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1. 弧长公式：$l=$
$\frac{nπ R}{180}$
.答案
1. $\frac{nπ R}{180}$
解析
【分析】
推导弧长公式时，先从熟悉的圆周长公式入手：整个圆的圆心角为360°，对应的周长是2πR，先求出1°圆心角对应的弧长，再乘所求弧对应的圆心角度数n，化简后就能得到n°圆心角对应的弧长公式。
【解析】
已知半径为R的圆的周长为$C=2πR$，整个圆周对应的圆心角为360°，因此1°圆心角对应的弧长为$\frac{2πR}{360}=\frac{πR}{180}$。
若某段弧对应的圆心角为$n°$，则该段弧长是1°圆心角对应弧长的n倍，即：
$l = n×\frac{πR}{180}=\frac{nπR}{180}$（其中n为圆心角度数，R为弧所在圆的半径）。
【答案】
$\frac{nπ R}{180}$
【知识点】
弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对弧长公式的理解与记忆，理清弧长和圆心角度数、圆半径的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
推导弧长公式时，先从熟悉的圆周长公式入手：整个圆的圆心角为360°，对应的周长是2πR，先求出1°圆心角对应的弧长，再乘所求弧对应的圆心角度数n，化简后就能得到n°圆心角对应的弧长公式。
【解析】
已知半径为R的圆的周长为$C=2πR$，整个圆周对应的圆心角为360°，因此1°圆心角对应的弧长为$\frac{2πR}{360}=\frac{πR}{180}$。
若某段弧对应的圆心角为$n°$，则该段弧长是1°圆心角对应弧长的n倍，即：
$l = n×\frac{πR}{180}=\frac{nπR}{180}$（其中n为圆心角度数，R为弧所在圆的半径）。
【答案】
$\frac{nπ R}{180}$
【知识点】
弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对弧长公式的理解与记忆，理清弧长和圆心角度数、圆半径的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 扇形面积公式：$S=$
$\frac{nπ R}{360}$
.答案
2. $\frac{nπ R}{360}$
3. 扇形面积S与弧长l的关系：S=
$\frac{1}{2}lR$
.答案
3. $\frac{1}{2}lR$
解析
【分析】
要推导扇形面积S与弧长l的关系，首先回忆已学的两个基础公式：用圆心角度数n、半径R表示的扇形面积公式，以及同参数下的弧长公式。观察两个公式的公共部分，将面积公式中与弧长表达式重合的部分替换为l，即可得到S和l的关系式。
【解析】
已知圆心角为$n°$、半径为$R$的扇形，有以下两个公式：
1. 扇形面积公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$
2. 弧长公式：$l=\frac{nπ R}{180}$
将面积公式变形可得：
$S=\frac{1}{2} × \frac{nπ R}{180} × R$
把弧长$l=\frac{nπ R}{180}$代入上式，即可得到：
$S=\frac{1}{2}lR$
【答案】
$\frac{1}{2}lR$
【知识点】
扇形面积公式；弧长公式；代数式变形
【点评】
本题考查扇形相关公式的关联推导，属于基础考点，学习时要注意梳理不同公式之间的内在联系，避免孤立记忆公式，熟练掌握该结论可以提升扇形类计算题的解题速度。
【难度系数】
0.8
要推导扇形面积S与弧长l的关系，首先回忆已学的两个基础公式：用圆心角度数n、半径R表示的扇形面积公式，以及同参数下的弧长公式。观察两个公式的公共部分，将面积公式中与弧长表达式重合的部分替换为l，即可得到S和l的关系式。
【解析】
已知圆心角为$n°$、半径为$R$的扇形，有以下两个公式：
1. 扇形面积公式：$S=\frac{nπ R^2}{360}$
2. 弧长公式：$l=\frac{nπ R}{180}$
将面积公式变形可得：
$S=\frac{1}{2} × \frac{nπ R}{180} × R$
把弧长$l=\frac{nπ R}{180}$代入上式，即可得到：
$S=\frac{1}{2}lR$
【答案】
$\frac{1}{2}lR$
【知识点】
扇形面积公式；弧长公式；代数式变形
【点评】
本题考查扇形相关公式的关联推导，属于基础考点，学习时要注意梳理不同公式之间的内在联系，避免孤立记忆公式，熟练掌握该结论可以提升扇形类计算题的解题速度。
【难度系数】
0.8
例 如图29.3-1,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ ACB$,AC为$\odot O$的直径,若$∠ BED=45°$,$AB=2$,则阴影部分的面积为(
A. $\frac{π}{4}$
B. $\frac{π}{3}$
C. $\frac{2π}{3}$
D. $π$
图29.3-1 图29.3-2
解 连接$OE$,$OD$,如图29.3-2.
