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7.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引3条对角线，则它是
六
边形。答案
7. 六
解析
【分析】
解题时首先要明确多边形从一个顶点引对角线的规律：n边形共有n个顶点，从其中一个顶点出发时，不能和自身、以及与它相邻的2个顶点连接形成对角线，因此最多可引出(n-3)条对角线。已知题目中给出最多引3条对角线，我们只需将这个数值代入规律，建立方程求解n的值，即可得到多边形的边数。
【解析】
设这个多边形为n边形。
根据从n边形一个顶点出发最多可引(n-3)条对角线的性质，结合题意得：
$n-3=3$
解得：$n=6$
因此这个多边形是六边形。
【答案】
六
【知识点】
1. 多边形对角线性质
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形章节的基础题型，核心考查多边形对角线的基础规律，难度较低，熟记相关结论即可快速解题，也可通过画图验证的方法辅助理解规律。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确多边形从一个顶点引对角线的规律：n边形共有n个顶点，从其中一个顶点出发时，不能和自身、以及与它相邻的2个顶点连接形成对角线，因此最多可引出(n-3)条对角线。已知题目中给出最多引3条对角线，我们只需将这个数值代入规律，建立方程求解n的值，即可得到多边形的边数。
【解析】
设这个多边形为n边形。
根据从n边形一个顶点出发最多可引(n-3)条对角线的性质，结合题意得：
$n-3=3$
解得：$n=6$
因此这个多边形是六边形。
【答案】
六
【知识点】
1. 多边形对角线性质
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形章节的基础题型，核心考查多边形对角线的基础规律，难度较低，熟记相关结论即可快速解题，也可通过画图验证的方法辅助理解规律。
【难度系数】
0.8
8.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为$2:3:4$，求这三个扇形圆心角的度数。
答案
80°,120°,160°
解析
【分析】
首先我们知道任意一个圆的总圆心角是周角，为360°，将圆分割成三个扇形后，三个扇形的圆心角之和刚好等于360°。题目给出三个圆心角的度数比为2:3:4，我们可以用按比例分配的方法求解：先算出比例的总份数，再求出每一份对应的圆心角度数，最后分别乘三个扇形对应的比例份数，就能得到各自的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角为周角，等于360°，三个扇形的圆心角度数之比为2:3:4
∴ 三个圆心角的总份数为：$2+3+4=9$
每1份对应的圆心角度数为：$360° ÷ 9 = 40°$
因此三个扇形的圆心角分别为：
$2× 40°=80°$
$3× 40°=120°$
$4× 40°=160°$
【答案】
$80°,120°,160°$
【知识点】
1. 周角的特征
2. 按比例分配
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确同圆内所有扇形的圆心角之和等于360°，结合按比例分配的方法即可求解，计算时注意核对比例和运算结果即可。
【难度系数】
0.85
首先我们知道任意一个圆的总圆心角是周角，为360°，将圆分割成三个扇形后，三个扇形的圆心角之和刚好等于360°。题目给出三个圆心角的度数比为2:3:4，我们可以用按比例分配的方法求解：先算出比例的总份数，再求出每一份对应的圆心角度数，最后分别乘三个扇形对应的比例份数，就能得到各自的圆心角度数。
【解析】
解：
∵ 整个圆的圆心角为周角，等于360°，三个扇形的圆心角度数之比为2:3:4
∴ 三个圆心角的总份数为：$2+3+4=9$
每1份对应的圆心角度数为：$360° ÷ 9 = 40°$
因此三个扇形的圆心角分别为：
$2× 40°=80°$
$3× 40°=120°$
$4× 40°=160°$
【答案】
$80°,120°,160°$
【知识点】
1. 周角的特征
2. 按比例分配
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确同圆内所有扇形的圆心角之和等于360°，结合按比例分配的方法即可求解，计算时注意核对比例和运算结果即可。
【难度系数】
0.85
9. 下列说法错误的是(
A.正多边形的各边都相等
B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形的三条边都相等
D.正六边形的六个内角都相等
B
)。A.正多边形的各边都相等
B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形的三条边都相等
D.正六边形的六个内角都相等
答案
9. B
解析
【分析】
本题考查正多边形的定义和性质，解题时首先明确正多边形需同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，再逐一分析每个选项：先结合正多边形的性质判断A、C、D的正确性，再举反例验证B选项的错误性即可得出答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等，且各内角也相等的多边形叫做正多边形。
A. 正多边形的性质包含各边相等，该说法正确，不符合题意；
B. 仅各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但其内角不一定全部相等，因此菱形不是正四边形，该说法错误，符合题意；
C. 正三角形即等边三角形，三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
