对面规律：相对的面不相邻，中间四个面中间隔一个的是相对面，上下单独的两个面为相对面。首先数清每个面的点数，找到三对相对面后，再结合题目给出的已知面位置，排除已确定位置的面，就能推出所求面的点数。
【解析】
先判断各面的相对关系：该展开图为正方体“一四一”型展开图，
最上方的5点面和最下方的2点面是相对面；
中间行最左侧的6点面和中间第三个的1点面间隔一个面，是相对面；
中间行第二个的3点面和最右侧的4点面是相对面。
(1) 已知1点在上面，可知其相对面6点在下面；3点在左面，可知其相对面4点在右面。剩余面为2点面和5点面，折成正方体后，此时5点面在背面，因此2点在正面。
(2) 相对面在正方体中位置完全相对，5点面的相对面是2点面，因此5点在下面时，2点在上面。
【答案】
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么2点在正面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
【知识点】
正方体展开图，相对面判断
【点评】
本题是正方体展开图的基础典型题，解题关键是准确识别展开图中的相对面，结合简单的空间想象就能快速解题，熟练掌握常见正方体展开图的相对面规律可提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先确定正方体展开图的相对面，用到“一四一”型展开图的相对面规律：相对的面不相邻，中间四个面中间隔一个的是相对面，上下单独的两个面为相对面。首先数清每个面的点数，找到三对相对面后，再结合题目给出的已知面位置，排除已确定位置的面，就能推出所求面的点数。
【解析】
先判断各面的相对关系：该展开图为正方体“一四一”型展开图，
最上方的5点面和最下方的2点面是相对面；
中间行最左侧的6点面和中间第三个的1点面间隔一个面，是相对面；
中间行第二个的3点面和最右侧的4点面是相对面。
(1) 已知1点在上面，可知其相对面6点在下面；3点在左面，可知其相对面4点在右面。剩余面为2点面和5点面，折成正方体后，此时5点面在背面，因此2点在正面。
(2) 相对面在正方体中位置完全相对，5点面的相对面是2点面，因此5点在下面时，2点在上面。
【答案】
(1)如果1点在上面,3点在左面,那么2点在正面。
(2)如果5点在下面,那么2点在上面。
【知识点】
正方体展开图，相对面判断
【点评】
本题是正方体展开图的基础典型题，解题关键是准确识别展开图中的相对面，结合简单的空间想象就能快速解题，熟练掌握常见正方体展开图的相对面规律可提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.7
14.画出如图所示的几何体从正面、左面以及上面看到的形状图。
正面
正面
答案
解：
从正面看到的形状图：下边缘为水平直线，左右边缘为竖直直线，左侧竖直边的长度小于右侧竖直边的长度，上边缘为连接两条竖直边顶端的向上凸起的曲线，整体由三条直线段和一条曲线段围成。
从左面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
从上面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
从正面看到的形状图：下边缘为水平直线，左右边缘为竖直直线，左侧竖直边的长度小于右侧竖直边的长度，上边缘为连接两条竖直边顶端的向上凸起的曲线，整体由三条直线段和一条曲线段围成。
从左面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
从上面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
解析
【分析】
要完成本题，首先明确三视图的定义：从正面看是从几何体正前方观察得到的平面图形，从左面看是从几何体左侧观察得到的图形，从上面看是从几何体正上方观察得到的图形，绘制时仅画出可见的轮廓。先分析几何体结构：该几何体底面为矩形，前后侧面是竖直矩形平面，左右侧面是高度不等的竖直矩形，顶面为向上凸起的曲面。再逐一分析三个方向的观察结果：①正面观察时，可见底部水平直边、左侧较短的竖直边、右侧较长的竖直边，顶面曲面投影为连接两竖直边顶端、向上凸起的曲线，四条边围成正面视图；②从左面观察时，视线与顶面曲面的母线方向平行，曲面投影为直线，前后棱重合，因此看到的是全由直线段围成的矩形；③从上面观察时，竖直棱和曲面的投影均为直线，因此看到的也是全由直线段围成的矩形，按照对应特征绘制即可。
【解析】