$\because AC$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ AEC=90°$.
$\therefore AE⊥ BC$.
$\because ∠ B=∠ ACB$,
$\therefore AB=AC$.
$\therefore BE=CE$,
即点$E$是$BC$的中点.
又$\because$点$O$是$AC$的中点,
$\therefore OE$是$△ ABC$的中位线.
$\therefore OE// AB$.
$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ AED}$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}$.
$\because ∠ AEC=90°$,
$\therefore ∠ AEB=180°-90°=90°$.
$\because ∠ BED=45°$,
$\therefore ∠ AED=90°-45°=45°$.
$\therefore ∠ AOD=2∠ AED=90°$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$.
故选A.
方法感悟 在求与圆有关的不规则图形的面积时,常利用平移、旋转、轴对称或等底同高等方法,将图形转化为规则图形后进行求解;或者将其变为几个规则图形面积的和或差进行求解.
A
).A. $\frac{π}{4}$
B. $\frac{π}{3}$
C. $\frac{2π}{3}$
D. $π$
图29.3-1 图29.3-2
解 连接$OE$,$OD$,如图29.3-2.
$\because AC$为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ AEC=90°$.
$\therefore AE⊥ BC$.
$\because ∠ B=∠ ACB$,
$\therefore AB=AC$.
$\therefore BE=CE$,
即点$E$是$BC$的中点.
又$\because$点$O$是$AC$的中点,
$\therefore OE$是$△ ABC$的中位线.
$\therefore OE// AB$.
$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ AED}$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}$.
$\because ∠ AEC=90°$,
$\therefore ∠ AEB=180°-90°=90°$.
$\because ∠ BED=45°$,
$\therefore ∠ AED=90°-45°=45°$.
$\therefore ∠ AOD=2∠ AED=90°$.
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$.
故选A.
方法感悟 在求与圆有关的不规则图形的面积时,常利用平移、旋转、轴对称或等底同高等方法,将图形转化为规则图形后进行求解;或者将其变为几个规则图形面积的和或差进行求解.
答案
A
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的面积，核心思路是通过等积转换将其转化为规则图形的面积计算。第一步，结合直径的性质与等腰三角形的性质，可推导出点E是BC中点，进而得到OE是△ABC的中位线，OE//AB，由此可得△AOD与△AED同底等高，面积相等，因此阴影部分面积等价于扇形OAD的面积；第二步，求扇形OAD的圆心角和半径：利用∠BED=45°推导同弧所对的圆周角∠AED=45°，再根据圆周角定理得圆心角∠AOD=90°，由AB=AC=2可得圆的半径为1；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接$OE$，$OD$。
1. 推导阴影面积等价于扇形面积：
$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$。
$\because ∠ B=∠ ACB$，
$\therefore AB=AC=2$，$△ ABC$为等腰三角形，
$\therefore AE$是$BC$边上的中线，即点$E$是$BC$的中点。
又$\because$点$O$是$AC$的中点，
$\therefore OE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OE// AB$，
$\therefore △ AOD$和$△ AED$同底$AD$，且高为平行线$OE$与$AB$之间的距离，二者相等，故$S_{△ AOD}=S_{△ AED}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}$。
2. 计算扇形面积：
$\because ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ AEB=180°-90°=90°$，
$\because ∠ BED=45°$，
$\therefore ∠ AED=∠ AEB-∠ BED=45°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOD=2∠ AED=90°$。
$\odot O$的半径$r=OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=1$，
代入扇形面积公式：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），
得$S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题的核心是灵活运用等积转换法将不规则图形面积转化为规则扇形面积求解，需要熟练掌握直径的性质、三角形中位线性质、圆周角定理等基础知识点，积累不规则图形面积的转换技巧。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则阴影部分的面积，核心思路是通过等积转换将其转化为规则图形的面积计算。第一步，结合直径的性质与等腰三角形的性质，可推导出点E是BC中点，进而得到OE是△ABC的中位线，OE//AB，由此可得△AOD与△AED同底等高，面积相等，因此阴影部分面积等价于扇形OAD的面积；第二步，求扇形OAD的圆心角和半径：利用∠BED=45°推导同弧所对的圆周角∠AED=45°，再根据圆周角定理得圆心角∠AOD=90°，由AB=AC=2可得圆的半径为1；最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接$OE$，$OD$。