D. 正多边形的各内角都相等，因此正六边形的六个内角都相等，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记正多边形的两个判定条件：各边相等、各内角相等，二者缺一不可，避免只通过单一条件判定正多边形导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查正多边形的定义和性质，解题时首先明确正多边形需同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，再逐一分析每个选项：先结合正多边形的性质判断A、C、D的正确性，再举反例验证B选项的错误性即可得出答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等，且各内角也相等的多边形叫做正多边形。
A. 正多边形的性质包含各边相等，该说法正确，不符合题意；
B. 仅各边相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形的四条边都相等，但其内角不一定全部相等，因此菱形不是正四边形，该说法错误，符合题意；
C. 正三角形即等边三角形，三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
D. 正多边形的各内角都相等，因此正六边形的六个内角都相等，该说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是牢记正多边形的两个判定条件：各边相等、各内角相等，二者缺一不可，避免只通过单一条件判定正多边形导致出错。
【难度系数】
0.8
10.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分的三个小扇形的面积和为
$\frac{3}{8}π$
。（结果保留π）答案
10. $\frac{3}{8}π$
解析
【分析】
要求三个阴影扇形的面积和，首先观察发现三个扇形的半径都等于小正方形的边长1，半径相同，因此无需逐个计算每个扇形的面积，只需要先求出三个扇形的圆心角总和，再代入扇形面积公式计算即可。首先找圆心角的和：其中两个扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，根据直角三角形两锐角互余，这两个角的和为90°；第三个扇形的圆心角是正方形对角线与边的夹角，为45°，因此三个圆心角总和为135°，代入公式就能求出总面积。
【解析】
解：已知每个小正方形边长为1，因此三个阴影扇形的半径均为$r=1$。
观察扇形的圆心角：
1. 两个较小扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，和为$90°$；
2. 第三个扇形的圆心角为$45°$；
因此三个扇形的圆心角总和为$n=90°+45°=135°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值：
$S=\frac{135×π×1^2}{360}=\frac{135π}{360}=\frac{3}{8}π$
【答案】
$\frac{3}{8}π$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形两锐角互余，角度和计算
【点评】
本题巧妙考查了扇形面积的灵活计算，运用整体思想将三个扇形的圆心角合并计算，避免了分别求解每个扇形面积的繁琐步骤，能有效锻炼学生的观察能力和简化计算的思维。
【难度系数】
0.6
要求三个阴影扇形的面积和，首先观察发现三个扇形的半径都等于小正方形的边长1，半径相同，因此无需逐个计算每个扇形的面积，只需要先求出三个扇形的圆心角总和，再代入扇形面积公式计算即可。首先找圆心角的和：其中两个扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，根据直角三角形两锐角互余，这两个角的和为90°；第三个扇形的圆心角是正方形对角线与边的夹角，为45°，因此三个圆心角总和为135°，代入公式就能求出总面积。
【解析】
解：已知每个小正方形边长为1，因此三个阴影扇形的半径均为$r=1$。
观察扇形的圆心角：
1. 两个较小扇形的圆心角是直角三角形的两个锐角，和为$90°$；
2. 第三个扇形的圆心角为$45°$；
因此三个扇形的圆心角总和为$n=90°+45°=135°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数值：
$S=\frac{135×π×1^2}{360}=\frac{135π}{360}=\frac{3}{8}π$
【答案】
$\frac{3}{8}π$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形两锐角互余，角度和计算
【点评】
本题巧妙考查了扇形面积的灵活计算，运用整体思想将三个扇形的圆心角合并计算，避免了分别求解每个扇形面积的繁琐步骤，能有效锻炼学生的观察能力和简化计算的思维。
【难度系数】
0.6
11.【数学应用】为了销售方便，售货员把瓶装水捆成如图形状，如果捆一圈，接头不计，至少用绳子多少厘米？（结果保留π）
答案
解:由题图可知,圆的直径为7 cm。
根据题意,得 $7×4+7π=(28+7π)(cm)$,
即捆一圈至少用绳子$(28+7π)cm$。
根据题意,得 $7×4+7π=(28+7π)(cm)$,
即捆一圈至少用绳子$(28+7π)cm$。
解析
【分析】
解题时首先要拆分捆一圈绳子的长度组成：绳子由4段笔直的线段和4个拐角处的圆弧两部分构成。首先根据题图给出的上下圆心距离7cm，确定这个长度等于圆的直径（上下两个圆心距离为半径+半径=直径）。接下来分别计算两部分长度：直段部分每段长度等于圆的直径，4段总长度可直接用乘法计算；圆弧部分每个拐角的圆弧对应圆心角为90°，4个圆弧加起来刚好凑成一个完整的圆，总弧长就是一个整圆的周长，最后把两部分长度相加即可得到总绳长。
【解析】
解：由题图可知，上下两个圆心的竖直距离为7cm，该长度等于2条半径之和，即圆的直径$d=7\mathrm{cm}$。
捆一圈的绳子长度包括两部分：
1. 4段笔直的线段：每段线段长度等于圆的直径，总长度为$7×4=28\mathrm{cm}$；
2. 4个拐角的圆弧：每个圆弧对应的圆心角为90°，4个圆弧总圆心角为$4×90°=360°$，恰好等于一个整圆的周长，整圆周长为$π d=7π\mathrm{cm}$。