1. 绘制正面视图：下边缘画水平直线，左右边缘画竖直直线，左侧竖直边短于右侧竖直边，上边缘画连接两条竖直边顶端、向上凸起的曲线，整体由三条直线段和一条曲线段围成。
2. 绘制左面视图：画一个四条边均为直线段的矩形即可。
3. 绘制上面视图：画一个四条边均为直线段的矩形即可。
【答案】
从正面看到的形状图：下边缘为水平直线，左右边缘为竖直直线，左侧竖直边的长度小于右侧竖直边的长度，上边缘为连接两条竖直边顶端的向上凸起的曲线，整体由三条直线段和一条曲线段围成。
从左面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
从上面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
【知识点】
1. 三视图画法
2. 正投影规律
3. 几何体视图识别
【点评】
本题考查含曲面几何体的三视图绘制，解题核心是准确判断曲面在不同观察方向下的投影形态，区分曲线和直线的投影差异，属于三视图模块的基础典型题。
【难度系数】
0.7
要完成本题，首先明确三视图的定义：从正面看是从几何体正前方观察得到的平面图形，从左面看是从几何体左侧观察得到的图形，从上面看是从几何体正上方观察得到的图形，绘制时仅画出可见的轮廓。先分析几何体结构：该几何体底面为矩形，前后侧面是竖直矩形平面，左右侧面是高度不等的竖直矩形，顶面为向上凸起的曲面。再逐一分析三个方向的观察结果：①正面观察时，可见底部水平直边、左侧较短的竖直边、右侧较长的竖直边，顶面曲面投影为连接两竖直边顶端、向上凸起的曲线，四条边围成正面视图；②从左面观察时，视线与顶面曲面的母线方向平行，曲面投影为直线，前后棱重合，因此看到的是全由直线段围成的矩形；③从上面观察时，竖直棱和曲面的投影均为直线，因此看到的也是全由直线段围成的矩形，按照对应特征绘制即可。
【解析】
1. 绘制正面视图：下边缘画水平直线，左右边缘画竖直直线，左侧竖直边短于右侧竖直边，上边缘画连接两条竖直边顶端、向上凸起的曲线，整体由三条直线段和一条曲线段围成。
2. 绘制左面视图：画一个四条边均为直线段的矩形即可。
3. 绘制上面视图：画一个四条边均为直线段的矩形即可。
【答案】
从正面看到的形状图：下边缘为水平直线，左右边缘为竖直直线，左侧竖直边的长度小于右侧竖直边的长度，上边缘为连接两条竖直边顶端的向上凸起的曲线，整体由三条直线段和一条曲线段围成。
从左面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
从上面看到的形状图：是一个四条边均为直线段的矩形。
（按上述特征规范绘制出对应图形即可）
【知识点】
1. 三视图画法
2. 正投影规律
3. 几何体视图识别
【点评】
本题考查含曲面几何体的三视图绘制，解题核心是准确判断曲面在不同观察方向下的投影形态，区分曲线和直线的投影差异，属于三视图模块的基础典型题。
【难度系数】
0.7
15.如图,某同学在制作正方体模型的时候,在方格纸上画出几个小正方形(图中阴影部分),但是由于疏忽,少画了一个。请你补上一个,使之可以折成正方体。你有几种画法?在图上用阴影注明。
答案
15. 解:画图如图所示,共有四种画法。
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体展开图的基本特征：不存在“田”字形、“凹”字形结构，折叠后不会出现面重叠的情况。已知图中已有5个阴影小正方形，需要补充1个，我们只需逐一排查空白小正方形的位置，判断补充后是否符合正方体展开图的要求即可。
【解析】
首先数出已有阴影小正方形共5个，我们对可行的补充位置逐一验证：
1. 在第一行第2列的空白格补阴影，得到的展开图为“一四一”型，可正常折叠为正方体；
2. 在第一行第3列的空白格补阴影，得到的展开图为“一四一”型，可正常折叠为正方体；
3. 在第一行第4列的空白格补阴影，得到的展开图为“一四一”型，可正常折叠为正方体；
4. 在第三行第6列的空白格补阴影，得到的展开图为“一三二”型，可正常折叠为正方体。
其余位置补充后要么出现“田”字结构，要么折叠时面重叠，无法构成正方体，因此共有4种画法。
【答案】
画图如图所示，共有四种画法。
【知识点】
正方体展开图，展开图折叠成几何体
【点评】
本题重点考查对正方体展开图的掌握程度，需要熟记常见的正方体展开图类型，排除不符合要求的结构，能有效训练空间想象能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正方体展开图的基本特征：不存在“田”字形、“凹”字形结构，折叠后不会出现面重叠的情况。已知图中已有5个阴影小正方形，需要补充1个，我们只需逐一排查空白小正方形的位置，判断补充后是否符合正方体展开图的要求即可。
