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4. 如图29.2-38，$\odot C$过原点，且与两坐标轴分别交于点$A$，$B$，连接$AB$，点$A$的坐标为$(0,3)$，$M$是第三象限内$\overset{\frown}{OB}$上一点，$∠ BMO=120°$，则$\odot C$的半径长为(
A.6
B.5
C.3
D.$3\sqrt{2}$
C
).A.6
B.5
C.3
D.$3\sqrt{2}$
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先由坐标轴互相垂直得∠AOB=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断AB是⊙C的直径；第二步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BMO=120°，求出∠BAO的度数；第三步，根据点A的坐标得到OA的长度，在Rt△AOB中利用直角三角形的边角关系求出直径AB的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，
根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是⊙C的直径。
∵四边形ABMO内接于⊙C，根据圆内接四边形对角互补，得∠BAO + ∠BMO = 180°，
已知∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°-120°=60°。
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∵点A的坐标为(0,3)，
∴OA=3，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径为AB÷2=6÷2=3。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形的性质；直角三角形30°角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是快速判断出直径，再结合圆内接四边形的角的关系和直角三角形的边长规律求解，整体思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先由坐标轴互相垂直得∠AOB=90°，根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可判断AB是⊙C的直径；第二步，利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BMO=120°，求出∠BAO的度数；第三步，根据点A的坐标得到OA的长度，在Rt△AOB中利用直角三角形的边角关系求出直径AB的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB=90°，
根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是⊙C的直径。
∵四边形ABMO内接于⊙C，根据圆内接四边形对角互补，得∠BAO + ∠BMO = 180°，
已知∠BMO=120°，
∴∠BAO=180°-120°=60°。
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∵点A的坐标为(0,3)，
∴OA=3，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径为AB÷2=6÷2=3。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论；圆内接四边形的性质；直角三角形30°角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是快速判断出直径，再结合圆内接四边形的角的关系和直角三角形的边长规律求解，整体思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图29.2-39，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，AB是$\odot O$的直径.若$∠ BEC=20°$，则$∠ ADC$的度数为(
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
B
).A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BAC与已知∠BEC的等量关系；再结合AB是直径的条件，根据直径所对的圆周角为直角，求出△ABC中∠ABC的度数；最后根据圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠BEC = 20°，
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，
在Rt△ABC中，∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 20° = 70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = 180° - 70° = 110°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直径的圆周角性质，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理和圆内接四边形的性质，逐步推导所求角度即可，属于考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先利用同弧所对的圆周角相等，得到∠BAC与已知∠BEC的等量关系；再结合AB是直径的条件，根据直径所对的圆周角为直角，求出△ABC中∠ABC的度数；最后根据圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ ∠BAC = ∠BEC = 20°，
∵ AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，
在Rt△ABC中，∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 20° = 70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠ADC = 180° - 70° = 110°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直径的圆周角性质，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆的基础性质综合应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理和圆内接四边形的性质，逐步推导所求角度即可，属于考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 小明把一副三角尺放到圆中，如图29.2-40所示，斜边AC重合，点A，B，C，D均在圆上，其中$∠ ACB=30°$，$∠ CAD=45°$，点P是圆上任意一点（不与A，B，C，D重合），则$∠ APB$的度数为
30°或150°
。答案