1. 推导阴影面积等价于扇形面积：
$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AEC=90°$，即$AE⊥ BC$。
$\because ∠ B=∠ ACB$，
$\therefore AB=AC=2$，$△ ABC$为等腰三角形，
$\therefore AE$是$BC$边上的中线，即点$E$是$BC$的中点。
又$\because$点$O$是$AC$的中点，
$\therefore OE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OE// AB$，
$\therefore △ AOD$和$△ AED$同底$AD$，且高为平行线$OE$与$AB$之间的距离，二者相等，故$S_{△ AOD}=S_{△ AED}$，
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OAD}$。
2. 计算扇形面积：
$\because ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ AEB=180°-90°=90°$，
$\because ∠ BED=45°$，
$\therefore ∠ AED=∠ AEB-∠ BED=45°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOD=2∠ AED=90°$。
$\odot O$的半径$r=OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=1$，
代入扇形面积公式：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），
得$S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题的核心是灵活运用等积转换法将不规则图形面积转化为规则扇形面积求解，需要熟练掌握直径的性质、三角形中位线性质、圆周角定理等基础知识点，积累不规则图形面积的转换技巧。
【难度系数】
0.6
1. 一个扇形的半径为6，圆心角为$120°$，则该扇形的面积是(
A.$2π$
B.$4π$
C.$12π$
D.$24π$
C
).A.$2π$
B.$4π$
C.$12π$
D.$24π$
答案
1. C
解析
【分析】
这道题考查扇形面积的计算，解题时首先回忆扇形面积的计算公式，已知扇形的圆心角度数和半径，我们可以选择公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）来求解，接下来只需要把题干给出的圆心角、半径的数值代入公式，准确计算就能得到结果。
【解析】
解：已知扇形的半径$r=6$，圆心角$n=120°$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$
将数值代入得：
$S=\frac{120×π×6^2}{360}=\frac{120π×36}{360}=12π$
所以该扇形的面积是$12π$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对扇形面积公式的掌握和应用，计算时注意代入数值后不要漏乘或算错平方项，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查扇形面积的计算，解题时首先回忆扇形面积的计算公式，已知扇形的圆心角度数和半径，我们可以选择公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）来求解，接下来只需要把题干给出的圆心角、半径的数值代入公式，准确计算就能得到结果。
【解析】
解：已知扇形的半径$r=6$，圆心角$n=120°$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$
将数值代入得：
$S=\frac{120×π×6^2}{360}=\frac{120π×36}{360}=12π$
所以该扇形的面积是$12π$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对扇形面积公式的掌握和应用，计算时注意代入数值后不要漏乘或算错平方项，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 已知扇形的弧长为$6π \ \mathrm{cm}$，圆心角为$120°$，则扇形的面积为(
A.$27π \ \mathrm{cm}^2$
B.$13.5π \ \mathrm{cm}^2$
C.$54π \ \mathrm{cm}^2$
D.$36π \ \mathrm{cm}^2$
A
).A.$27π \ \mathrm{cm}^2$
B.$13.5π \ \mathrm{cm}^2$
C.$54π \ \mathrm{cm}^2$
D.$36π \ \mathrm{cm}^2$
答案
2. A
解析
【分析】
要计算扇形面积，常用的扇形面积公式有两种：①$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）；②$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）。已知题目给出弧长和圆心角，两个面积公式都需要用到半径$r$，因此第一步先通过弧长公式求出半径，再代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
设扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=6π\ \mathrm{cm}$，$n=120°$代入得：
$6π=\frac{120π r}{180}$
两边约去$π$后化简得：$6=\frac{2r}{3}$，解得$r=9$。
再代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$：
$S=\frac{1}{2}×6π×9=27π\ (\mathrm{cm}^2)$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧长计算