因此总绳长为$28+7π\mathrm{cm}$。
【答案】
$(28+7π)\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 组合图形周长计算
3. 弧的认识
【点评】
本题是生活中常见的捆扎物体周长计算问题，解题核心是合理拆分组合图形的周长，明确直段和弧段分别对应的长度，易错点是误以为拐角部分需要多算长度，或不知道四个圆弧可拼成完整的整圆简化计算。
【难度系数】
0.65
解题时首先要拆分捆一圈绳子的长度组成：绳子由4段笔直的线段和4个拐角处的圆弧两部分构成。首先根据题图给出的上下圆心距离7cm，确定这个长度等于圆的直径（上下两个圆心距离为半径+半径=直径）。接下来分别计算两部分长度：直段部分每段长度等于圆的直径，4段总长度可直接用乘法计算；圆弧部分每个拐角的圆弧对应圆心角为90°，4个圆弧加起来刚好凑成一个完整的圆，总弧长就是一个整圆的周长，最后把两部分长度相加即可得到总绳长。
【解析】
解：由题图可知，上下两个圆心的竖直距离为7cm，该长度等于2条半径之和，即圆的直径$d=7\mathrm{cm}$。
捆一圈的绳子长度包括两部分：
1. 4段笔直的线段：每段线段长度等于圆的直径，总长度为$7×4=28\mathrm{cm}$；
2. 4个拐角的圆弧：每个圆弧对应的圆心角为90°，4个圆弧总圆心角为$4×90°=360°$，恰好等于一个整圆的周长，整圆周长为$π d=7π\mathrm{cm}$。
因此总绳长为$28+7π\mathrm{cm}$。
【答案】
$(28+7π)\mathrm{cm}$
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 组合图形周长计算
3. 弧的认识
【点评】
本题是生活中常见的捆扎物体周长计算问题，解题核心是合理拆分组合图形的周长，明确直段和弧段分别对应的长度，易错点是误以为拐角部分需要多算长度，或不知道四个圆弧可拼成完整的整圆简化计算。
【难度系数】
0.65
12.【数学应用】某校编排的一个舞蹈需要五把和图①完全相同的绸扇。学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成如图②所示的一朵圆形的花。求再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布。(单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果保留π)
答案
解:再做两把这样的绸扇至少需要绸布$2× \dfrac{1}{3}× (π × 30^2 - π × 12^2)=504π(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
解题时首先梳理图形关系：3把完全展开的绸扇刚好组成1个环形，因此1把绸扇的绸布面积等于这个环形面积的$\frac{1}{3}$。第一步先确定环形的内外半径：绸扇外半径是两段长度之和，即$18+12=30\mathrm{cm}$，内半径是空白部分的半径$12\mathrm{cm}$；第二步根据“环形面积=外圆面积-内圆面积”算出环形总面积；第三步先求出1把绸扇的绸布面积，再乘2即可得到做2把绸扇需要的绸布总面积。
【解析】
解：环形外半径 $R=18+12=30\ \mathrm{cm}$，内半径 $r=12\ \mathrm{cm}$。
因为3把绸扇刚好拼成1个完整的环形，所以1把绸扇的绸布面积为环形面积的$\frac{1}{3}$。
2把绸扇需要的绸布面积为：
$\begin{aligned}&2× \dfrac{1}{3}× (π R^2 - π r^2)\\=&2× \dfrac{1}{3}× (π × 30^2 - π × 12^2)\\=&2× \dfrac{1}{3}× 756π\\=&504π(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$504π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 环形面积计算
3. 图形拼接关系
【点评】
本题结合生活中的绸扇场景考查面积的实际应用，解题核心是通过“三把绸扇拼成圆形”的条件，将绸扇面积转化为环形面积的三分之一，能够很好地考查学生的图形观察能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理图形关系：3把完全展开的绸扇刚好组成1个环形，因此1把绸扇的绸布面积等于这个环形面积的$\frac{1}{3}$。第一步先确定环形的内外半径：绸扇外半径是两段长度之和，即$18+12=30\mathrm{cm}$，内半径是空白部分的半径$12\mathrm{cm}$；第二步根据“环形面积=外圆面积-内圆面积”算出环形总面积；第三步先求出1把绸扇的绸布面积，再乘2即可得到做2把绸扇需要的绸布总面积。
【解析】
解：环形外半径 $R=18+12=30\ \mathrm{cm}$，内半径 $r=12\ \mathrm{cm}$。
因为3把绸扇刚好拼成1个完整的环形，所以1把绸扇的绸布面积为环形面积的$\frac{1}{3}$。
2把绸扇需要的绸布面积为：
$\begin{aligned}&2× \dfrac{1}{3}× (π R^2 - π r^2)\\=&2× \dfrac{1}{3}× (π × 30^2 - π × 12^2)\\=&2× \dfrac{1}{3}× 756π\\=&504π(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
$504π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆的面积计算
2. 环形面积计算
3. 图形拼接关系
【点评】
本题结合生活中的绸扇场景考查面积的实际应用，解题核心是通过“三把绸扇拼成圆形”的条件，将绸扇面积转化为环形面积的三分之一，能够很好地考查学生的图形观察能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