6. 30°或150°
解析
【分析】
解题时首先根据三角尺的直角特征，结合90°圆周角对应的弦是直径，确定AC为圆的直径；再结合圆周角定理和圆内接四边形的性质分析∠APB的度数：点P的位置存在两种情况，分别位于弦AB的两侧，因此需要分类讨论计算角度。
【解析】
解：
∵△ABC和△ADC均为直角三角尺，直角顶点B、D都在圆上
∴∠ABC=∠ADC=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AC是圆的直径。
分两种情况讨论：
1. 当点P在优弧AB上时，根据“同弧所对的圆周角相等”，弧AB所对的圆周角∠APB=∠ACB=30°；
2. 当点P在劣弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，此时∠APB+∠ACB=180°，因此∠APB=180°-30°=150°。
综上，∠APB的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的相关性质的应用，解题关键是明确点P的位置有两种情况，易错点是忽略分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据三角尺的直角特征，结合90°圆周角对应的弦是直径，确定AC为圆的直径；再结合圆周角定理和圆内接四边形的性质分析∠APB的度数：点P的位置存在两种情况，分别位于弦AB的两侧，因此需要分类讨论计算角度。
【解析】
解：
∵△ABC和△ADC均为直角三角尺，直角顶点B、D都在圆上
∴∠ABC=∠ADC=90°，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得AC是圆的直径。
分两种情况讨论：
1. 当点P在优弧AB上时，根据“同弧所对的圆周角相等”，弧AB所对的圆周角∠APB=∠ACB=30°；
2. 当点P在劣弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，此时∠APB+∠ACB=180°，因此∠APB=180°-30°=150°。
综上，∠APB的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的相关性质的应用，解题关键是明确点P的位置有两种情况，易错点是忽略分类讨论导致漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图29.2-41，$\odot O$是四边形ABCD的外接圆，$CE// AD$交AB于点E，$BE=BC$，$∠ BCD=122°$，则$∠ ADC$的度数为
图29.2-41
116°
。图29.2-41
答案
7. 116°
解析
【分析】
解题时首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数，再结合平行线同位角相等的性质得到∠BEC的度数；之后根据等腰三角形等边对等角的性质求出∠BCE的度数，进而得到∠DCE的度数；最后利用平行线同旁内角互补的性质即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ BAD+∠ BCD=180°$（圆内接四边形对角互补）
已知$∠ BCD=122°$，代入得：
$∠ BAD=180°-122°=58°$
∵$CE// AD$
∴$∠ BEC=∠ BAD=58°$（两直线平行，同位角相等）
∵$BE=BC$，即$△ BEC$是等腰三角形
∴$∠ BEC=∠ BCE=58°$（等腰三角形等边对等角）
∴$∠ DCE=∠ BCD-∠ BCE=122°-58°=64°$
又
∵$CE// AD$
∴$∠ ADC+∠ DCE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
代入$∠ DCE=64°$得：
$∠ ADC=180°-64°=116°$
【答案】
$116°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆、平行线、等腰三角形的性质结合考查，难度不大，解题的核心是梳理清楚各角度之间的数量关系，灵活运用相关性质进行角度换算。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数，再结合平行线同位角相等的性质得到∠BEC的度数；之后根据等腰三角形等边对等角的性质求出∠BCE的度数，进而得到∠DCE的度数；最后利用平行线同旁内角互补的性质即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ BAD+∠ BCD=180°$（圆内接四边形对角互补）
已知$∠ BCD=122°$，代入得：
$∠ BAD=180°-122°=58°$
∵$CE// AD$
∴$∠ BEC=∠ BAD=58°$（两直线平行，同位角相等）
∵$BE=BC$，即$△ BEC$是等腰三角形
∴$∠ BEC=∠ BCE=58°$（等腰三角形等边对等角）
∴$∠ DCE=∠ BCD-∠ BCE=122°-58°=64°$
又
∵$CE// AD$
∴$∠ ADC+∠ DCE=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
代入$∠ DCE=64°$得：
$∠ ADC=180°-64°=116°$
【答案】
$116°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆、平行线、等腰三角形的性质结合考查，难度不大，解题的核心是梳理清楚各角度之间的数量关系，灵活运用相关性质进行角度换算。
【难度系数】
0.7
8. 如图29.2-42，$\odot O$的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F。
(1)若$∠ E = ∠ F$，求证：$∠ ADC = ∠ ABC$；
(2)若$∠ E = ∠ F=42°$，求$∠ A$的度数；
(3)若$∠ E= α$，$∠ F =β$，且$α ≠ β$，请你用含有$α$，$β$的代数式表示$∠ A$的度数。
(1)若$∠ E = ∠ F$，求证：$∠ ADC = ∠ ABC$；
(2)若$∠ E = ∠ F=42°$，求$∠ A$的度数；
(3)若$∠ E= α$，$∠ F =β$，且$α ≠ β$，请你用含有$α$，$β$的代数式表示$∠ A$的度数。
答案
8. (1)
∵∠ADC,∠ABC分别是△CDE和△CBF的外角,
∴∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF.又∠E=∠F,∠DCE=∠BCF,
∴∠ADC=∠ABC
(2)由(1)得∠ADC=∠ABC,
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∴∠ADC=∠ABC=90°.在△ABE中,∠A+∠ABE+∠E=180°,
∴∠A=180°−∠ABE−∠E=180°−90°−42°=48°
(3)如答图22,连接EF.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°.又∠ECD+∠BCD=180°,
∴∠ECD=∠A.
∵∠ECD是△ECF的外角,
∴∠ECD=∠A=∠1+∠2.
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°,
∴∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°.