【解析】
首先数出已有阴影小正方形共5个，我们对可行的补充位置逐一验证：
1. 在第一行第2列的空白格补阴影，得到的展开图为“一四一”型，可正常折叠为正方体；
2. 在第一行第3列的空白格补阴影，得到的展开图为“一四一”型，可正常折叠为正方体；
3. 在第一行第4列的空白格补阴影，得到的展开图为“一四一”型，可正常折叠为正方体；
4. 在第三行第6列的空白格补阴影，得到的展开图为“一三二”型，可正常折叠为正方体。
其余位置补充后要么出现“田”字结构，要么折叠时面重叠，无法构成正方体，因此共有4种画法。
【答案】
画图如图所示，共有四种画法。
【知识点】
正方体展开图，展开图折叠成几何体
【点评】
本题重点考查对正方体展开图的掌握程度，需要熟记常见的正方体展开图类型，排除不符合要求的结构，能有效训练空间想象能力。
【难度系数】
0.6
16.如图所示的是从三个不同方向看一个几何体得到的形状图。
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出它的一种表面展开图；
(3)若从正面看，高为6 cm，从上面看，三角形的边长都为4 cm，求这个几何体的侧面积。
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出它的一种表面展开图；
(3)若从正面看，高为6 cm，从上面看，三角形的边长都为4 cm，求这个几何体的侧面积。
答案
(1) 三棱柱
(2) 略
(3) 72 cm²
(2) 略
(3) 72 cm²
解析
【分析】
(1)判断几何体：先观察三视图特征，俯视图是三角形说明几何体底面为三角形，主视图和左视图均为矩形说明该几何体是棱柱，结合底面形状即可确定几何体名称。
(2)画表面展开图：三棱柱的表面包含2个全等的三角形底面和3个长方形侧面，按合理的拼接方式绘制即可。
(3)计算侧面积：该三棱柱的3个侧面是完全相同的长方形，长方形的长对应几何体的高6cm，宽对应底面三角形的边长4cm，先算单个侧面面积再乘3即可得到总侧面积。
【解析】
(1) 由三视图可知，几何体底面为三角形，侧面为矩形，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 表面展开图由2个全等的等边三角形和3个长方形组成，画图略。
(3) 该三棱柱的侧面为3个完全相同的长方形，单个长方形的长为6cm，宽为4cm。
单个侧面面积：$S_1=6×4=24\ \mathrm{cm}^2$
总侧面积：$S=3× S_1=3×24=72\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 三棱柱
(2) 略
(3) 72 cm²
【知识点】
三视图识别几何体；棱柱展开图；棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了常见几何体的三视图判断、展开图认知以及侧面积计算，掌握棱柱的相关特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)判断几何体：先观察三视图特征，俯视图是三角形说明几何体底面为三角形，主视图和左视图均为矩形说明该几何体是棱柱，结合底面形状即可确定几何体名称。
(2)画表面展开图：三棱柱的表面包含2个全等的三角形底面和3个长方形侧面，按合理的拼接方式绘制即可。
(3)计算侧面积：该三棱柱的3个侧面是完全相同的长方形，长方形的长对应几何体的高6cm，宽对应底面三角形的边长4cm，先算单个侧面面积再乘3即可得到总侧面积。
【解析】
(1) 由三视图可知，几何体底面为三角形，侧面为矩形，因此这个几何体是三棱柱。
(2) 表面展开图由2个全等的等边三角形和3个长方形组成，画图略。
(3) 该三棱柱的侧面为3个完全相同的长方形，单个长方形的长为6cm，宽为4cm。
单个侧面面积：$S_1=6×4=24\ \mathrm{cm}^2$
总侧面积：$S=3× S_1=3×24=72\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 三棱柱
(2) 略
(3) 72 cm²
【知识点】
三视图识别几何体；棱柱展开图；棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，综合考查了常见几何体的三视图判断、展开图认知以及侧面积计算，掌握棱柱的相关特征即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