2. 扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长和扇形面积公式的应用，解题关键是先根据已知条件求出扇形半径，再代入对应公式计算，熟练记忆相关公式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要计算扇形面积，常用的扇形面积公式有两种：①$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径）；②$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）。已知题目给出弧长和圆心角，两个面积公式都需要用到半径$r$，因此第一步先通过弧长公式求出半径，再代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
设扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=6π\ \mathrm{cm}$，$n=120°$代入得：
$6π=\frac{120π r}{180}$
两边约去$π$后化简得：$6=\frac{2r}{3}$，解得$r=9$。
再代入扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$：
$S=\frac{1}{2}×6π×9=27π\ (\mathrm{cm}^2)$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧长计算
2. 扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查弧长和扇形面积公式的应用，解题关键是先根据已知条件求出扇形半径，再代入对应公式计算，熟练记忆相关公式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
3. 如图29.3-3，AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，若$∠ BCO=35°$，$AO=2$，则$\overset{\frown}{AC}$的长度为(
A.$\frac{2}{9}π$
B.$\frac{5}{9}π$
C.$π$
D.$\frac{7}{9}π$
D
).A.$\frac{2}{9}π$
B.$\frac{5}{9}π$
C.$π$
D.$\frac{7}{9}π$
答案
3. D
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先确定两个条件：①$\odot O$的半径$r$；②$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角的度数$n$。首先由$AO=2$可直接得到半径$r=2$；再结合已知$∠ BCO=35°$，利用同圆半径相等得到$OC=OB$，推出等腰$△ OBC$中$∠ OBC=∠ BCO=35°$，最后根据圆周角定理即可求得$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数，代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because AO$是$\odot O$的半径，且$AO=2$，
$\therefore \odot O$的半径$r=2$。
$\because OC$、$OB$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OB$，即$△ OBC$是等腰三角形，
$\therefore ∠ OBC=∠ BCO=35°$。
$\because ∠ OBC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOC=2∠ OBC=2×35°=70°$。
将$n=70$，$r=2$代入弧长公式，得：
$\overset{\frown}{AC}$的长度$=\frac{70×π×2}{180}=\frac{7}{9}π$。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础计算类题目，解题的核心是熟练掌握弧长公式和圆周角定理，易错点是容易混淆弧对应的圆心角和圆周角的倍数关系，只要理清角之间的联系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此需要先确定两个条件：①$\odot O$的半径$r$；②$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角的度数$n$。首先由$AO=2$可直接得到半径$r=2$；再结合已知$∠ BCO=35°$，利用同圆半径相等得到$OC=OB$，推出等腰$△ OBC$中$∠ OBC=∠ BCO=35°$，最后根据圆周角定理即可求得$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$的度数，代入公式计算即可。
【解析】
解：$\because AO$是$\odot O$的半径，且$AO=2$，
$\therefore \odot O$的半径$r=2$。
$\because OC$、$OB$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OB$，即$△ OBC$是等腰三角形，
$\therefore ∠ OBC=∠ BCO=35°$。
$\because ∠ OBC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$\therefore ∠ AOC=2∠ OBC=2×35°=70°$。
将$n=70$，$r=2$代入弧长公式，得：
$\overset{\frown}{AC}$的长度$=\frac{70×π×2}{180}=\frac{7}{9}π$。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式、等腰三角形的性质、圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础计算类题目，解题的核心是熟练掌握弧长公式和圆周角定理，易错点是容易混淆弧对应的圆心角和圆周角的倍数关系，只要理清角之间的联系就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