∴2∠A+α+β=180°
解析
【分析】
(1) 要证明∠ADC=∠ABC，可先观察两个角的特征：二者分别是△CDE和△CBF的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合已知∠E=∠F，以及对顶角∠DCE=∠BCF，即可推导出两个角相等。
(2) 结合(1)的结论∠ADC=∠ABC，再利用圆内接四边形对角互补的性质，可求得∠ADC和∠ABC均为90°，最后在△ABE中根据三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠A的度数。
(3) 要求∠A与α、β的关系，先作辅助线连接EF，利用圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠ECD=∠A；再结合三角形外角性质，可知∠ECD=∠1+∠2，即∠A=∠1+∠2；最后在△AEF中利用内角和定理，将∠AEF、∠AFE拆分后代入整理，即可得到∠A的表达式。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADC是△CDE的外角，∠ABC是△CBF的外角，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
又
∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF（对顶角相等），
∴∠ADC=∠ABC。
(2) 解：
由(1)得∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=∠ABC=90°。
在△ABE中，∠A+∠ABE+∠E=180°，其中∠ABE=∠ABC=90°，∠E=42°，
∴∠A=180°−90°−42°=48°。
(3) 解：
如答图22，连接EF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
又
∵∠ECD+∠BCD=180°（平角的定义），
∴∠ECD=∠A。
∵∠ECD是△ECF的外角，
∴∠ECD=∠1+∠2，即∠A=∠1+∠2。
在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，其中∠AEF=∠E+∠1=α+∠1，∠AFE=∠F+∠2=β+∠2，
代入得：∠A+α+∠1+β+∠2=180°，
将∠1+∠2=∠A代入上式，得2∠A+α+β=180°，
∴∠A=$\frac{180°-α-β}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ∠A=48°；
(3) ∠A=$\boldsymbol{\frac{180°-α-β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，三个小问由易到难，既考察基础几何性质的直接应用，也考察辅助线构造、代数推导的综合能力，有助于提升几何知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠ADC=∠ABC，可先观察两个角的特征：二者分别是△CDE和△CBF的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，结合已知∠E=∠F，以及对顶角∠DCE=∠BCF，即可推导出两个角相等。
(2) 结合(1)的结论∠ADC=∠ABC，再利用圆内接四边形对角互补的性质，可求得∠ADC和∠ABC均为90°，最后在△ABE中根据三角形内角和为180°，代入已知角度即可求出∠A的度数。
(3) 要求∠A与α、β的关系，先作辅助线连接EF，利用圆内接四边形的外角等于内对角，可得∠ECD=∠A；再结合三角形外角性质，可知∠ECD=∠1+∠2，即∠A=∠1+∠2；最后在△AEF中利用内角和定理，将∠AEF、∠AFE拆分后代入整理，即可得到∠A的表达式。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ADC是△CDE的外角，∠ABC是△CBF的外角，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
又
∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF（对顶角相等），
∴∠ADC=∠ABC。
(2) 解：
由(1)得∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=∠ABC=90°。
在△ABE中，∠A+∠ABE+∠E=180°，其中∠ABE=∠ABC=90°，∠E=42°，
∴∠A=180°−90°−42°=48°。
(3) 解：
如答图22，连接EF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
又
∵∠ECD+∠BCD=180°（平角的定义），
∴∠ECD=∠A。
∵∠ECD是△ECF的外角，
∴∠ECD=∠1+∠2，即∠A=∠1+∠2。
在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，其中∠AEF=∠E+∠1=α+∠1，∠AFE=∠F+∠2=β+∠2，
代入得：∠A+α+∠1+β+∠2=180°，
将∠1+∠2=∠A代入上式，得2∠A+α+β=180°，
∴∠A=$\frac{180°-α-β}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ∠A=48°；
(3) ∠A=$\boldsymbol{\frac{180°-α-β}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，三个小问由易到难，既考察基础几何性质的直接应用，也考察辅助线构造、代数推导的综合能力，有助于提升几何知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.6
9. 如图29.2-43，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，$∠ BCD=120°$，$\odot O$的半径为6，则BD的长为
6√3
。答案
9. 6√3
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到圆内接四边形，优先想到对角互补的性质，可先求出∠BAD的度数；②要求弦BD的长，已知圆的半径，只需要求出BD所对的圆心角即可，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可由∠BAD得到圆心角∠BOD的度数；③得到等腰△OBD的顶角和腰长后，过圆心作弦的垂线，结合垂径定理和三角函数即可求出BD的长度。
【解析】
连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 由圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=120°$，则$∠ BAD = 180° - 120° = 60°$
2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍：
$∠ BOD = 2∠ BAD = 2×60° = 120°$
3. 由垂径定理可知，OE垂直平分BD，因此：
$BE = ED = \frac{1}{2}BD$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 60°$
在$Rt△ BOE$中，$OB=6$（$\odot O$的半径），
$\sin∠ BOE = \frac{BE}{OB}$
则$BE = OB · \sin60° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
因此$BD = 2BE = 2×3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是通过角度转化得到弦对应的圆心角，再结合垂径定理和解直角三角形求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①看到圆内接四边形，优先想到对角互补的性质，可先求出∠BAD的度数；②要求弦BD的长，已知圆的半径，只需要求出BD所对的圆心角即可，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可由∠BAD得到圆心角∠BOD的度数；③得到等腰△OBD的顶角和腰长后，过圆心作弦的垂线，结合垂径定理和三角函数即可求出BD的长度。
【解析】
连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 由圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=120°$，则$∠ BAD = 180° - 120° = 60°$
2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍：
$∠ BOD = 2∠ BAD = 2×60° = 120°$
3. 由垂径定理可知，OE垂直平分BD，因此：
$BE = ED = \frac{1}{2}BD$，$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ BOD = 60°$
在$Rt△ BOE$中，$OB=6$（$\odot O$的半径），
$\sin∠ BOE = \frac{BE}{OB}$
则$BE = OB · \sin60° = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$
因此$BD = 2BE = 2×3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是通过角度转化得到弦对应的圆心角，再结合垂径定理和解直角三角形求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
